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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何 板塊五 用空間向量解柱體問題(1)完整講義（學(xué)生版） 典例分析 【例1】 如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)與分別為線段和的中點(diǎn)，點(diǎn)與分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)．若，則線段長(zhǎng)度的最小值是（ ） A． B． C． D． 【例2】 如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱． ⑴ 求證：平面； ⑵ 求直線與平面所成角的正弦值； ⑶ 求二面角的余弦值． 【例3】 如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且． ⑴證明：平面平面； ⑵求直線和平面所成角的正弦值． 【例4】 如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，，，分別是棱、、的中點(diǎn)． ⑴證明：直線平面； ⑵求二面角的余弦值． 【例5】 已知正三棱柱，底面邊長(zhǎng)，，點(diǎn)、分別是邊，的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． ⑴求證：． ⑵若為的中點(diǎn)，試用基向量、、表示向量； ⑶求異面直線與所成角的余弦值． 【例6】 如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)棱，側(cè)面的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為． ⑴求證：平面； ⑵求面與面所成二面角的大小． 【例7】 如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且． ⑴求證：直線平面； ⑵求二面角的大小； ⑶求三棱錐的體積． 【例8】 如圖，直三棱柱，底面中，，，棱，分別是的中點(diǎn)， ⑴求的長(zhǎng)； ⑵求與的夾角的余弦值； ⑶求證：． 【例9】 如圖，正三棱柱所有棱長(zhǎng)都是，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，交于點(diǎn)． ⑴ 求證：平面； ⑵ 求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）； ⑶ 求點(diǎn)到平面的距離． 【例10】 如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，是底面邊上的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的點(diǎn)，且． ⑴ 求證：面；（或若為的中點(diǎn)，求證：平面． ⑵ 若二面角的平面角的余弦值為，求的值； ⑶ 在第⑵的前提下，求點(diǎn)到平面的距離． 【例11】 直三棱柱中，．求證：． 【例12】 直四棱柱的底面為平行四邊形，其中，，，為中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)． ⑴求異面直線與所成角的正切值； ⑵當(dāng)時(shí)，證明； ⑶當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，二面角的大小為？ 【例13】 如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且是圓直徑． ⑴ 證明：平面平面； ⑵ 設(shè)，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為． （i）當(dāng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值； （ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．