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1、第 24章 圓小 結(jié) 與 復 習要點梳理 考點講練 課堂小結(jié) 課后作業(yè) 一 .與 圓 有 關(guān) 的 概 念1.圓 :平 面 內(nèi) 到 定 點 的 距 離 等 于 定 長 的 所 有 點 組 成 的 圖 形 .2.弦 :連 結(jié) 圓 上 任 意 兩 點 的 線 段 .3.直 徑 :經(jīng) 過 圓 心 的 弦 是 圓 的 直 徑 ， 直 徑 是 最 長 的 弦 .4.劣 弧 :小 于 半 圓 周 的 圓 弧 .5.優(yōu) 弧 :大 于 半 圓 周 的 圓 弧 .要 點 梳 理 6.等 弧 :在 同 圓 或 等 圓 中 ， 能 夠 互 相 重 合 的 弧 .7.圓 心 角 :頂 點 在 圓 心 ， 角 的 兩 邊

2、 與 圓 相 交 .8.圓 周 角 :頂 點 在 圓 上 ， 角 的 兩 邊 與 圓 相 交 .注 意 (1)確 定 圓 的 要 素 ： 圓 心 決 定 位 置 ， 半 徑 決 定大 小 (2)不 在 同 一 條 直 線 上 的 三 個 點 確 定 一 個 圓 . 9.外 接 圓 、 內(nèi) 接 正 多 邊 形 :將 一 個 圓 n(n3)等 分 ， 依次 連 接 各 等 分 點 所 得 到 的 多 邊 形 叫 作 這 個 圓 的 內(nèi) 接正 多 邊 形 ， 這 個 圓 是 這 個 正 多 邊 形 的 外 接 圓 .10.三 角 形 的 外 接 圓 外 心 ： 三 角 形 的 外 接 圓 的 圓 心

3、 叫 做 這 個 這 個 三 角 形的 外 心 .注 意 (1)三 角 形 的 外 心 是 三 角 形 三 條 邊 的 垂 直 平分 線 的 交 點 (2)一 個 三 角 形 的 外 接 圓 是 唯 一 的 . 11.三 角 形 的 內(nèi) 切 圓 內(nèi) 心 ： 三 角 形 的 內(nèi) 切 圓 的 圓 心 叫 做 這 個 這 個 三 角 形 的內(nèi) 心 .注 意 (1)三 角 形 的 內(nèi) 心 是 三 角 形 三 條 角 平 分 線 的交 點 (2)一 個 三 角 形 的 內(nèi) 切 圓 是 唯 一 的 . 12.正 多 邊 形 的 相 關(guān) 概 念(1)中 心 ： 正 多 變 形 外 接 圓 和 內(nèi) 切 圓 有

4、 公 共 的 圓心 ， 稱 其 為 正 多 邊 形 的 中 心 .(2)半 徑 ： 外 接 圓 的 半 徑 叫 做 正 多 邊 形 的 半 徑 .(3)邊 心 距 ： 中 心 到 正 多 邊 形 一 邊 的 距 離 叫 做 正 多 邊形 的 邊 心 距 .(4)中 心 角 ： 正 多 邊 形 每 一 條 邊 對 應 所 對 的 外 接 圓的 圓 心 角 都 相 等 ， 叫 做 正 多 邊 形 的 中 心 角 . 二 、 與 圓 有 關(guān) 的 位 置 關(guān) 系1.點 與 圓 的 位 置 關(guān) 系判 斷 點 與 圓 的 位 置 關(guān) 系 可 由 點 到 圓 心 的 距 離 d與 圓的 半 徑 r比 較 得

5、 到 設(shè) O的 半 徑 是 r， 點 P到 圓 心 的 距 離 為 d， 則 有點 P在 圓 內(nèi) ；d r 點 P在 圓 上 ；d=r 點 P在 圓 外 .d r 注 意 點 與 圓 的 位 置 關(guān)系 可 以 轉(zhuǎn) 化 為 點 到 圓 心的 距 離 與 半 徑 之 間 的 關(guān)系 ； 反 過 來 ， 也 可 以 通過 這 種 數(shù) 量 關(guān) 系 判 斷 點與 圓 的 位 置 關(guān) 系 2.直 線 與 圓 的 位 置 關(guān) 系設(shè) r為 圓 的 半 徑 ， d為 圓 心 到 直 線 的 距 離直 線 與 圓 的位 置 關(guān) 系 圖 形 d與 r的 關(guān) 系 公 共 點 個 數(shù) 公 共 點 名 稱 直 線 名 稱

