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2019-2020年九年級中考二輪專題復(fù)習(xí)：正多邊形與圓 一、選擇題 1. （ xx?廣西玉林市、防城港市，第11題3分）蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué)，如圖是由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)絡(luò)，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．設(shè)定AB邊如圖所示，則△ABC是直角三角形的個數(shù)有（　?。? 　 A． 4個 B． 6個 C． 8個 D． 10個 考點(diǎn)： 正多邊形和圓． 分析： 根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，分AB是直角邊和斜邊兩種情況確定出點(diǎn)C的位置即可得解． 解答： 解：如圖，AB是直角邊時，點(diǎn)C共有6個位置， 即，有6個直角三角形， AB是斜邊時，點(diǎn)C共有2個位置， 即有2個直角三角形， 綜上所述，△ABC是直角三角形的個數(shù)有6+2=8個． 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了正多邊形和圓，難點(diǎn)在于分AB是直角邊和斜邊兩種情況討論，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀． 　2．(xx年天津市，第6 題3分)正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長是（　?。? 　 A． B． 2 C． 3 D． 2 考點(diǎn)： 正多邊形和圓． 分析： 運(yùn)用正六邊形的性質(zhì)，正六邊形邊長等于外接圓的半徑，再利用勾股定理解決． 解答： 解：∵正六邊形的邊心距為， ∴OB=，AB=OA， ∵OA2=AB2+OB2， ∴OA2=（OA）2+（）2， 解得OA=2． 故選B． 點(diǎn)評： 本題主要考查了正六邊形和圓，注意：外接圓的半徑等于正六邊形的邊長． 　 3．（xx?萊蕪，第10題3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=（　?。? 　 A． 1：16 B． 1：18 C． 1：20 D．[來源:] 1：24 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)． 分析： 設(shè)△BDE的面積為a，表示出△CDE的面積為4a，根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后求出△DBE和△ABC相似，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出△ABC的面積，然后表示出△ACD的面積，再求出比值即可． 解答： 解：∵S△BDE：S△CDE=1：4， ∴設(shè)△BDE的面積為a，則△CDE的面積為4a， ∵△BDE和△CDE的點(diǎn)D到BC的距離相等， ∴=， ∴=， ∵DE∥AC， ∴△DBE∽△ABC， ∴S△DBE：S△ABC=1：25， ∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a， ∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20． 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方用△BDE的面積表示出△ABC的面積是解題的關(guān)鍵． 4. （xx?河北，第15題3分）如圖，邊長為a的正六邊形內(nèi)有兩個三角形（數(shù)據(jù)如圖），則=（　?。? 　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考點(diǎn)： 正多邊形和圓 分析： 先求得兩個三角形的面積，再求出正六邊形的面積，求比值即可． 解答： 解：如圖， ∵三角形的斜邊長為a， ∴兩條直角邊長為a，a， ∴S空白=a?a=a2， ∵AB=a， ∴OC=a， ∴S正六邊形=6a?a=a2， ∴S陰影=S正六邊形﹣S空白=a2﹣a2=a2， ∴==5， 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了正多邊形和圓，正六邊形的邊長等于半徑，面積可以分成六個等邊三角形的面積來計算． 5、（xx衡陽，第4題3分）若一個多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形的邊數(shù)為【 】 A． B． C． D． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角和定理. 【解析】利用公式（n － 2）180(n大于等于3)，求出n 【答案】C 【點(diǎn)評】本題是多邊形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，可以直接應(yīng)用，直接帶入求值，是本題的方法. 二.填空題 1. （xx年江蘇南京，第12題，2分）如圖，AD是正五邊形ABCDE的一條對角線，則∠BAD=　?。? （第1題圖） 考點(diǎn)：正多邊形的計算 分析：設(shè)O是正五邊形的中心，連接OD、OB，求得∠DOB的度數(shù)，然后利用圓周角定理即可求得∠BAD的度數(shù)． 