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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)垂直平分線與角平分線 課后練習(xí) 題一： 如圖，AB是∠DAC的平分線，且AD=AC． 題二： 求證：BD=BC． 題三： 給出以下兩個(gè)定理： ①線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； ②到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上． 應(yīng)用上述定理進(jìn)行如下推理，如圖，直線l是線段MN的垂直平分線． ∵點(diǎn)A在直線l上， ∴AM=AN（　?。? ∵BM=BN，∴點(diǎn)B在直線l上（　?。? ∵CM≠CN，∴點(diǎn)C不在直線l上． 這是因?yàn)槿绻c(diǎn)C在直線l上，那么CM=CN（　?。? 這與條件CM≠CN矛盾．以上推理中各括號(hào)內(nèi)應(yīng)注明的理由依次是（　?。? A．②①① B．②①② C．①②② D．①②① 題四： 如圖所示，D是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分別是E，F(xiàn)．下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．OD=DE+DF 題五： 如圖，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CD⊥OP于P，并分別交OA、OB于C，D，則點(diǎn)P到∠AOB兩邊距離之和（　?。? A．小于CD B．大于CD C．等于CD D．不能確定 題六： 如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AC的垂直平分線MN與AB交于D點(diǎn)，∠BCD=10，則∠A的度數(shù)是 40． 題七： 如圖，AB=AC=10，∠A=40，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D． 求：（1）∠ABD的度數(shù)； （2）若△BCD的周長(zhǎng)是m，求BC的長(zhǎng)． 題八： 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，CD平分∠ACB交邊AB于點(diǎn)D，DE⊥BC垂足為E，BD = 2AD．求證：BE=CE． 題九： 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F(xiàn)是BE上一點(diǎn)，且BF=CE． 求證：FK∥AB． 題十： 如圖，AD是△ABC的角平分線，AD的中垂線分別交AB、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、E 題十一： 求證：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B． 題十二： 如圖，△ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D，F(xiàn)為垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求證：BE-AC=AE． 題十三： 如圖，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分線． 求證：AD=AC-AB． 題十四： 如圖，△ABC中，∠C=90，∠BAC的平分線交BC于D，且CD=15，AC=30，則AB的長(zhǎng)為50 ． 題十五： 一個(gè)風(fēng)箏如圖所示，兩翼AB=AC，橫骨BF⊥AC，CE⊥AB，問(wèn)其中骨AD能平分∠BAC嗎？為什么？ 題十六： 已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結(jié)論： ①； ②∠DAB+∠DCB=180； ③CD=CB； ④S△ACE-S△BCE=S△ADC． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 垂直平分線與角平分線 課后練習(xí)參考答案 題一： 見(jiàn)詳解． 詳解：∵AB是∠DAC的平分線，∴∠DAB=∠CAB， 在△ABD和△ABC中，， ∴△ABD≌△ABC（SAS）．∴BD=BC 題二： D． 詳解：根據(jù)題意，第一個(gè)空，由垂直平分線得到線段相等，應(yīng)用了性質(zhì)，填①； 第二個(gè)空，由線段相等得點(diǎn)在直線上，應(yīng)用了判定，填②； 第三個(gè)空，應(yīng)用了垂直平分線的性質(zhì)，填①． 所以填①②①，故選D． 題三： D． 詳解：∵D是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，DE⊥OA，DF⊥OB，∴DE=DF，故A選項(xiàng)成立， 在Rt△ODE和Rt△ODF中，，∴Rt△ODE≌Rt△ODF（HL）， ∴OE=OF，∠ODE=∠ODF，故B、C選項(xiàng)成立， OD=DE+DF無(wú)法證明，不一定成立．故選D． 題四： A． 詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， 則PE、PF分別為點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離， ∵PE＜PC，PF＜PD，∴PE+PF＜PC+PD，∴PE+PF＜CD， 即點(diǎn)P到∠AOB兩邊距離之和小于CD．故選A． 題五： 40． 詳解：∵M(jìn)N是AC的垂直平分線，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A， ∵在Rt△ABC中，∠B=90，∴∠A+∠ACB=90， ∵∠BCD=10，∴∠A+∠ACD+∠BCD=90，即2∠A+10=90， 解得：∠A=40．故答案為：40． 