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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)方法3.3解答題的解法教學(xué)案文 數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類重要題型，通常是高考的把關(guān)題和壓軸題，具有較好的區(qū)分層次和選拔功能．目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識綜合型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力的綜合型解答題．在高考考場上，能否做好解答題，是高考成敗的關(guān)鍵，因此，在高考備考中學(xué)會怎樣解題，是一項重要的內(nèi)容．從歷年高考看這些題型的命制都呈現(xiàn)出顯著的特點和解題規(guī)律，從閱卷中發(fā)現(xiàn)考生“會而得不全分”的大有人在，針對以上情況，本節(jié)就具體的題目類型，來談一談解答數(shù)學(xué)解答題的一般思維過程、解題程序和答題格式，即所謂的“答題模板”． “答題模板”就是首先把高考試題納入某一類型，把數(shù)學(xué)解題的思維過程劃分為一個個小題，按照一定的解題程序和答題格式分步解答，即化整為零．強調(diào)解題程序化，答題格式化，在最短的時間內(nèi)擬定解決問題的最佳方案，實現(xiàn)答題效率的最優(yōu)化． 【常見答題模板展示】 模板一　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 試題特點：通過升、降冪等恒等變形，將所給三角函數(shù)化為只含一種函數(shù)名的三角函數(shù)(一般化為，然后再研究三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值等． 求解策略：觀察三角函數(shù)中函數(shù)名稱、角與結(jié)構(gòu)上的差異，確定三角化簡的方向． 例1已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的對稱中心； (Ⅱ)求在上的單調(diào)區(qū)間. 思路分析：(1)由兩角和差公式化簡可得，，然后再令，即可求出對稱中心；(2)令，解得；又由于，所以，由此即可求出單調(diào)區(qū)間. ，故所求單調(diào)區(qū)間為. 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成的形式或的形式． 如：. 第二步：根據(jù)的表達(dá)式求其周期、最值． 第三步：由 的單調(diào)性，將“”看作一個整體，轉(zhuǎn)化為解不等式問題． 第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范. 【舉一反三】 1.已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值. 模板二　三角變換與解三角形 試題特點：題中出現(xiàn)邊與角的關(guān)系或者給定向量的關(guān)系式，利用正、余弦定理或利用向量的運算，將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再進行有關(guān)的三角恒等變換解三角形． 求解策略：（1）利用數(shù)量積公式、垂直與平行的主要條件轉(zhuǎn)化向量關(guān)系為三角問題來解決．（2）利用正、余弦定理進行三角形邊與角的互化． 例2在中，角所對的邊分別為，的面積為，若. （Ⅰ）求角的大??； （Ⅱ）若，，求的值. 思路分析：（Ⅰ）由余弦定理及三角形面積公式得，因此，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍得（Ⅱ）將條件，代入得，再根據(jù)余弦定理得，所以，因此 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)注出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向． 第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化． 第三步：求結(jié)果． 第四步：回顧反思，在實施邊角互化的時候應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向，一般有兩種思路：一是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系；二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進行恒等變形. 【舉一反三】 在中，角所對的邊分別為，且． （1）求的值； （2）若，求的面積的值． 模板三　概率的計算問題 試題特點：主要考查古典概型、幾何概型，等可能事件的概率計算公式，互斥事件的概率加法公式，對立事件的概率減法公式，相互獨立事件的概率乘法公式等內(nèi)容． 求解策略：（1）搞清各類事件類型，并溝通所求事件與已知事件的聯(lián)系．（2）涉及“至多”、“至少”問題時要考慮是否可通過計算對立事件的概率求解．（3）在概率與統(tǒng)計的綜合問題中，能利用統(tǒng)計的知識提取相關(guān)信息用于解題． 例3.某冷飲店只出售一種飲品，該飲品每一杯的成本價為3元，售價為8元，每天售出的第20杯及之后的飲品半價出售．該店統(tǒng)計了近10天的飲品銷量，如圖所示：設(shè)為每天飲品的銷量，為該店每天的利潤． （1）求關(guān)于的表達(dá)式； （2）從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，求選出的這2天日利潤都是97元的概率． 思路分析：（1）根據(jù)利潤等于銷量乘以每一杯利潤，而每一杯利潤與銷量是分段函數(shù)關(guān)系，得當(dāng)時，每一杯利潤為，所以；當(dāng)時，中每一杯利潤為，從第起每一杯利潤為；（2）由，所以日利潤不少于96元共有5天，由，所以日利潤是97元共有2天，利用列舉法得從這5天中任取2天共有10種基本事件，其中選出的2天銷量都為21天的情況只有1種，因此所求概率為 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：記事件． 