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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第六章 高考專題突破三 高考中的數(shù)列問題 理 新人教A版
1．公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且－3a1，－a2，a3成等差數(shù)列，若a1＝1，則S4等于( )
A．－20 B．0 C．7 D．40
答案 A
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其中q≠1，
依題意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0.
即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，
又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20，故選A.
2．?dāng)?shù)列{an}中，已知對任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a＋a＋a＋…＋a等于( )
A．(3n－1)2 B.(9n－1)
C．9n－1 D.(3n－1)
答案 B
解析 a1＝2，a1＋a2＋…＋an＝3n－1，①
n≥2時，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，②
①－②得an＝3n－12(n≥2)，
n＝1時，a1＝2適合上式，∴an＝23n－1.
∴a＋a＋…＋a
＝＝
＝(9n－1)．
3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，S50＝0.設(shè)bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，則當(dāng)數(shù)列{bn}的前n項和Tn取得最大值時，n的值是( )
A．23 B．25
C．23或24 D．23或25
答案 D
解析 因為S50＝(a1＋a50)
＝25(a25＋a26)＝0，
a1>0，所以a25>0，a26<0，
所以b1，b2，…，b23>0，b24＝a24a25a26<0，
b25＝a25a26a27>0，
b26，b27，…<0，
且b24＋b25＝0，
所以當(dāng)數(shù)列{bn}的前n項和Tn取得最大值時，n的值為23或25.
4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝an－，若1
1時，Sn－1＝an－1－，
∴an＝an－an－1，
∴an＝－2an－1，
又a1＝－1，∴{an}為等比數(shù)列，且an＝－(－2)n－1，
∴Sk＝，
由11，∴q＝2，∴a1＝1.
故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1.
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，
∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差數(shù)列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝ln 2.
故Tn＝ln 2.
思維升華 (1)正確區(qū)分等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中公比等于1的等比數(shù)列也是等差數(shù)列．
(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化，若數(shù)列{bn}是一個公差為d的等差數(shù)列，則{abn}(a>0，a≠1)就是一個等比數(shù)列，其公比q＝ad；反之，若數(shù)列{bn}是一個公比為q(q>0)的正項等比數(shù)列，則{logabn}(a>0，a≠1)就是一個等差數(shù)列，其公差d＝logaq.
已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項．
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.
解 (1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2 (因為d>0).
∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1.
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴數(shù)列{bn}的公比為3，
∴bn＝33n－2＝3n－1.
(2)由＋＋…＋＝an＋1，得
當(dāng)n≥2時，＋＋…＋＝an.
兩式相減得，＝an＋1－an＝2.
∴cn＝2bn＝23n－1 (n≥2)．
又當(dāng)n＝1時，＝a2，∴c1＝3.
∴cn＝
∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013
＝3＋＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.
題型二 數(shù)列的通項與求和
例2 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝，an＋1＝an.
(1)證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；
(2)求通項an與前n項的和Sn.
(1)證明 因為a1＝，an＋1＝an，
當(dāng)n∈N*時，≠0.
又＝，∶＝(n∈N*)為常數(shù)，
所以{}是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
(2)解 由{}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
得＝()n－1，
所以an＝n()n.
∴Sn＝1()＋2()2＋3()3＋…＋n()n，
Sn＝1()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1，
∴Sn＝()＋()2＋()3＋…＋()n－n()n＋1
＝－n()n＋1，
∴Sn＝2－()n－1－n()n
＝2－(n＋2)()n.
綜上，an＝n()n，Sn＝2－(n＋2)()n.
思維升華 (1)一般數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列，此時要從證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息．
(2)根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，本題選用的錯位相減法，常用的還有分組求和，裂項求和．
已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn＝，n∈N*.
(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
(2)設(shè)bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
(1)證明 ∵Sn＝，n∈N*，
∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝ (an>0)，∴a1＝1.
當(dāng)n≥2時，由
得2an＝a＋an－a－an－1.
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2)．
∴數(shù)列{an}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)可得an＝n，Sn＝，
bn＝＝＝－.
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
題型三 數(shù)列與不等式的綜合問題
例3 (xx廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<.
(1)解 2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，
所以a2＝4.
(2)解 當(dāng)n≥2時，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
兩式相減得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，
即－＝1，又－＝1，
故數(shù)列是首項為＝1，公差為1的等差數(shù)列，
所以＝1＋(n－1)1＝n，所以an＝n2，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2，n∈N*.
(3)證明 當(dāng)n＝1時，＝1<；
當(dāng)n＝2時，＋＝1＋＝<；
當(dāng)n≥3時，＝<＝－，
此時＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋
＝1＋＋＋＋…＋
＝＋－＝－<，
所以對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<.
思維升華 (1)以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解．
(2)以數(shù)列為背景的不等式證明問題，多與數(shù)列求和有關(guān)，有時利用放縮法證明．
已知等差數(shù)列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Tn＝，若對于一切正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解 (1)設(shè)公差為d，由題意得：
解得∴an＝3n.
(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，
∴Tn＝，
∴Tn＋1－Tn＝－
＝，
∴當(dāng)n≥3時，Tn>Tn＋1，且T1＝10，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an等價于5－λ>，
記bn＝，n≥2時，＝＝，
所以n≥3時<1，(bn)max＝b3＝，
所以λ<.
4．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，它們滿足S4＝2S2＋8，b2＝，T2＝，且當(dāng)n＝4或5時，Sn取得最小值．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)令cn＝(Sn－λ)(－Tn)，n∈N*，如果{cn}是單調(diào)數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．
解 (1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，
因為當(dāng)n＝4或5時，Sn取得最小值，所以a5＝0，
所以a1＝－4d，所以an＝(n－5)d，
又由a3＋a4＝a1＋a2＋8，
得d＝2，a1＝－8，
所以an＝2n－10；
由b2＝，T2＝得b1＝，
所以q＝，所以bn＝.
(2)由(1)得Sn＝n2－9n，Tn＝－，
cn＝，
當(dāng){cn}為遞增數(shù)列時，cnn2－10n＋4恒成立，∴λ∈?，
當(dāng){cn}為遞減數(shù)列時，cn>cn＋1，
即λ2－.
6．(xx四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)．
(1)若a1＝－2，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；
(2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列{}的前n項和Tn.
解 (1)由已知，得b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，
有2a8＝42a7＝2a7＋2.
解得d＝a8－a7＝2.
所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為＝()(x－a2)，
它在x軸上的截距為a2－.
由題意知，a2－＝2－，
解得a2＝2.
所以d＝a2－a1＝1，從而an＝n，bn＝2n.
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋.
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－
＝2－－＝.
所以Tn＝.
2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第六章 高考專題突破三 高考中的數(shù)列問題 理 新人教A版.doc
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