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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 12.5《雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案（1） 滬教版 　一、教學(xué)內(nèi)容分析 本小節(jié)的重點(diǎn)是雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，通過對(duì)橢圓的定義的類比聯(lián)想，很容易想到研究到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡問題.要充分注意雙曲線定義中“”，“絕對(duì)值”的詞匯的定性描述，正確理解概念，注重思維的嚴(yán)密性.雙曲線定義的理解以及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，三個(gè)量的關(guān)系都可以與橢圓進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，從而理解兩種曲線的聯(lián)系與區(qū)別. 本小節(jié)的難點(diǎn)是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)可以在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)中類比完成.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是初步研究雙曲線的對(duì)稱性，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，注重方程化簡(jiǎn)過程中的合理變形.對(duì)于“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上”的證明，有條件的還是需要的，使方程的推導(dǎo)更完備. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 理解雙曲線的定義;能推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握焦點(diǎn)在軸和軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求給定條件下的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.通過對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，鞏固求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般方法.在與橢圓的類比學(xué)習(xí)中獲得雙曲線的知識(shí)，培養(yǎng)比較、分析、歸納、推理等能力. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo). 問題引入 概念探究 四、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 雙曲線的定義 與橢圓的類比 運(yùn)用與深化(例題解析) 標(biāo)準(zhǔn)方程 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí)回顧 思考并回答下列問題 1、橢圓的定義是什么？ 2、橢圓定義中有哪些注意點(diǎn)？ 3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？ 二、講授新課 1、概念引入 問題引入：如果把橢圓定義中的和改成差: 或,即: ，其中動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化呢？ ①若，則軌跡是線段的延長(zhǎng)線；若，則軌跡是線段的延長(zhǎng)線； ②若，則無軌跡； ③在條件下軌跡是存在的，我們把這時(shí)得到的軌跡叫做雙曲線. [說明]通過對(duì)橢圓定義的類比，啟發(fā)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)與的大小關(guān)系與動(dòng)點(diǎn)的軌跡的變化規(guī)律.此時(shí)可設(shè)計(jì)探究實(shí)驗(yàn)：學(xué)生用筆、細(xì)繩等工具試驗(yàn)畫出滿足條件的軌跡圖形（可以讓學(xué)生在上課前做一些實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)備），教師利用多媒體演示（并加以說明）.通過學(xué)生的動(dòng)手操作，增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度. 2、概念形成 n 雙曲線定義 定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做焦距. n 雙曲線定義中的注意點(diǎn) 在概念的理解中要注意： （1）是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)非零正常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)小于 . （2）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是與對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支， 時(shí)為雙曲線的另一支. 3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 可以仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 如圖8-12建系，設(shè)，取過點(diǎn)的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是所求軌跡上的點(diǎn). 依已知條件有，，，， 移項(xiàng)得：， 平方得： （*） 再平方得：， 即，令 則，即 反之：設(shè)是上的點(diǎn)，則， =，， ∴當(dāng)時(shí)， ，，有； 當(dāng)時(shí)，，，有 綜上：焦點(diǎn)在軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是①，其中，焦點(diǎn). [說明]對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)可以啟發(fā)學(xué)生仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法來完成，在建立直角坐標(biāo)系之前，可以讓學(xué)生初步推斷雙曲線所具有的對(duì)稱性，使建系更合理.對(duì)于證明“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上”這一過程可以視學(xué)生的程度來定，這樣可使推導(dǎo)過程更完整，思維更嚴(yán)謹(jǐn)，這一過程需在教師的引導(dǎo)下師生共同完成. 同樣如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上(圖8－13)，那么，此時(shí)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢？ 焦點(diǎn)是F1(0，－c)、F2(0，c)時(shí)，a、b的意義同上，那么只要將方程①的x、y互換，就可以得到焦點(diǎn)在軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，其中，焦點(diǎn). [說明]雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是指雙曲線在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的方程，這里的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)有兩層含義：（1）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，（2）這兩個(gè)焦點(diǎn)的中心必須與原點(diǎn)重合.從這一方面理解，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是在特殊的直角坐標(biāo)系下的方程. 思考：將方程推導(dǎo)過程中的方程（*）做變形可得，即，且，那么其中又蘊(yùn)涵著怎樣的幾何意義呢？ 