第二步：指出事件性質(zhì)，即指出是互斥事件、相互獨立事件，古典概型． 第三步：求各個事件的概率． 第四步：求出所求概率． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范． 【舉一反三】 某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖． （1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50名學(xué)生百米測試成績的平均值； （2）若從第一組、第五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1的概率． 【解析】（1）由頻率分布直方圖知，百米測試成績的平均值為 ． 模板四　立體幾何中位置關(guān)系的證明及體積的計算問題 試題特點：立體幾何解答題主要分兩類：一類是空間線面關(guān)系的判定和推理證明，主要是證明平行和垂直；另一類是空間幾何量(幾何體體積與面積)的計算． 求解策略：利用“線線?線面?面面”三者之間的相互轉(zhuǎn)化證明有關(guān)位置關(guān)系問題：①由已知想未知，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合來找證題思路；②利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一． 例4 如圖，直三棱柱中，，． （1）證明：； （2）求三棱錐的體積． 思路分析：（1）由于所以只需證，計算證明，所以，所以平面，所以；（2）利用等體積法轉(zhuǎn)化頂點. 試題解析：（1）在直角中，，又，∴， ∴，又，∵，∴平面，∴． （2）． 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化． 第二步：寫出推證平行或垂直所需的條件，條件要充分． 第三步：寫出所證明的結(jié)論． 第四步：觀察幾何體的形狀，選擇求幾何體的面積與體積的方法． 第五步：求幾何體的面積與體積． 第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范． 【舉一反三】 如圖，在三棱柱中，是的中點. （1）求證：平面； （2）若，求證. ， 又因為,所以,即. 模板五　數(shù)列通項公式及求和問題 試題特點：數(shù)列解答題一般設(shè)兩到三問，前面兩問一般為容易題，主要考查數(shù)列的基本運算，最后一問為中等題或較難題，一般考查數(shù)列的通項和前項和的求法、最值等問題．如果涉及遞推數(shù)列，且與不等式證明相結(jié)合，那么試題難度大大加強． 求解策略：（1）利用數(shù)列的有關(guān)概念求特殊數(shù)列的通項與前項和．（2）利用轉(zhuǎn)化與化歸思想(配湊、變形)將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列(主要解決遞推數(shù)列問題)．（3）利用錯位相減、裂項相消等方法解決數(shù)列求和．（4）利用函數(shù)與不等式處理范圍和最值問題． 例5 已知數(shù)列的前項和為，且滿足． （Ⅰ）求； (Ⅱ)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：． 思路分析：（Ⅰ）由和項求數(shù)列通項，主要利用得，化簡得，即得，也可利用疊乘法求： (Ⅱ) 由于，所以利用放縮結(jié)合裂項相消法求證不等式： (2), 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：令，由求出. 第二步：令，構(gòu)造，用代換 (或用代換，這要結(jié)合題目特點)，由遞推關(guān)系求通項． 第三步：驗證當(dāng)時的結(jié)論是否適合當(dāng)時的結(jié)論． 如果適合，則統(tǒng)一“合寫”；如果不適合，則應(yīng)分段表示． 第四步：寫出明確規(guī)范的答案． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范．本題的易錯點，易忽略對n＝1和n≥2分兩類進行討論，同時忽視結(jié)論中對二者的合并. 【舉一反三】 在公差不為零的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項和為，記，求數(shù)列的前項和． 模板六　圓錐曲線中的探索性問題 試題特點：主要考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及弦長、中點、軌跡、范圍、定值、最值等問題與探索存在性問題．本模板就探索性問題加以總結(jié) 求解策略：突破解答題，應(yīng)重點研究直線與曲線的位置關(guān)系，要充分運用一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，注意運用“設(shè)而不求”的思想方法，靈活運用“點差法”解題，要善于運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)具體特征選擇相應(yīng)方法． 例6 已知點是橢圓上任一點，點到直線的距離為，到點的距離為，且.直線與橢圓交于不同兩點（都在軸上方），且. （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線方程； （3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 思路分析：(1) 設(shè),用坐標(biāo)表示條件列出方程化簡整理可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)由（1）可知，，即可得，由得，寫出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，由兩點式求直線的方程即可；(3)由，得，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，由根與系數(shù)關(guān)系計算得，從而得到直線方程為，從而得到直線過定點. （3）∵，∴.設(shè)，，直線方程為.代直線方程入，得.