題六： （1）40；（2）m-10． 詳解：（1）∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，∴AD=BD， ∵∠A=40，∴∠ABD=∠A=40； （2）∵AB的垂直平分線交AC于D，∴AD=BD，∵△BCD的周長(zhǎng)為m， ∴BD+DC+BC=m，即AD+DC+BC=m，AC+BC=m， ∵AC=10，BC=m，∴BC=m-10． 題七： 見(jiàn)詳解 詳解：∵∠A=90，DE⊥BC，CD平分∠ACB，∴AD=DE， ∵BD = 2AD，∴BD =2DE．在Rt△BDE中，∵BD =2DE，∴∠B=30． 在Rt△ABC中，∵∠A=90，∠B=30，∴∠ACB=60．∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=30．∴∠BCD=∠B，∴BD=CD．∵DE⊥BC，∴BE=CE． 題八： 見(jiàn)詳解． 詳解：證明：過(guò)點(diǎn)K作MK∥BC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE， 又∵∠ACB=90，CD⊥AB，∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90，∴∠DKA=∠CEA， 又∵∠DKA=∠CKE，∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又CE=BF，∴CK=BF，而MK∥BC， ∴∠B=∠AMK，∴∠BCD+∠B=∠DCA+∠BCD=90，∴∠AMK=∠DCA， 在△AMK和△ACK中，∴∠AMK=∠ACK，AK=AK，∠MAK=∠CAK， ∴△AMK≌△ACK，∴CK=MK，∴MK=BF，MK∥BF， 四邊形BFKM是平行四邊形，∴FK∥AB． 題九： 見(jiàn)詳解 詳解：（1）∵EF是AD的中垂線，∴DE=AE．∴∠EAD=∠EDA． （2）∵EF為中垂線，∴FD=FA．∴∠FDA=∠FAD．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAC， 所以∠FDA=∠DAC．∴DF∥AC． （3）∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD， ∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD，∵∠FAD=∠DAC，∴∠EAC=∠B． 題十： 見(jiàn)詳解 詳解：作DG⊥AC，連接BD、CD，∵AD是外角∠BAG的平分線，DE⊥AB， ∴∠DAE=∠DAG，則在△ADE與△ADG中，， ∴△ADE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∵DF是BC的中垂線，∴BD=CD， ∴在Rt△BED和Rt△CGD中，，∴Rt△BED≌Rt△CGD（HL）， ∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，∴BE-AC=AE． 題十一： 見(jiàn)詳解 詳解：在AC上截取AE=AB，連DE，如圖， 設(shè)∠C=x， ∵∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，∴∠BAC=4x，∠B=2x， ∵AD是∠BAC的平分線，∴∠3=∠4=2x，∵在△ABD和△AED中，， ∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠1=2x，∴∠1=∠4，∴DA=DE， ∵∠1=∠2+∠C，∠C=x，∴∠2=2x-x=x，即∠2=∠C，∴ED=EC，∴DA=EC， ∴AC=AE+EC=AB+AD，即AD=AC-AB． 題十二： 50． 詳解：如圖，作DE⊥AB，∴∠BED=90， ∴∠BED=∠C=90，∵∠EBD=∠ABC，∴△ABC∽△DBE，∴，設(shè)BD=x，BE=y，則，30y=152+15x，x=2y-15，在Rt△DBE中，BD2=DE2+BE2， 即（2y-15）2=y2+152，y（y-20）=0，∴y=20，AB=AE+BE=30+20=50．故答案為：50． 題十三： 能平分∠BAC． 詳解：中骨AD能平分∠BAC．理由如下：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB=∠AEC=90，又∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，∴△BAF≌△CAE，∴AF=AE． 在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=AD，AE=AF，∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠EAD=∠FAD，答：中骨AD能平分∠BAC． 題十四： D． 詳解：①在AE取點(diǎn)F，使EF=BE． ∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF， ∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE， ∴，故①正確； ②在AB上取點(diǎn)F，使BE=EF，連接CF．在△ACD與△ACF中， ∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC． ∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180， ∴∠ADC+∠B=180，∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180，故②正確； ③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正確； ④易證△CEF≌△CEB，∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF， ∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正確．故選D．