思考其幾何意義可知，雙曲線上的點(diǎn)滿足到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)，這是雙曲線的一個(gè)幾何性質(zhì).反之，如果一個(gè)點(diǎn)滿足，且，即點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線嗎？這個(gè)問題留給課后思考. [說明] 思考這個(gè)問題的目的是擴(kuò)展學(xué)生的認(rèn)知空間，與圓錐曲線的第二定義聯(lián)系起來，使知識(shí)體系更系統(tǒng)化一些.這一問題是作為課后思考題讓學(xué)生完成. 4、例題解析 例1 課本P55例1. [說明] 本題主要是讓學(xué)生正確理解雙曲線的定義，熟悉雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)量的意義與方程的關(guān)系. 例2(補(bǔ)充)：求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. （1） 焦距為26，動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差為24； （2）已知雙曲線過定點(diǎn)，且，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. （3） 已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，且點(diǎn)，在此雙曲線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. [說明] 本題主要幫助學(xué)生掌握根據(jù)給定條件確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，注意方程的形式與焦點(diǎn)位置的關(guān)系.使學(xué)生學(xué)會(huì)用方程的思想來確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 例3：課本P56例2. [說明] 本題主要讓學(xué)生應(yīng)用雙曲線定義解決有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題，注意根據(jù)題設(shè)條件僅能得到雙曲線的一支.利用兩個(gè)不同的觀察站測(cè)得同一爆炸點(diǎn)的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，如果再增加一個(gè)觀察點(diǎn)C，利用B、C（或A、C）兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置了. 例4：課本P56例3. [說明]本題主要讓學(xué)生學(xué)習(xí)利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些相關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題.初步認(rèn)識(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用. 三、課堂小結(jié) 1.雙曲線的定義是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)非零正常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)小于.注意雙曲線定義中“”，“絕對(duì)值”的詞匯的定性描述. 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)是平方差，一般根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置，即項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上；項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上. 3、比較與區(qū)分雙曲線與橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的異同. 四、鞏固練習(xí) 1．課本P57練習(xí)12.5 2．（補(bǔ)充）填空：已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是 ；若表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍是 . 3．已知圓和圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程. 五、課后作業(yè) 1．練習(xí)冊(cè)P29習(xí)題12.5 A組1、2、3 2、練習(xí)冊(cè)P29習(xí)題12.5 A組4，B組1、2 六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1、用類比聯(lián)想的方法從橢圓的定義中提出新的問題，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？再通過探究解答問題，并提出雙曲線的定義，這樣可以使學(xué)生正確理解雙曲線的概念，并能在學(xué)習(xí)中主動(dòng)加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系.特別注意雙曲線定義中“”，“絕對(duì)值”的詞匯的定性描述，當(dāng)沒有絕對(duì)值時(shí)，通常表示為雙曲線的一支.在問題的探究過程中，可以設(shè)計(jì)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)參與的精神. 2、由于前一節(jié)學(xué)生接觸了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，對(duì)建、設(shè)、列、化、證等步驟有所熟悉，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程可以在教師的引導(dǎo)下由學(xué)生嘗試完成.特別是證明“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上”的過程可以由師生共同完成，以培養(yǎng)思維、論證的嚴(yán)密性. 3、本解課可以安排兩節(jié)課時(shí)，第一節(jié)主要是理解雙曲線的定義和正確推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.可以完成例1、例3，課后作業(yè)完成1.第二節(jié)課主要是學(xué)習(xí)根據(jù)已知條件確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及利用雙曲線的方程解決簡(jiǎn)單幾何問題.完成例2、例4和鞏固練習(xí).課后作業(yè)完成2. 4、運(yùn)用對(duì)比教學(xué)的方法，使學(xué)生區(qū)分橢圓與雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、三個(gè)量的異同.教師在課堂小結(jié)中可以設(shè)計(jì)一個(gè)表格，讓學(xué)生填寫內(nèi)容.見下表： 名 稱 橢 圓 雙 曲 線 圖 象 定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)2（2）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.即 當(dāng)2﹥2時(shí)，軌跡是橢圓， 當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是一條線段 當(dāng)2﹤2時(shí)，軌跡不存在 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)2（）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.即 當(dāng)2﹤2時(shí)，軌跡是雙曲線 當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是兩條射線 當(dāng)2﹥2時(shí)，軌跡不存在 標(biāo)準(zhǔn)方 程 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所 在的位置 常數(shù)的關(guān) 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） ， 最大，可以 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） 最大，可以