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2019-2020年高二上學期開學考試 數(shù)學理試題 含答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．每小題選出答案后，請?zhí)钔吭诖痤}卡上． 1．已知集合，則如圖所示韋恩圖中的陰影部分所表示的集合為（　C?。? A．　B．　C．　D． 2．在下列命題中，不是公理的是（　A?。? A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi) D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 3．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（　D?。? A．　B．　C．　D． 4．過點且與直線平行的直線方程是（　D　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 5．設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（　B?。? A．若，，則　B．若，，則 C．若，，則　D．若，，則 6．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（　B?。? A．向左平移個長度單位　　　B．向右平移個長度單位 C．向左平移個長度單位　　　D．向右平移個長度單位 7．等比數(shù)列，，，的第四項等于（　A?。? A．　　B．　　C．　　D． 8．在中，角A、B、C所對的邊分別為、、，若，則的形狀為(　B　) A．銳角三角形　　B．直角三角形　 C．鈍角三角形　　D．不確定 9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖中半圓的直徑為，則該幾何體的體積為（　C?。? A．　　B． C．　　D． 10．已知點、、、，則向量在方向上的投影為（　A?。? A．　　B．　　C．　　D． 11．設是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當時，，則、、的大小關系是（　D?。? A．　　　B． C．　　D． 12．設函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．若存在使成立，則的取值范圍是（　B　） A．　　B．　　C．　　D． 試卷II（90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．答案填在答題紙相 應的空內(nèi)． 13．已知函數(shù)，則 　***　 ． 14．設變量、滿足，若直線經(jīng)過該可行域，則的最大值為　　　?。? 15．已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，，，則球的體積為． 16．已知，各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是 ． 【解析】由題意得，，，…，， ∵，且＞0，∴，易得==…====， ∴+=+=． 三、解答題：本大題共6小題，共70分．請將解答過程書寫在答題紙上， 并寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（本小題滿分10分） 已知直線被兩直線和截得線段的中點為，求直線的方程． 17解：設所求直線與兩直線分別交于，則 ，　　　……………4分 又因為點分別在直線上，則 得，即解得， 所求直線即為直線，所以為所求．……………10分 18．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，，求． 18解：(Ⅰ)． ……………4分 (Ⅱ) ……………6分 因為，，所以，…………8分 所以， …10分 所以．……………12分 19．（本小題滿分12分） 已知向量，，且與滿足，其中實數(shù)． （Ⅰ）試用表示； （Ⅱ）求的最小值，并求此時與的夾角的值． 解：（I）因為，所以， ，……3分 ， ． …………6分 （Ⅱ）由（1），…………9分 當且僅當，即時取等號． …………10分 此時，，，， 所以的最小值為，此時與的夾角為　…………12分 20．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，若存在，使，則稱是函數(shù)的一個不動點．設二次函數(shù)． （Ⅰ）對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若的圖象上兩點的橫坐標是的不動點，且兩點關于直線對稱，求的最小值． 解：（Ⅰ）∵函數(shù)恒有兩個相異的不動點， ∴恒有兩個不等的實根，對恒成立， ∴　，得的取值范圍為．……………4分 （Ⅱ）由得， 由題知，，……………6分 設中點為，則的橫坐標為，……………10分 ∴　， ∴　，當且僅當，即 時等號成立，∴　的最小值為．……………12分 21．（本小題滿分12分） 如圖，幾何體中，四邊形為菱形，，，面∥面，、、都垂直于面，且，為的中點，為的中點． (Ⅰ)求證：為等腰直角三角形； (Ⅱ)求二面角的余弦值． 21解:(Ⅰ)連接，交于，因為四邊形為菱形，，所以，因為、都垂直于面， ，又面∥面，． 所以四邊形為平行四邊形，則． 因為、、都垂直于面，則 所以 所以為等腰直角三角形．　　　　　　……………6分 (Ⅱ)取的中點，因為分別為的中點，所以∥以分別為軸建立坐標系，則 所以 設面的法向量為，則 ，即 且 令，則．………8分 設面的法向量為， 則即 且 令，則，則　　　……………10分 ， 所以　二面角的余弦值為．　　　……………12分 22．（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項和為，且，設． （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和； （Ⅲ）設，，若數(shù)列的前項和為，求不超過的最大的整數(shù)值． 22解：（Ⅰ）因為，所以 ①當時，，則，……………………1分 ②當時，， 所以，即， 所以，而，……………………3分 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以，．……………6分 所以 ①， ②， ②-①得：， ．………………8分 （Ⅲ）由(1)知 ，………10分 所以 故　不超過的最大整數(shù)為．…………………………12分