解答：設(shè)O是正五邊形的中心，連接OD、OB．則∠DOB=360=144， ∴∠BAD=∠DOB=72，故答案是：72． 點(diǎn)評：本題考查了正多邊形的計算，正確理解正多邊形的內(nèi)心和外心重合是關(guān)鍵． 2. （xx?海南,第17題4分）如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓⊙O的直徑，且AB=4，AC=5，AD=4，則⊙O的直徑AE=　5?。? 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理． 分析： 首先根據(jù)兩個對應(yīng)角相等可以證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于AE的比例式，計算即可． 解答： 解：由圓周角定理可知，∠E=∠C， ∵∠ABE=∠ADC=90，∠B=∠C， ∴△ABE∽△ACD． ∴AB：AD=AE：AC， ∵AB=4，AC=5，AD=4，[來源:] ∴4：4=AE：5，[來源:] ∴AE=5， 故答案為：5． 點(diǎn)評： 本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ADC∽△ABE． 3．（xx?湖北黃石,第15題3分）一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，結(jié)果落在區(qū)域D中每一個點(diǎn)都是等可能的，用A表示“實(shí)驗(yàn)結(jié)果落在D中的某個小區(qū)域M中”這個事件，那么事件A發(fā)生的概率PA=．如圖，現(xiàn)在等邊△ABC內(nèi)射入一個點(diǎn)，則該點(diǎn)落在△ABC內(nèi)切圓中的概率是　π?。? 第1題圖 考點(diǎn)： 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；等邊三角形的性質(zhì)；幾何概率． 分析： 利用等邊三角形以及其內(nèi)切圓的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DO，DC的長，進(jìn)而得出△ABC的高，再利用圓以及三角形面積公式求出即可． 解答： 解：連接CO，DO， 由題意可得：OD⊥BC，∠OCD=30，設(shè)BC=2x， 則CD=x，故=tan30， ∴DO=DCtan30=， ∴S圓O=π（）2=， △ABC的高為：2x?sin60=x， ∴S△ABC=2xx=x2， ∴則該點(diǎn)落在△ABC內(nèi)切圓中的概率是：=． 故答案為：π． 點(diǎn)評： 此題主要考查了幾何概率以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識，得出等邊三角形與內(nèi)切圓的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 三、解答題 1. (xx年廣西南寧，第25題10分）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上，∠AEF=90，AE=EF，過點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC． （1）試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （2）求證：∠ACF=90； （3）連接AF，過A、E、F三點(diǎn)作圓，如圖2，若EC=4，∠CEF=15，求的長． 考點(diǎn)： 圓的綜合題．. 分析： （1）利用ABE≌△EHF求證BE=FH， （2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45，由四邊形ABCD是正方形，所 以∠ACB=45，得出∠ACF=90， （3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出的長． 解答： 解：（1）BE=FH． 證明：∵∠AEF=90，∠ABC=90， ∴∠HEF+∠AEB=90，∠BAE+∠AEB=90， ∴∠HEF=∠BAE， 在△ABE和△EHF中， ， ∴△ABE≌△EHF（AAS） ∴BE=FH． （2）由（1）得BE=FH，AB=EH， ∵BC=AB， ∴BE=CH， ∴CH=FH， ∴∠HCF=45， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ACB=45， ∴∠ACF=180﹣∠HCF﹣∠ACB=90． （3）由（2）知∠HCF=45，∴CF=FH． ∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45﹣15=30． 如圖2，過點(diǎn)C作CP⊥EF于P，則CP=CF=FH． ∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90， ∴△CPE∽△FHE．[來源:] ∴，即， ∴EF=4． ∵△AEF為等腰直角三角形，∴AF=8． 取AF中點(diǎn)O，連接OE，則OE=OA=4，∠AOE=90， ∴的弧長為：=2π． 點(diǎn)評： 本題主要考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是直角三角形中三角函數(shù)的靈活運(yùn)用．