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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題4 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列 理 等差、等比數(shù)列的基本運算 1.(xx新課標全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10等于(　B　) (A) (B) (C)10 (D)12 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d. 由題設(shè)知d=1,S8=4S4, 所以8a1+28=4(4a1+6), 解得a1=, 所以a10=+9=,選B. 2.(xx遼寧省錦州市質(zhì)量檢測(一))已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4-2+3a8=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b2b8b11等于(　D　) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:因為a4-2+3a8=0, 所以a1+3d-2+3(a1+7d)=0, 所以4(a1+6d)-2=0, 即4a7-2=0, 又a7≠0, 所以a7=2,所以b7=2, 所以b2b8b11=b1qb1q7b1q10=(b1q6)3==8. 故選D. 3.(xx河南鄭州第二次質(zhì)量預測)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若27a3-a6=0,則=　　　　. 解析:設(shè)等比數(shù)列公比為q(q≠1), 因為27a3-a6=0, 所以27a3-a3q3=0, 所以q3=27,q=3, 所以====28. 答案:28 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應用 4.(xx河南省六市第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,若a4+a6=10,則a7(a1+2a3)+a3a9的值為(　C　) (A)10 (B)20 (C)100 (D)200 解析:a7(a1+2a3)+a3a9 =a1a7+2a3a7+a3a9 =+2a4a6+ =(a4+a6)2=102=100. 故選C. 5.設(shè)等比數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,已知S3=8,S6=7,則a7+a8+a9等于(　A　) (A) (B)- (C) (D) 解析:因為a7+a8+a9=S9-S6,在等比數(shù)列中S3,S6-S3,S9-S6也成等比數(shù)列,即8,-1,S9-S6成等比數(shù)列,所以有8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故選A. 6.(xx新課標全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2等于(　C　) (A)2 (B)1 (C) (D) 解析:法一　根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合已知條件求出a4,q后求解. 因為a3a5=,a3a5=4(a4-1), 所以=4(a4-1), 所以-4a4+4=0, 所以a4=2. 又因為q3===8, 所以q=2, 所以a2=a1q=2=.故選C. 法二　直接利用等比數(shù)列的通項公式,結(jié)合已知條件求出q后求解. 因為a3a5=4(a4-1), 所以a1q2a1q4=4(a1q3-1), 將a1=代入上式并整理,得 q6-16q3+64=0, 解得q=2, 所以a2=a1q=.故選C. 7.(xx哈師大附中、東北師大附中、遼寧實驗中學第一次聯(lián)合模擬)設(shè)Sn是公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1>0,若S5=S9,則當Sn最大時,n等于(　B　) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:依題意得S9-S5=a6+a7+a8+a9=0, 所以2(a7+a8)=0, 所以a7+a8=0, 又a1>0, 所以該等差數(shù)列的前7項為正數(shù),從第8項開始為負數(shù). 所以當Sn最大時,n=7. 故選B. 8.(xx東北三校第一次聯(lián)合模擬)若等差數(shù)列{an}中,滿足a4+a6+axx+axx=8,則Sxx=　　　　. 解析:因為a4+a6+axx+axx=8, 所以2(a4+axx)=8, 所以a4+axx=4. 所以Sxx===4030. 答案:4030 等差、等比數(shù)列的綜合問題 9.(xx甘肅二診)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足S17>0,S18<0,則,,…,中最大的項為(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:因為S17==17a9>0, S18==9(a10+a9)<0, 所以a9>0,a10+a9<0, 所以a10<0. 所以等差數(shù)列為遞減數(shù)列, 則a1,a2,…,a9為正,a10,a11,…為負,S1,S2,…,S17為正,S18,S19,…為負, 所以>0,>0,…,>0,<0,<0,…,<0, 又S1a2>…>a9, 所以,,…,中最大的項為. 故選C. 10.(xx遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若數(shù)列{}為遞減數(shù)列,則(　C　) (A)d<0 (B)d>0 (C)a1d<0 (D)a1d>0 解析:因為數(shù)列{}為遞減數(shù)列, a1an=a1[a1+(n-1)d]=a1dn+a1(a1-d),等式右邊為關(guān)于n的一次函數(shù), 所以a1d<0. 11.(xx蘭州高三診斷)在等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若a3,a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項,試求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解:(1)因為{an}為等比數(shù)列, 所以=q3=8;所以q=2.所以an=22n-1=2n. (2)b3=a3=23=8,b5=a5=25=32, 又因為{bn}為等差數(shù)列, 所以b5-b3=24=2d, 所以d=12, b1=a3-2d=-16, 所以Sn=-16n+12=6n2-22n. 一、選擇題 1.(xx云南第二次檢測)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1∶a2=1∶2,則S1∶S3等于(　D　) (A)1∶3 (B)1∶4 (C)1∶5 (D)1∶6 解析:S1∶S3=a1∶(a1+a2+a3)=a1∶3a2, 又a1∶a2=1∶2, 所以S1∶S3=1∶6. 