∴，，∴=， ∴，∴直線方程為，∴直線總經(jīng)過定點. 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：假設(shè)結(jié)論存在． 第二步：以存在為條件，進行推理求解． 第三步：明確規(guī)范表述結(jié)論．若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè)． 第四步：反思回顧．查看關(guān)鍵點，易錯點及解題規(guī)范．常常容易忽略這一隱含條件以及忽略直線與軸垂直的情況. 【舉一反三】 如圖，拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且. （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，圓.已知點，過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為.試探索是否為定值？請說明理由. （Ⅱ）為定值.下面給出說明：設(shè)圓的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：. ∵圓與漸近線相切，∴圓的半徑為.故圓. 依題意的斜率存在且均不為零，所以設(shè)的方程為，即，設(shè)的方程為，即，∴點到直線的距離為，點到直線的距離為，∴直線被圓截得的弦長，直線被圓截得的弦長，∴，故為定值. 模板七　函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題 試題特點：給定函數(shù)含有參數(shù)，常見的類型有，，，根據(jù)對函數(shù)求導(dǎo)，按參數(shù)進行分類討論，求出單調(diào)性、極值、最值. 求解策略：（1）求解定義域；（2）求導(dǎo)（含二次函數(shù)形式的導(dǎo)函數(shù)）；（3）對二次函數(shù)的二次項系數(shù)、△判別式、根的大小進行討論. 例7【xx河北衡水二調(diào)】已知函數(shù)， ． （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值． 思路分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后得，根據(jù)正負(fù)進行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）中可通過分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)恒成立求解，令，結(jié)合函數(shù)零點存在定理可求得的最值。 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：確定函數(shù)的定義域． 第二步：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 第三步：求方程的根． 第四步：利用的根和不可導(dǎo)點的的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列出表格． 第五步：由在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值． 第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論． 第七步：反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范．常常容易易忽視定義域，對不能正確分類討論. 【舉一反三】 【xx河南名校聯(lián)考】已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若存在，且，使得，求證： . 【解析】（1）當(dāng)時， ，又，由，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 模板八　含參不等式的恒成立問題 試題特點：主要包括等式恒成立問題和不等式恒成立問題． 求解策略：(1)對于可化為二次函數(shù)型的等式與不等式恒成立問題，可借助圖象列不等式(組)求解．(2)通過移項，等式或不等式左右兩邊的函數(shù)圖象易畫，可畫圖求解．(3)將等式或不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的值域或最值問題求解． 例8 已知函數(shù). （1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式； （2）若對任意及時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍. 思路分析：（Ⅰ）因為，所以不等式等價于，先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：在上是增函數(shù)，所以（Ⅱ）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，而對雙變量問題，先確定一變量，本題先看作不等式恒成立問題，等價于，而利用導(dǎo)數(shù)易得在上是減函數(shù)，所以，即，最后根據(jù)恒成立得因此 試題解析：（1），當(dāng)時，恒有，則在上是增函數(shù)，又，∴化為，∴. 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：將問題轉(zhuǎn)化為形如不等式 (或)恒成立的問題． 第二步：求函數(shù)的最小值或最大值. 第三步：解不等式 (或)． 第四步：明確規(guī)范地表述結(jié)論． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點及答題規(guī)范．如本題重點反思每一步轉(zhuǎn)化的目標(biāo)及合理性，最大或最小值是否正確. 【舉一反三】 設(shè)函數(shù)． （1）求的最小值； （2）記的最小值為，已知函數(shù)，若對于任意的，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍. 【解析】（1）由已知得．令，得；令，得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．從而．