6、2個交 點割 線1個切 點切 線0個相 離 相 切 相 交d r d=r d r 三 、 圓 的 基 本 性 質(zhì)1. 圓 的 對 稱 性圓 是 軸 對 稱 圖 形 ， 它 的 任 意 一 條 _所 在 的 直線 都 是 它 的 對 稱 軸 . 直 徑2. 有 關(guān) 圓 心 角 、 弧 、 弦 的 性 質(zhì) .(1)在 同 圓 中 ， 如 果 圓 心 角 相 等 ， 那 么它 們 所 對 的 弧 相 等 ， 所 對 的 弦 也 相 等 .(2)在 同 圓 或 等 圓 中 ， 如 果 兩 個 圓 心 角 、兩 條 弧 和 兩 條 弦 中 有 一 組 量 相 等 ， 那 么它 們 所 對 應 的 其 余

7、 各 組 量 都 分 別 相 等 . 圓 心 角相 等 弧相 等 弦相 等 (2)垂 徑 定 理 的 推 論 ： 平 分 弦 (不 是 直 徑 )的 直 徑 垂 直 于這 條 弦 ， 并 且 平 分 這 條 弦 所 對 的 兩 條 弧 ； 平 分 弧 的 直 徑 垂 直 平 分 這 條 弧 所 對 的 弦 .三 、 有 關(guān) 定 理 及 其 推 論1.垂 徑 定 理(1)垂 徑 定 理 ： 垂 直 于 弦 的 直 徑 平 分 這 條 弦 ， 并 且平 分 弦 所 對 的 .注 意 條 件 中 的 “ 弦 ” 可 以 是 直 徑 ； 結(jié) 論中 的 “ 平 分 弧 ” 指 平 分 弦 所 對 的 劣

8、 弧 、 優(yōu) 弧 兩 條 弧 2.圓 周 角 定 理(1)圓 周 角 定 理 ： 圓 周 角 的 度 數(shù) 等 于 它 所 對 弧 上 的圓 心 角 度 數(shù) 的 一 半 .(3)推 論 2： 90 的 圓 周 角 所 對 的 弦 是 直 徑 .注 意 “ 同 弧 ” 指 “ 在 一 個 圓 中 的 同 一 段 弧 ” ；“ 等 弧 ” 指 “ 在 同 圓 或 等 圓 中 相 等 的 弧 ” ； “ 同 弧或 等 弧 ” 不 能 改 為 “ 同 弦 或 等 弦 ” (4)推 論 3： 圓 的 內(nèi) 接 四 邊 形 的 對 角 互 補 .(2)推 論 1： 在 同 圓 或 等 圓 中 ， 同 弧 或

9、等 弧 所 對 的圓 周 角 相 等 ； 相 等 的 圓 周 角 所 對 弧 相 等 . 3.與 切 線 相 關(guān) 的 定 理(1)判 定 定 理 ： 經(jīng) 過 圓 的 半 徑 的 外 端 且 垂 直 于 這條 半 徑 的 直 線 是 圓 的 切 線 .(2)性 質(zhì) 定 理 ： 圓 的 切 線 垂 直 于 經(jīng) 過 切 點 的 半 徑 .(3)切 線 長 定 理 ： 經(jīng) 過 圓 外 一 點 所 畫 的 圓 的 兩 條切 線 ， 它 們 的 切 線 長 相 等 .這 一 點 和 圓 心 的 連 線平 分 這 兩 條 切 線 的 夾 角 . 四 、 圓 中 的 計 算 問 題1.弧 長 公 式半 徑 為

