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2019-2020年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)講解 運(yùn)用向量法解題教案 舊人教版 平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題. ●難點(diǎn)磁場 (★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值. ●案例探究 ［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求證：C1C⊥BD. (2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明. 命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力. 知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單. 錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系. 技巧與方法：利用a⊥bab=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可. (1)證明：設(shè)=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、、中兩兩所成夾角為θ，于是=a－b，=c(a－b)=ca－cb=|c||a|cosθ－|c||b|cosθ=0,∴C1C⊥BD. (2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1， 由 =(a+b+c)(a－c)=|a|2+ab－bc－|c|2=|a|2－|c|2+|b||a|cosθ－|b||c|cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥BD， ∴=1時(shí)，A1C⊥平面C1BD. ［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn). (1)求的長； (2)求cos<>的值； (3)求證：A1B⊥C1M. 命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬 ★★★★級題目. 知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O－xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo). 錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo). 技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo). (1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz. 依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1) ∴||=. (2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). ∴==(0，1，2) =10+(－1)1+22=3 ||= (3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M() ∴ ∴A1B⊥C1M. ●錦囊妙計(jì) 1.解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識.二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想. 2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題. 3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考： (1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？ (4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？ ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四邊形 2.(★★★★)已知△ABC中，=a，=b，ab<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( ) A.30 B.－150 C.150 D.30或150 二、填空題 3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3，1)，則向量a=_________. 4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________. 三、解答題 5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設(shè)=a， =b， =c, =λa,(0<λ<1), =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c. 6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)； (2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. 7.(★★★★★)已知兩點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)，且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列. (1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？ (2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為與的夾角，求tanθ. 8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn). (1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面； (2)用向量法證明：BD∥平面EFGH； (3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)O，有. 參考答案 難點(diǎn)磁場 解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM= D點(diǎn)分的比為2. ∴xD= (3)∠ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，－5）. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，又線段AB與線段DC無公共點(diǎn)，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又||=， =(5，3），||=，∴||≠|(zhì)},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1）， ∴14+21=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD也不是矩形，故選D. 答案：D 2.解析：∵35sinα得sinα=,則α=30或α=150. 又∵ab＜0,∴α=150. 答案：C 二、3.(2,0) 4.13 cm 三、5.解：∵與共線，∴=m=m(－)=m(μb－a), ∴=+=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb ① 又與共線，∴=n=n(－)=n(λa－b), ∴=+=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b ② 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b. ∵a與b不共線，∴ ③ 解方程組③得：m=代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］. 6.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(－a). (2)取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M(0，a），連AM，MC1，有=(－a,0,0）, 且=(0，a,0）,=(0,0a) 由于=0，=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. ∵= 所以所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30. 7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得， =－=(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－=(2,0),∴=2(1+x), =x2+y2－1, =2(1－x).于是，是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于 所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓. (2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0) 8.證明：(1）連結(jié)BG，則 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中=） (2）因?yàn)? 所以EH∥BD，又EH面EFGH，BD面EFGH 所以BD∥平面EFGH. (3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一點(diǎn)M且被M平分，所以 .