故選D. 2.(xx銀川九中月考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn等于(　B　) (A)2n-1 (B)（）n-1 (C)（）n-1 (D) 解析:由Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn), 所以Sn+1=Sn. 所以{Sn}是以S1=a1=1為首項,為公比的等比數(shù)列. 所以Sn=（）n-1. 故選B. 3.(xx河北石家莊二模)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,則a5等于(　A　) (A) (B)- (C)2 (D)-2 解析:設(shè)公比為q, 因為S3=a2+5a1, 所以a1+a2+a3=a2+5a1, 所以a3=4a1, 所以q2==4, 又a7=2, 所以a5===. 故選A. 4.已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10等于(　D　) (A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7 解析:法一　利用等比數(shù)列的通項公式求解. 由題意得 所以或 所以a1+a10=a1(1+q9)=-7. 法二　利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解. 由 解得或 所以或 所以a1+a10=a1(1+q9)=-7. 故選D. 5.(xx蘭州高三診斷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a4=18-a5,則S8等于(　D　) (A)18 (B)36 (C)54 (D)72 解析:因為a4=18-a5, 所以a4+a5=18, 所以S8====72. 故選D. 6.(xx鄭州市第二次質(zhì)量預測)在數(shù)列{an}中,an+1=can(c為非零常數(shù)),前n項和為Sn=3n+k,則實數(shù)k為(　A　) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由an+1=can, 可知{an}是等比數(shù)列,設(shè)公比q, 由Sn=, 得Sn=-qn+. 由Sn=3n+k, 知k=-1.故選A. 7.設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列,滿足+=+,則該數(shù)列的前10項和等于(　C　) (A)-10 (B)-5 (C)0 (D)5 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d(d≠0), 由+=+得, (a1+3d)2+(a1+4d)2=(a1+5d)2+(a1+6d)2, 整理得2a1+9d=0, 即a1+a10=0, 所以S10==0. 故選C. 8.(xx北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列,下列結(jié)論中正確的是(　C　) (A)若a1+a2>0,則a2+a3>0 (B)若a1+a3<0,則a1+a2<0 (C)若0 (D)若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0 解析:因為{an}為等差數(shù)列, 所以2a2=a1+a3. 當a2>a1>0時,得公差d>0, 所以a3>0, 所以a1+a3>2, 所以2a2>2, 即a2>,故選C. 9.(xx大連市二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2=4,S10=110,則的最小值為(　C　) (A)7 (B) (C) (D)8 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則 解得 所以an=2+2(n-1)=2n,Sn=2n+2=n2+n, 所以= =++ ≥2+=. 當且僅當=,即n=8時取等號. 故選C. 10.(xx福建卷)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于(　D　) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:由題可知a,b是x2-px+q=0的兩根, 所以a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均為正數(shù). 因為a,b,-2適當排序后成等比數(shù)列, 所以-2是a,b的等比中項,得ab=4, 所以q=4.又a,b,-2適當排序后成等差數(shù)列,所以-2是第一項或第三項,不妨設(shè)a0, 所以a=1,此時b=4, 所以p=a+b=5, 所以p+q=9.故選D. 二、填空題 11.(xx黑龍江高三模擬)等差數(shù)列{an}中,a4+a8+a12=6,則a9-a11=　　　　. 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d, 因為a4+a8+a12=6,所以3a8=6, 即a8=a1+7d=2, 所以a9-a11=a1+8d-(a1+10d) =a1+d =(a1+7d) =2=. 答案: 12.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)若正項數(shù)列{an}滿足a2=,a6=,且=(n≥2,n∈N*),則log2a4=　　　　. 解析:因為=(n≥2,n∈N*), 所以=an-1an+1, 所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列. 又a2=,a6=, 所以q4==. 因為數(shù)列為正項數(shù)列, 所以q>0,所以q=. 所以a4=a2q2==, 所以log2a4=log2=-3. 答案:-3 13.(xx安徽卷)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項和等于　　　　. 解析:因為a1=1,an=an-1+(n≥2), 所以數(shù)列{an}是首項為1、公差為的等差數(shù)列, 所以前9項和S9=9+=27. 答案:27 14.(xx湖南卷)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=　　　　. 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0), 依題意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2, S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2. 又3S1,2S2,S3成等差數(shù)列, 所以4S2=3S1+S3, 即4(1+q)=3+1+q+q2, 所以q=3(q=0舍去). 所以an=a1qn-1=3n-1. 答案:3n-1