10、 R的 圓 中 ， n 圓 心 角 所 對 的 弧 長 l=_.180n R2.扇 形 面 積 公 式半 徑 為 R， 圓 心 角 為 n 的 扇 形 面 積 S= _.2360n R 12 lR或3.弓 形 面 積 公 式 OO弓 形 的 面 積 =扇 形 的 面 積 三 角 形 的 面 積 (3)圓 錐 的 側(cè) 面 積 為 .(4)圓 錐 的 全 面 積 為 .lr 2lr r 4.圓 錐 的 側(cè) 面 積(1)圓 錐 的 側(cè) 面 展 開 圖 是 一 個 .(2)如 果 圓 錐 母 線 長 為 l， 底 面 圓 的 半 徑 為 r， 那 么 這個 扇 形 的 半 徑 為 ， 扇 形 的 弧

11、長 為 .扇 形l 2 r 5.圓 內(nèi) 接 正 多 邊 形 的 計 算(1)正 n邊 形 的 中 心 角 為 360n(2)正 n邊 形 的 邊 長 a， 半 徑 R， 邊 心 距 r之 間 的 關(guān) 系 2 2 2( ) .2aR r (3)邊 長 a， 邊 心 距 r的 正 n邊 形 的 面 積 為1 1 .2 2S nar lr 其 中 l為 正 n邊 形 的 周 長 . 考點一 圓周角定理例 1 在 圖 中 ， BC是 O的 直 徑 ， AD BC,若 D=36 ,則 BAD的 度 數(shù) 是 （ ）A. 72 B.54 C. 45 D.36 AB CDB 1351.如 圖 a， 四 邊 形

12、 ABCD為 O的 內(nèi) 接 正 方 形 ， 點 P為劣 弧 BC上 的 任 意 一 點 （ 不 與 B,C重 合 ） ， 則 BPC的度 數(shù) 是 . CDBA PO圖 a針對訓練 2.如 圖 b， 線 段 AB是 直 徑 ， 點 D是 O上 一 點 ， CDB=20 ,過 點 C作 O的 切 線 交 AB的 延 長線 于 點 E,則 E等 于 .O CA B ED圖 b50 考點二 垂徑定理 例 2 工 程 上 常 用 鋼 珠 來 測 量 零 件 上 小 圓 孔 的 寬 口 ， 假 設(shè)鋼 珠 的 直 徑 是 10mm,測 得 鋼 珠 頂 端 離 零 件 表 面 的 距 離 為8mm,如 圖 所

13、 示 ， 則 這 個 小 圓 孔 的 寬 口 AB的 長 度 為 mm.8mmA B8CDO解 析 設(shè) 圓 心 為 O， 連 接 AO,作 出 過點 O的 弓 形 高 CD， 垂 足 為 D,可 知AO=5m m ,OD=3m m ,利 用 勾 股 定 理進 行 計 算 ， AD=4m m ， 所 以AB=8m m . 2AO BCE F圖 a3.如 圖 a， 點 C是 扇 形 OAB上 的 AB的 任 意 一 點 ， OA=2,連 接 AC,BC,過 點 O作 OE AC,OF BC， 垂 足 分 別 為E,F， 連 接 EF， 則 EF的 長 度 等 于 .（針對訓練 3 A BC DP

14、O圖 b DP4.如 圖 b,AB是 O的 直 徑 ， 且 AB=2， C,D是 同 一 半 圓上 的 兩 點 ， 并 且 AC與 BD的 度 數(shù) 分 別 是 96 和 36 ，動 點 P是 AB上 的 任 意 一 點 ， 則 PC+PD的 最 小 值是 . （ 例 3 如 圖 ， O為 正 方 形 對 角 線 上 一 點 ， 以 點 O 為 圓 心 ，OA長 為 半 徑 的 O與 BC相 切 于 點 M. (1)求 證 ： CD與 O相 切 ； AB CDOM(1)證 明 ： 過 點 O作 ON CD于 N.連 接 OM BC與 O相 切 于 點 M, OMC=90 , 四 邊 形 ABCD

