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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第82講 圓錐曲線常用解題技巧 【知識(shí)要點(diǎn)】 圓錐曲線解題常用技巧有點(diǎn)差法、設(shè)而不求法、韋達(dá)定理法、定義法等. 【方法講評(píng)】 方法一 點(diǎn)差法 使用情景 一般已知中涉及直線和圓錐曲線相交產(chǎn)生的弦的中點(diǎn) 解題步驟 一般先“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)”，再作差，最后化簡(jiǎn). 【例1】雙曲線的一條弦的中點(diǎn)是(1,2)，此弦所在的直線方程是__________________. 【點(diǎn)評(píng)】（1）如果已知中涉及圓錐曲線的弦的中點(diǎn)，一般利用點(diǎn)差法，可以減少運(yùn)算，提高解題效率. （2）使用點(diǎn)差法，一般先“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)”，再作差，最后化簡(jiǎn)，最后可以得到中點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率的關(guān)系. 【反饋檢測(cè)1】橢圓中有如下結(jié)論：橢圓上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線上，類比上述結(jié)論：雙曲線上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線 上. 方法二 設(shè)而不求法 使用情景 一般已知中涉及圓錐曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn). 解題步驟 一般先設(shè)點(diǎn)，再利用韋達(dá)定理. 【例2】已知橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線的斜率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求的面積的最大值． 則由弦長(zhǎng)公式得． 又點(diǎn)到直線的距離， ∴， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值．∴面積的最大值為2． 【點(diǎn)評(píng)】本題就利用了“設(shè)而不求”的方法，先設(shè)再利用韋達(dá)定理，并不要求把這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)解答出來，實(shí)際上也是解答不出來的. 【反饋檢測(cè)2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線：上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點(diǎn)． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）過（1）中軌跡上的點(diǎn)(1,2)作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點(diǎn)．試探究：當(dāng)直線的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由． 方法三 韋達(dá)定理法 使用情景 一般已知中涉及圓錐曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn). 解題步驟 一般先設(shè)點(diǎn)，再寫出韋達(dá)定理，再代韋達(dá)定理. 【例3】已知點(diǎn)在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是． (1)求雙曲線的方程； (2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (3)設(shè)(2)中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值． ∴ 解得． 【點(diǎn)評(píng)】本題涉及“直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)”，所以一般用到韋達(dá)定理,把韋達(dá)定理代到里化簡(jiǎn)即可. 【反饋檢測(cè)3】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，其上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)求直線的方程. 方法四 定義法 使用情景 一般已知中涉及圓錐曲線的定義中的焦半徑、準(zhǔn)線等. 解題步驟 一般要聯(lián)想到圓錐曲線的定義，利用定義解答. 【例4】已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則 =__________. 【點(diǎn)評(píng)】由于已知中涉及了雙曲線的焦半徑，所以要聯(lián)想到雙曲線的定義解答. 【反饋檢測(cè)4】如圖所示，直線y=x-2與圓及拋物線依次交于A，B，C，D四點(diǎn)，則=（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第82講： 圓錐曲線常用解題技巧參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】 不妨設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，，則，中點(diǎn)設(shè)為，則，，將上述兩端點(diǎn)代入雙曲線方程得， 兩式相減得，而， ∴，化簡(jiǎn)得， 而，，于是在直線上. 【反饋檢測(cè)2答案】（1）；（2）是定值，為-1,過程見解析． 【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】（1）依題意，得 ∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線， ∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為． 【反饋檢測(cè)3答案】（1），（2） 【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】（1）由題可知： 所以橢圓方程為 （2）由 設(shè)，則 所以直線的方程為： 【反饋檢測(cè)4答案】 ，故選.