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2019-2020年高二上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)理 含答案(I) 數(shù)學(xué)試題共4頁。滿分150 分?？荚嚂r(shí)間120 分鐘。 注意事項(xiàng)： 1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。 2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。 3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。 4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.直線的傾斜角為( ) A.30 B.45 C.60 D.90 2.下列四條直線中, 哪一條是雙曲線的漸近線?( ) A. B. C. D. 3.如圖1,一個(gè)幾何體的三視圖是由兩個(gè)矩形和一個(gè)圓所組成, 則該幾何體的表面積是( ) A. B. C. D. (圖1) 4.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③x、y是平面，z是直線；④x、y、z均為平面。其中能使“”為真命題的是( ) A.③④ B.①③ C.②③ D.①② 5.直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O, 且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)．那么,直線AB與直線OM的斜率之積為 ( ) A. B.1 C. D.2 6.已知命題直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；命題若直線垂直于直線,且則. 下列命題中為真命題的是( ) A. B. C. D. 7.下列有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是 ( ) A.對(duì)于命題：使得. 則： 均有. B.“”是“”的充分不必要條件. C.命題“若, 則”的否命題為：“若,則”. D.命題“若，則”是假命題. 8.(原創(chuàng))如下圖2, 在平行四邊形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BAC=90. 將△ACD沿AC折起, 使得BD=. 在三棱錐D-ABC的四個(gè)面中,下列關(guān)于垂直關(guān)系的敘述錯(cuò)誤的是( ) A.面ABD⊥面BCD B.面ABD⊥面ACD C.面ABC⊥面ACD D.面ABC⊥面BCD (圖2) (圖3) 9.(原創(chuàng))如上圖3, 四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形, 面PAB⊥面ABCD. 在面PAB內(nèi)的有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M, 記M到面PAD的距離為. 若, 則動(dòng)點(diǎn)M在面PAB內(nèi)的軌跡是( ) A.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 10.設(shè)橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)為F（c, 0），方程的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1, x2)的位置( ) A.必在圓內(nèi) B.必在圓上 C.必在圓外 D.以上三種情形都有可能 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上. 11.過點(diǎn)P(3,1)向圓作一條切線, 切點(diǎn)為A, 則切線段PA的長為 . 12.橢圓+=1上一點(diǎn)P到它的右準(zhǔn)線的距離是10,那么P點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是 . 13.一個(gè)幾何體的三視圖如圖4, 則這個(gè)幾何體的體積為 . 14.半徑為5的球內(nèi)包含有一個(gè)圓臺(tái), 圓臺(tái)的上、下兩個(gè)底面都是 球的截面圓, 半徑分別為3和4. 則該圓臺(tái)體積的最大值為 . 15.(原創(chuàng))設(shè)A為橢圓()上一點(diǎn), 點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)為B, F為橢圓的右焦點(diǎn), 且AF⊥BF. 若∠ABF∈[,], (圖4) 則該橢圓離心率的取值范圍為 . 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16.(本小題13分)已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長為2。 (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線被雙曲線C截得的弦長為，求的值。 17.(本小題13分)已知命題A：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓； 命題B：實(shí)數(shù)使得不等式成立。 （1）若命題A為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若命題B是命題A的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 18.(本小題13分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，點(diǎn)E、F、G分別是AA1、 AC、BB1的中點(diǎn)，且CG⊥C1G . (1)求證：CG//面BEF; (2)求證：面BEF⊥面A1C1G . (圖5) (圖6) 19. (本小題12分) 如圖6-(1)所示，在邊長為12的正方形中，點(diǎn)B、C在線段AA′上，且AB=3，BC=4.作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點(diǎn)B1、P；作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點(diǎn)C1、Q. 現(xiàn)將該正方形沿BB1，CC1折疊，使得與AA1重合，構(gòu)成如圖6-(2)所示的三棱柱ABC-A1B1C1. (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：AP⊥BC; (2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，連接AQ與A1P，求四面體AA1QP的體積； (3)在三棱柱ABC- A1B1C1中，求直線 PQ與直線AC所成角的余弦值. 20.(本小題12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線的焦點(diǎn)。 (1)求橢圓C的方程； (2)直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，那么橢圓C的右焦點(diǎn)是否可以成為的垂心？若可以,求出直線的方程；若不可以,請說明理由.(注: 垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)) 21.(原創(chuàng))(本小題12分)如圖7, 已知圓,設(shè)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓C的弦AM，并使弦AM的中點(diǎn)恰好落在y軸上. (1)當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程； (2)已知定點(diǎn)P(-1,1)和Q(1,0)，設(shè)直線PM、QM與軌跡E的另一個(gè)交點(diǎn)分別是M1、M2 . 求證：當(dāng)M點(diǎn)在軌跡E上變動(dòng)時(shí)，只要M1、M2都存在且M1M2，則直線M1M2恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)。 (圖7) 數(shù) 學(xué) 答 案（理科） xx.11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C C A D A D A 11. ; 12. 12 ; 13. 3 ; 14. ; 15. [,] 16.解：(1)由題意，解得，∴，∴所求雙曲線的方程為. (2),由弦長公式得. 17.解：(1)由條件知; (2)B是A的必要不充分條件, 是解集的真子集. 因方程兩根為, 故只需. 18.證明：(1)法1：連結(jié)A1C，由A1C//EF且A1G//EB可知面A1CG//面EFB，所以CG//面BEF. 法2：連結(jié)AG交BE于點(diǎn)H，再連結(jié)FH，在△ACG中，F(xiàn)H是中位線，所以FH//CG，則CG//面BEF。 (2), 而CG//面BEF, 所以面BEF⊥面A1C1G. 19. (1)證明:因?yàn)锳B=3，BC=4，所以圖（2）中AC=5，從而有AC2=AB2+BC2,即BC⊥AB.又因?yàn)锽C⊥BB1，所以BC⊥平面ABB1A1, 則AP⊥BC. (2)解: , 由于CQ//面APA1且BC⊥面APA1, 所以Q到面APA1距離就是BC的長4, 所以. (3)解: 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A(3,0,0)、C(0,4,0)、 P(0,0,3)、Q(0,4,7).所以設(shè)直線AC 與直線PQ所成角為，則cos 20.解: (1)設(shè)橢圓方程為,拋物線的焦 點(diǎn)為(0,1), 由,所以橢圓方程為 (2)假設(shè)存在直線,使得點(diǎn)是的垂心.易知直線的斜率為,從而直線的斜率為1.設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程并整理,可得. 設(shè),則，.于是 解之得或. 當(dāng)時(shí),點(diǎn)即為直線與橢圓的交點(diǎn),不合題意; 當(dāng)時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)符合題意. 所以當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時(shí), 點(diǎn)是的垂心. 21解:(1)設(shè),則的中點(diǎn).因?yàn)?,在⊙中,因?yàn)?，所?，所以.所以,點(diǎn)的軌跡的方程為: . (2)設(shè)M, M1, M2的坐標(biāo)分別為,其中. 由P,M,M1共線得; 由Q,M,M2共線得. 所以, . 可見, 即直線M1 M2必有斜率. 由點(diǎn)斜式可求得直線M1 M2的方程為: , 將(*)中兩式代入得: , 再化簡得. 由方程組.所以直線M1 M2必過點(diǎn)(-1,-4)