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2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第八章 8.2雙曲線教案 新人教A版 鞏固夯實基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.雙曲線的定義 第一定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距. 即||MF1|-|MF2||=2a(<|F1F2|). M為動點，F(xiàn)1、F2為定點，a為常數(shù). 第二定義：平面內(nèi)到定點F的距離和到定直線的距離的比等于常數(shù)(大于1)的點的軌跡叫做雙曲線，即=e(e>1). F為直線l外一定點，動點到定直線的距離為d，e為大于1的常數(shù). 2.雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì) 標準方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 簡圖 中心 O(0,0) O(0,0) 頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,a),A2(0,-a) 范圍 |x|≥a |y|≥a 焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 準線 x= y= 漸近線 y=x y=x 3.焦半徑公式 M(x0,y0)為-=1右支上的點，則|MF1|=ex0+a，|MF2|=ex0-a. 鏈接拓展 (1)當M(x,y)為-=1左支上的點時,|MF1|=-(a+ex),|MF2|=ex-a. (2)當M(x,y)為-=1上支上的點時，|MF1|=ey0+a，|MF2|=ey0-a. 二、點擊雙基 1.雙曲線-=1的漸近線方程是（ ） A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 解析：由雙曲線方程可得焦點在x軸上,a=2,b=3. ∴漸近線方程為y=x=x. 答案：A 2.過點(2，-2)且與雙曲線-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是（ ） A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析：可設(shè)所求雙曲線方程為-y2=λ，把(2，-2)點坐標代入方程得λ=-2. 答案：A 3.如果雙曲線-=1上一點P到它的右焦點的距離是8，那么P到它的右準線的距離是 （ ） A.10 B. C.2 D. 解析：利用雙曲線的第二定義知P到右準線的距離為=8=. 答案：D 4.與圓A:(x+5)2+y2=49和圓B：(x-5)2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為___________ ____________________________. 解析：利用雙曲線的定義. 答案：-=1(x＞0) 5.已知圓C過雙曲線-=1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是. 解析：由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一支上的頂點和焦點，所以圓C的圓心的橫坐標為4.故圓心坐標為(4,).易求它到中心的距離為. 答案： 誘思實例點撥 【例1】 求適合下列條件的雙曲線的標準方程： (1)焦距為16，準線方程為y=; (2)虛軸長為12，離心率為; (3)頂點間的距離為6，漸近線方程為y=x. 剖析：要求雙曲線的標準方程，首先判斷其焦點所在的坐標軸，然后求其標準方程中待定的a和b. 解：(1)由準線方程為y=，可知雙曲線的焦點在y軸上. 設(shè)所求雙曲線的方程為 -=1(a>0,b>0). 由題意，得解得a=6,c=8. 所以b2=c2-a2=64-36=28. 因此，所求雙曲線的方程為-=1. (2)當焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為-=1. 由題意，得 解得b=6,c=a. ∴b2=c2-a2=a2=36,a=8. 所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為-=1. 同理可求焦點在y軸上的雙曲線的方程為-=1. 因此，所要求的雙曲線的方程為-=1和-=1. (3)方法一：當焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為-=1. 由題意，得解得a=3,b=. 所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為-=1. 同理可求焦點在y軸上的雙曲線的方程為-=1. 因此所求雙曲線方程為-=1或-=1. 方法二：設(shè)雙曲線方程為-=λ(λ≠0). 當λ>0時，2=6,∴λ=.此時雙曲線的方程為-=1. 當λ<0時，2-=6,∴λ=-1.此時雙曲線方程為-=1. 講評：本題考查雙曲線方程，關(guān)鍵是求a、b,在解題過程中應熟悉各元素(a、b、c、e及準線)之間的關(guān)系，并注意方程思想的應用.若已知雙曲線的漸近線方程axby=0，可設(shè)雙曲線方程為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).但要注意雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，不要漏解. 【例2】 設(shè)點P到點M(-1,0)、N(1,0)距離之差為2m,到x軸、y軸距離之比為2,求m的取值范圍. 剖析：由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知點P的軌跡是雙曲線,由點P到x軸、y軸距離之比為2,知點P的軌跡是直線,由交軌法求得點P的坐標,進而可求得m的取值范圍. 解：設(shè)點P的坐標為(x,y),依題意得=2,即y=2x(x≠0). ① 因此,點P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三點不共線,得||PM|-|PN||<|MN|=2. ∵||PM|-|PN||=2|m|>0, ∴0<|m|<1.因此,點P在以M、N為焦點,實軸長為2|m|的雙曲線上. 故-=1. ② 將①代入②,并解得x2=, ∵1-m2>0,∴1-5m2>0. 解得0<|m|<, 即m的取值范圍為(-,0)∪(0,). 講評：本題考查了雙曲線的定義、標準方程等基本知識,考查了邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義. 【例3】 若F1、F2分別為雙曲線-=1的下、上焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線的下支上，點M在上準線上，且滿足=，=λ(+)(λ>0). (1)求此雙曲線的離心率； (2)若此雙曲線過N(,2)，求此雙曲線的方程； (3)若過N(,2)的雙曲線的虛軸端點分別為B1、B2(B2在x軸正半軸上)，點A、B在雙曲線上，且=μ，求⊥時直線AB的方程. 解：(1)==,∴PF1OM為平行四邊形. 又=λ(+)知M在∠PF1O的角平分線上， ∴四邊形PF1OM為菱形，且邊長為||=||=c. ∴||=2a+||=2a+c. 由第二定義知=e,即=e. ∴+1=e且e>1e=2. (2)由e=2，∴c=2a,即b2=3a2. 雙曲線方程為-=1. 又(3,2)在雙曲線上，∴-=1. ∴a2=3.∴雙曲線方程為-=1. (3)由=μ知AB過點B2，若AB⊥x軸，即lAB:x=3，此時AB1與BB1不垂直. 設(shè)直線AB的方程為y=kx-3k,代入-=1,得(3k2-1)x2-18k2x+27k2-9=0. 由題知3k2-1≠0且Δ>0，即k2>且k2≠. 設(shè)交點A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1+3,y1),=(x2+3,y2). ∵⊥,∴=0,即x1x2+3(x1+x2)+9+y1y2=0. 此時 y1y2=k2(x1-3)(x2-3) =k2［x1x2-3(x1+x2)+9］ =k2(18-)=. ∴9+3+9+=0. ∴5k2=1.∴k=. ∴直線AB的方程為y=x-或y=-x+. 講評：本題考查雙曲線方程及性質(zhì)，雙曲線與向量知識交匯問題是近年高考考查的方向.