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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊一輪復(fù)習(xí) 第24課時(shí) 圖形的變換⑴軸對稱與中心對稱 【基礎(chǔ)知識梳理】 1.軸對稱圖形、軸對稱 如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠 ，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫 . 對于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對折后，它們能 ，那么，這兩個(gè)圖形成 ，這條直線就是對稱軸。 2.軸對稱的性質(zhì) 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸 。 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)線段 ，對應(yīng)角 。 3.中心對稱、中心對稱圖形 中心對稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如果它能與另一個(gè)圖形 ，那么這兩個(gè)圖形成中心對稱，該點(diǎn)叫做 。 中心對稱圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 0，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形 ，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的 。 【基礎(chǔ)診斷】 1、（xx?山東煙臺，第2題3分）下列手機(jī)軟件圖標(biāo)中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　D?。? A． B． C． D． 2、（xx?山東濰坊，第2題3分）下列標(biāo)志中不是中心對稱圖形的是(C ) 3、（xx?海南）如圖，△ABC與△DEF關(guān)于y軸對稱，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　　） 　 A． （﹣4，6） B． （4，6） C． （﹣2，1） D． （6，2） 4、(xx年湖北咸寧9．（3分）)點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為?。ī?，﹣2）?。? 【精典例題】 例1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C(a，1) 當(dāng)a＝ 時(shí)，AC＋BC的值最?。? 2) 當(dāng)a＝ 時(shí)，B C﹣AC的值最大． y A 0 B 例3圖 例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，） ，△AOB的面積是. （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式； （3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長最??？ 若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； 【自測訓(xùn)練】A—基礎(chǔ)訓(xùn)練 1、 選擇題（每小題有四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的） 1、（xx?甘肅蘭州,第1題4分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（　A?。? 　 A． B． C． D． 2、（xx山東濟(jì)南，第5題，3分）下列圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 3、（xx濟(jì)寧）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（　　） 　 A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3） 4、（xx?南寧）如圖所示，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（　?。? 　 A． 正三角形 B． 正方形 C． 正五邊形 D． 正六邊形 5、（xx?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑圓弧，兩弧在直線BC上方的交點(diǎn)為P，直線PD交AC于點(diǎn)E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正確的是（　　） 　 A．①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ 6、（xx?四川宜賓，第14題，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，則EB′= 1.5 ． 二、填空題 7、如圖，正方形的邊長為，是的中點(diǎn)，是對角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是　　　　　。 8、（7分）（xx?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連接MN，與AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，連接AE，則： （1）∠ADE=　 　； （2）AE　=　EC；（填“=”“＞”或“＜”） （3）當(dāng)AB=3，AC=5時(shí)，△ABE的周長=　 　． 9、如圖，邊長為2的正方形ABCD的中心在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，AD∥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A、D兩點(diǎn)的拋物線與以O(shè)為頂點(diǎn)且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線將正方形分割成幾部分，則圖中陰影部份的面積是 第9題圖 10、（xx?無錫，第18題2分）如圖，菱形ABCD中，∠A=60，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是　3　． 三、解答題 11、（xx?江西撫州，第15題，5分） 如圖，△與△關(guān)于直線對稱，請用無刻度的直尺，在下面兩個(gè)圖中分別作出直線. 12、（8分）（xx?南寧）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）請畫出△ABC向左平移5個(gè)單位長度后得到的△A1B1C1； （2）請畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A2B2C2； （3）在x軸上求作一點(diǎn)P，使△PAB的周小最小，請畫出△PAB，并直接寫出P的坐標(biāo)． 13、①如圖，∠AOB=45，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)， 求△PQR周長的最小值． ②變式:如圖，∠AOB=45，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，若∠ AOP=30. Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，PR+QR的最小值. （3）如圖，在銳角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 ． 14、如圖（a），點(diǎn)A、B在直線的同側(cè)，要在直線上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接AB′與直線交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求． （1）實(shí)踐運(yùn)用： 如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為_______. （2）知識拓展： 如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程． （3）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，－3），B(4，－1）若 C(a，0)，D(a+3，0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a ＝______時(shí)，四邊形ABDC的周長最短． B提升訓(xùn)練 一、選擇題 1、有如下圖形：①函數(shù)的圖形；②函數(shù)的圖像；③一段弧；④平行四 邊形，其中一定是軸對稱圖形的有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2、（xx?四川南充，第3題，3分）下列幾何體的主視圖既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（D 　） 　 A． B． C． D． 3．(xx年湖北荊門) （xx?湖北荊門,第9題3分）如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，左上角陰影部分是一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形（簡稱格點(diǎn)正方形）．若再作一個(gè)格點(diǎn)正方形，并涂上陰影，使這兩個(gè)格點(diǎn)正方形無重疊面積，且組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個(gè)格點(diǎn)正方形的作法共有（　?。? 第8題圖 　 A．2種 B． 3種 C． 4種 D． 5種 4、把等腰沿底邊翻折，得到，那么四邊形( ) D C B A 第4題圖 A. 是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形 B. 是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形 C. 既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形 D. 以上都不正確 5、（xx?