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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 不等式選講教案 理 選修4-5 【xx年高考會這樣考】 1．考查含絕對值不等式的解法． 2．考查有關不等式的證明． 3．利用不等式的性質(zhì)求最值． 【復習指導】 本講復習時，緊緊抓住含絕對值不等式的解法，以及利用重要不等式對一些簡單的不等式進行證明．該部分的復習以基礎知識、基本方法為主，不要刻意提高難度，以課本難度為宜，關鍵是理解有關內(nèi)容本質(zhì). 基礎梳理 1．含有絕對值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＞a或f(x)＜－a； (2)|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a； (3)對形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解． 2．含有絕對值的不等式的性質(zhì) |a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|. 3．基本不等式 定理1：設a，b∈R，則a2＋b2≥2ab.當且僅當a＝b時，等號成立． 定理2：如果a、b為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立． 定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 定理4：(一般形式的算術－幾何平均值不等式)如果a1、a2、…、an為n個正數(shù)，則≥，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立． 5．不等式的證明方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等． 雙基自測 1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集為________． 答案　(－4，－2)∪(0,2) 2．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集為________． 解析　令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝ 當x≤4時，f(x)＝4＞2； 當4＜x≤8時，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5， ∴4＜x＜5； 當x＞8時，f(x)＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集為：{x|x＜5}． 答案　{x|x＜5} 3．已知關于x的不等式|x－1|＋|x|≤k無解，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析　∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴當k＜1時，不等式|x－1|＋|x|≤k無解，故k＜1. 答案　k＜1 4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為________． 解析　由|3x－b|＜4，得＜x＜， 即解得5＜b＜7. 答案　(5,7) 5．(xx南京模擬)如果關于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全體實數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　在數(shù)軸上，結(jié)合實數(shù)絕對值的幾何意義可知a≤－5或a≥－3. 答案　(－∞，－5]∪[－3，＋∞) 考向一　含絕對值不等式的解法 【例1】?設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函數(shù)y＝f(x)的最小值． [審題視點] 第(1)問：采用分段函數(shù)解不等式；第(2)問：畫出函數(shù)f(x)的圖象可求f(x)的最小值． 解　(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 當x＜－時，由f(x)＝－x－5＞2得，x＜－7.∴x＜－7； 當－≤x＜4時，由f(x)＝3x－3＞2，得x＞， ∴＜x＜4； 當x≥4時，由f(x)＝x＋5＞2，得x＞－3，∴x≥4. 故原不等式的解集為 . (2)畫出f(x)的圖象如圖： ∴f(x)min＝－. (1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟：①求零點；②劃區(qū)間、去絕對值號；③分別解去掉絕對值的不等式；④取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值． (2)用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，即通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法． 【訓練1】 設函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍． 解　(1)當a＝－1時，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|， f(x)＝ 作出函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的圖象． 由圖象可知，不等式的解集為. (2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不滿足題設條件； 若a＜1，f(x)＝ f(x)的最小值為1－a. 若a＞1，f(x)＝ f(x)的最小值為a－1. ∴對于?x∈R，f(x)≥2的充要條件是|a－1|≥2， ∴a的取值范圍是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 考向二　不等式的證明 【例2】?證明下列不等式： (1)設a≥b＞0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2； (2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc； (3)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2. [審題視點] (1)作差比較；(2)綜合法；(3)利用柯西不等式． 證明　(1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2(a－b) ＝(a－b)(3a2－2b2)． ∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2＞0. ∴(a－b)(3a2－2b2)≥0. ∴3a2＋2b3≥3a2b＋2ab2. (2)∵a2＋4b2≥2＝4ab， a2＋9c2≥2＝6ac， 4b2＋9c2≥2＝12bc， ∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc， ∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc. (3)a6＋8b6＋c6≥3 ＝3a2b2c2＝2a2b2c2， ∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2. (1)作差法應該是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟是：①作差；②分解因式；③與0比較；④結(jié)論．關鍵是代數(shù)式的變形能力． (2)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式或柯西不等式證明． 【訓練2】 (xx遼寧)已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并確定a，b，c為何值時，等號成立． 證明　法一　因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得，a2＋b2＋c2≥3(abc)，① ＋＋≥3(abc)－， 所以2≥9(abc)－，② 故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－. 又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③ 所以原不等式成立． 當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立． 當且僅當3(abc)＝9(abc)－時，③式等號成立． 故當且僅當a＝b＝c＝3時，原不等式等號成立． 法二　因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.① 同理＋＋≥＋＋，② 故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6.③ 所以原不等式成立． 當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．故當且僅當a＝b＝c＝3時，原不等式等號成立． 考向三　利用基本不等式或柯西不等式求最值 【例3】?已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值． [審題視點] 先將(＋＋)平方后利用基本不等式；還可以利用柯西不等式求解． 解　法一　利用基本不等式 ∵(＋＋)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋2＋2＋2≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)] ＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18， ∴＋＋≤3， ∴(＋＋)max＝3. 法二　利用柯西不等式 ∵(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1＋1＋1)2 ∴(＋＋)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]． 又∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤18， ∴＋＋≤3. 當且僅當＝＝時，等號成立． ∴(＋＋)max＝3. 利用基本不等式或柯西不等式求最值時，首先要觀察式子特點，構(gòu)造出基本不等式或柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式，其次要注意取得最值的條件是否成立． 【訓練3】 已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值． 解　法一　∵a＋b＋c＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1， 又∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc， ∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤3(a2＋b2＋c2)． ∴a2＋b2＋c2≥. 當且僅當a＝b＝c時，取等號，∴mmin＝. 法二　利用柯西不等式 ∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(1a＋1b＋1c)＝a＋b＋c＝1. ∴a2＋b2＋c2≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立． ∴mmin＝ 如何求解含絕對值不等式的綜合問題 從近兩年的新課標高考試題可以看出，高考對《不等式選講》的考查難度要求有所降低，重點考查含絕對值不等式的解法(可能含參)或以函數(shù)為背景證明不等式，題型為填空題或解答題． 【示例】? (本題滿分10分)(xx新課標全國)設函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0. (1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值． 第(2)問解不等式|x－a|＋3x≤0的解集，結(jié)果用a表示，再由{x|x≤－1}求a. [解答示范] (1)當a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. (3分) 故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}．(5分) (2)由f(x)≤0得，|x－a|＋3x≤0. 此不等式化為不等式組或 即或(8分) 因為a＞0，所以不等式組的解集為. 由題設可得－＝－1，故a＝2.(10分) 本題綜合考查了含絕對值不等式的解法，屬于中檔題．解含絕對值的不等式主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一元一次和一元二次不等式(組)進行求解．含有多個絕對值符號的不等式，一般可用零點分段法求解，對于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m為正常數(shù))，利用實數(shù)絕對值的幾何意義求解較簡便． 【試一試】 (xx遼寧)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)證明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． [嘗試解答]　(1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 當2＜x＜5時，－3＜2x－7＜3.所以－3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知，當x≤2時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集；當2＜x＜5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x＜5}； 當x≥5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5≤x≤6}． 綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x≤6}.