15、是 正 方 形 ， 點 O在 AC上 . AC是 BCD的 角 平 分 線 ， ON=OM， CD與 O相 切 . N考點三 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 AB CDOM(2)解 : 正 方 形 ABCD的 邊 長 為 1,AC= . 設(shè) O的 半 徑 為 r,則 OC= .又 易 知 OMC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， OC= 因 此 有 ， 解 得 . 22 r 2r2 2r r 2 2r （ 2） 若 正 方 形 ABCD的 邊 長 為 1， 求 O的 半 徑 . 方法歸納（ 1） 證 切 線 時 添 加 輔 助 線 的 解 題 方 法 有 兩 種 ： 有 公 共 點 ， 連 半 徑 ， 證

16、 垂 直 ； 無 公 共 點 ， 作垂 直 ， 證 半 徑 ； 有 切 線 時 添 加 輔 助 線 的 解 題 方 法是 ： 見 切 點 ， 連 半 徑 ， 得 垂 直 ；（ 2） 設(shè) 未 知 數(shù) ， 通 常 利 用 勾 股 定 理 建 立 方 程 . 5. O的 半 徑 為 R， 圓 心 到 點 A的 距 離 為 d， 且 R、 d分別 是 方 程 x2 6x 8 0的 兩 根 ， 則 點 A與 O的 位 置關(guān) 系 是 （ ）A 點 A在 O內(nèi) 部 B 點 A在 O上C 點 A在 O外 部 D 點 A不 在 O上解 析 ： 此 題 需 先 計 算 出 一 元 二 次 方 程 x2 6x 8

17、0的兩 個 根 ， 然 后 再 根 據(jù) R與 d的 之 間 的 關(guān) 系 判 斷 出 點 A與 O的 關(guān) 系 .D針對訓練 6.（ 多 解 題 ） 如 圖 ， 直 線 AB,CD相 交 于 點 O， AOD=30 ,半 徑 為 1cm 的 P的 圓 心 在 射 線 OA上 ， 且與 點 O的 距 離 為 6cm ,如 果 P以 1cm /s的 速 度 沿 由 A向 B的方 向 移 動 ， 那 么 秒 鐘 后 P與 直 線 CD相 切 .4或 8解 析 ： 根 本 題 應 分 為 兩 種 情 況 ： (1) P在 直 線 AB下 面 與直 線 CD相 切 ； (2) P在 直 線 AB上 面 與

18、直 線 CD相 切 .A BD CP P2P1E 例 4 已 知 ： 如 圖 ， PA， PB是 O的 切 線 ， A、 B為 切 點 ，過 上 的 一 點 C作 O的 切 線 ， 交 PA于 D， 交 PB于 E.(1)若 P 70 ， 求 DOE的 度 數(shù) ；AB解 ： (1)連 接 OA、 OB、 OC， O分 別 切 PA、 PB、 DE于 點 A、 B、 C， OA PA， OB PB， OC DE,AD CD,BE CE， OD平 分 AOC， OE平 分 BOC. DOE AOB. P AOB 180 ， P 70 ， DOE 55 .1 2 (2) O分 別 切 PA、 PB、

19、 DE于 A、 B、 C， AD CD， BE CE. PDE的 周 長 PD PE DE PD AD BE PE 2PA 8(cm )(2)若 PA 4 cm ， 求 PDE的 周 長 例 5 如 圖 ， 四 邊 形 OABC為 菱 形 ， 點 B、 C在 以 點 O為 圓心 的 圓 上 , OA=1, AOC=120 ， 1= 2， 則 扇 形OEF的 面 積 ？解 ： 四 邊 形 OABC為 菱 形 OC=OA=1 AOC=120 ， 1= 2 FOE=120 又 點 C在 以 點 O為 圓 心 的 圓 上 2120 1= 360 3S扇 形 OEF p p創(chuàng) = 考點四 圓中的計算問題