山東聊城，第7題，3分）如圖，點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)R落在MN的延長線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為（　A　） 　 A． 4.5 B． 5.5 C． 6.5 D． 7 二、填空題 6、（xx?山東棗莊，第13題4分）如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個(gè)小正方形所形成的圖案，再將方格內(nèi)空白的一個(gè)小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個(gè)軸對稱圖形的涂法有 3 種． 7、在平面直角坐標(biāo)系中，先將拋物線關(guān)于軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為 8、（xx?梅州）如圖，彈性小球從點(diǎn)P（0，3）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2，…，第n次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)是?。?，3）?。稽c(diǎn)Pxx的坐標(biāo)是 ． 答案為：（8，3），（5，0） 9、已知點(diǎn)A（1，5），B（3，－1），點(diǎn)M在x軸上，當(dāng)AM－BM最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為　　　　　　. 10、（xx?無錫，第18題2分）如圖，菱形ABCD中，∠A=60，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是　3　． 11、（xx?煙臺）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為　108　度． 12、（xx?嘉興）如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到點(diǎn)E時(shí)，小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為　6　，小球P所經(jīng)過的路程為　6　． 13、（xx?青島，第13題3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60，對角線AC平分∠BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，連接EF．點(diǎn)P是EF上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為　2?。? 三、解答題 14、（14分）（xx?海南）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)． （1）求此拋物線的解析式； （2）當(dāng)a=1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長最小？請說明理由． 15、（12分）（xx?呼和浩特）如圖，已知直線l的解析式為y=x﹣1，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D（1，）三點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象； （2）已知點(diǎn) P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，延長PE與直線l交于點(diǎn)F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)一定在PB所在直線上． 答案： B提升訓(xùn)練 14、 考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題． 分析： （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （2）首先求出四邊形MEFP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點(diǎn)P坐標(biāo)； （3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最?。? 解答： 解：（1）∵對稱軸為直線x=2， ∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k． 將A（﹣1，0），C（0，5）代入得： ，解得， ∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5． （2）當(dāng)a=1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2． 設(shè)P（x，﹣x2+4x+5）， 如答圖2，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5， ∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4． S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME =（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE =（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣11 =﹣x2+x+ =﹣（x﹣）2+ ∴當(dāng)x=時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）． （3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3． 令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2． ∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+，3）． 四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值． 如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得M1（1，1）； 作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）； 連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最?。? 設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得： ，解得：m=，n=﹣， ∴y=x﹣． 當(dāng)y=0時(shí)，解得x=．∴F（，0）． ∵a+1=，∴a=． ∴a=時(shí)，四邊形PMEF周長最?。? 點(diǎn)評： 本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計(jì)算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€的性質(zhì)．試題計(jì)算量偏大，注意認(rèn)真計(jì)算． 15、 考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題． 分析： （1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，再根據(jù)A（m，0）在拋物線上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，從而得到A點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）根據(jù)四邊形PAFB的面積S=AB?PF，可得S=﹣（x+2）2+12，根據(jù)函數(shù)的最值可得S的最大值是12，進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為； （3）根據(jù)待定系數(shù)法得到PB所在直線的解析式為y=﹣x+1，設(shè)Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點(diǎn)，則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（a，1﹣a），將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立，依此即可求解． 解答： 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)B（2，0），D（1，）， ∴， 解得a=﹣，b=﹣， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2， ∵A（m，0）在拋物線上， ∴0=﹣m2﹣m+2， 解得m=﹣4， ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0）． 如圖所示： （2）∵直線l的解析式為y=x﹣1， ∴S=AB?PF =6?PF =3（﹣x2﹣x+2+1﹣x） =﹣x2﹣3x+9 =﹣（x+2）2+12， 其中﹣4＜x＜0， ∴S的最大值是12，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）； （3）∵直線PB經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，2），B（2，0）， ∴PB所在直線的解析式為y=﹣x+1， 設(shè)Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點(diǎn)， 則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（a，1﹣a）， 將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立， ∴直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)一定在PB所在直線上． 點(diǎn)評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，函數(shù)的最值問題，四邊形的面積求法，以及關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征．