20、 7.（ 1） 一 條 弧 所 對 的 圓 心 角 為 135 ， 弧 長 等 于 半 徑為 5cm 的 圓 的 周 長 的 3倍 ， 則 這 條 弧 的 半 徑 為 . （ 2） 若 一 個 正 六 邊 形 的 周 長 為 24， 則 該 正 六 邊 形 的 面積 為 _. 40cm24 3針對訓練 8.如 圖 ， 已 知 C， D是 以 AB為 直 徑 的 半 圓 周 上 的 兩 點 ， O是 圓 心 ， 半 徑 OA=2， COD=120 ， 則 圖 中 陰 影 部 分的 面 積 等 于 _23p 例 6 如 圖 所 示 ， 在 正 方 形 ABCD內(nèi) 有 一 條 折 線 段 ， 其中

21、AE EF， EF FC， 已 知 AE=6， EF=8， FC=10，求 圖 中 陰 影 部 分 的 面 積 . 解 ： 將 線 段 FC平 移 到 直 線 AE上 ， 此 時 點 F與 點 E重 合 ， 點 C到 達 點 C的 位 置 .連 接 AC， 如 圖 所 示 .根 據(jù) 平 移 的 方 法 可 知 ， 四 邊 形 EFCC是 矩 形 . AC=AE+EC=AE+FC=16， CC=EF=8.在 Rt ACC中 ， 得 2 2 2 2AC= AC +CC = 16 +8 =8 5 正 方 形 ABCD外 接 圓 的 半 徑 為 4 5 正 方 形 ABCD的 邊 長 為 ACAB=

22、4 102 2 2= 4 5 4 10 =80 160S 陰 影 （ ） （ ） 當 圖 中 出 現(xiàn) 圓 的 直 徑 時 ， 一 般 方 法 是 作 出直 徑 所 對 的 圓 周 角 ， 從 而 利 用 “ 直 徑 所 對 的 圓周 角 等 于 ” 構(gòu) 造 出 直 角 三 角 形 ， 為 進 一 步 利用 勾 股 定 理 或 銳 角 三 角 函 數(shù) 提 供 了 條 件 .方法總結(jié)90 9. 如 圖 ， 正 六 邊 形 ABCDEF內(nèi) 接 于 半 徑 為 5的 O，四 邊 形 EFGH是 正 方 形 求 正 方 形 EFGH的 面 積 ；解 ： 正 六 邊 形 的 邊 長 與 其 半 徑 相 等

23、 ， EF=OF=5. 四 邊 形 EFGH是 正 方 形 ， FG=EF=5， 正 方 形 EFGH的 面 積 是 25.針對訓練 正 六 邊 形 的 邊 長 與 其 半 徑 相 等 ， OFE=600. 正 方 形 的 內(nèi) 角 是 900， OFG= OFE + EFG=600+900=1500.由 得 OF=FG， OGF= （ 1800- OFG） = （ 1800-1500） =150.1212 連 接 OF、 OG， 求 OGF的 度 數(shù) 考點五 與圓有關(guān)的作圖 ab c d a例 7 如 何 解 決 “ 破 鏡 重 圓 ” 的 問 題 ：O 例 8 如 何 作 圓 內(nèi) 接 正 五

24、 邊 形 怎 么 作 ？O E72B A DC （ 1） 用 量 角 器 作 72 的 中 心 角 ，得 圓 的 五 等 分 點 ；（ 2） 依 次 連 接 各 等 分 點 ， 得 圓的 內(nèi) 接 正 五 邊 形 . 圓 圓 的 性 質(zhì)與 圓 有 關(guān) 的位 置 關(guān) 系弧 長 與 扇 形 面 積 的 計 算圓 的 對 稱 性 圓 是 中 心 對 稱 圖 形垂 徑 定 理四 邊 形 的 內(nèi) 接 圓 、 三 角 形 的 外 接 圓直 線 與 圓 的位 置 的 關(guān) 系 切 線 長 定 理課 堂 小 結(jié)圓 的 概 念 圓 心 角 、 圓 周 角 、 弧 與 弦 之 間 的 關(guān) 系圓 是 軸 對 稱 圖 形 ， 任 意 一條 直 徑 所 在 直 線 都 是 它 的對 稱 軸切 線 三 角 形 的 內(nèi) 切 圓正 多 邊 形 與 圓作 圖