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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 最新考綱　1.理解命題的概念；2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系；3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義． 知 識(shí) 梳 理 1．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性． ②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性沒有關(guān)系． 2．充分條件、必要條件與充要條件的概念 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 p?q且qp p是q的必要不充分條件 pq且q?p p是q的充要條件 p?q p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp 診 斷 自 測(cè) 1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“”)　精彩PPT展示 (1)“x2＋2x－8＜0”是命題．() (2)一個(gè)命題非真即假．(√) (3)命題“三角形的內(nèi)角和是180”的否命題是“三角形的內(nèi)角和不是180”．() (4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．() (5)給定兩個(gè)命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件．(√) 2．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 解析　命題的條件是p：α＝，結(jié)論是q：tan α＝1.由命題的四種形式，可知命題“若p，則q”的逆否命題是“若q，則p”，顯然q：tan α≠1，p：α≠，所以該命題的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”． 答案　C 3．(xx福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　a＝3時(shí)，A＝{1,3}，顯然A?B. 但A?B時(shí)，a＝2或3.所以A正確． 答案　A 4．(xx浙江卷)設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以“四邊形ABCD為菱形”?“AC⊥BD”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件；又因?yàn)閷?duì)角線垂直的四邊形不一定是菱形，所以“AC⊥BD” “四邊形ABCD為菱形”，所以“四邊形ABCD為菱形”不是“AC⊥BD”的必要條件． 綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件． 答案　A 5．(人教A選修1－1P10練習(xí)4改編)下列命題： ①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分條件； ②圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件； ③sin α＝sin β是α＝β的充要條件； ④ab≠0是a≠0的充分不必要條件． 其中為真命題的是__________(填序號(hào))． 答案?、冖? 考點(diǎn)一　四種命題及其相互關(guān)系 【例1】 (xx陜西卷)原命題為“若＜an，n∈N＋，則{an}為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析　從原命題的真假入手，由于＜an?an＋1＜an?{an}為遞減數(shù)列，即原命題和逆命題均為真命題，又原命題與其逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，則其逆命題、否命題和逆否命題均為真命題． 答案　A 規(guī)律方法　(1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關(guān)鍵．(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假．(3)判斷一個(gè)命題為假命題可舉反例． 【訓(xùn)練1】 已知：命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題 B．逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題 C．逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題 D．逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題 解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，所以其逆否命題“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題． 答案　D 考點(diǎn)二　充分、必要條件的判定與探求 【例2 】 (1)(xx新課標(biāo)全國Ⅱ卷)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點(diǎn)，則(　　) A．p是q的充分必要條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 (2)ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是(　　) A．0＜a≤1 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)≤1 D．0＜a≤1或a＜0 解析　(1)設(shè)f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是單調(diào)增函數(shù)，在x＝0處不存在極值，故“若p，則q”是一個(gè)假命題，由極值點(diǎn)的定義可得“若q，則p”是一個(gè)真命題． (2)法一　當(dāng)a＝0時(shí)，原方程為一元一次方程2x＋1＝0，有一個(gè)負(fù)實(shí)根． 當(dāng)a≠0時(shí)，原方程為一元二次方程，有實(shí)根的充要條件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1. 設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1x2＝， 當(dāng)只有一個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，?a＜0； 當(dāng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)， 綜上所述，a≤1. 法二　 (排除法)當(dāng)a＝0時(shí)，原方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，可以排除A，D； 當(dāng)a＝1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，可以排除B. 答案　(1)C　(2)C 規(guī)律方法　判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題． 【訓(xùn)練2】 (1)(xx北京卷)設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是(　　) A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝0 解析　(1)令a＝1，b＝－2，顯然a＞b，但a2＜b2； ∴“a＞b”不是“a2＞b2”的充分條件． 令a＝－2，b＝1，顯然a2＞b2，但a＜b， ∴“a＞b”不是“a2＞b2”的必要條件． ∴“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要條件． (2)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)， ∴ab＝2(x－1)＋21＝2x. 又a⊥b?ab＝0， ∴2x＝0，∴x＝0. 答案　(1)D　(2)D 考點(diǎn)三　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍 【例3】 已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且q的一個(gè)充分不必要條件是p，則a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3] 解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由q的一個(gè)充分不必要條件是p，可知p是q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件．故a≥1. 答案　A 規(guī)律方法　解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解，在求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象． 【訓(xùn)練3】 若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}， ∴或∴0≤m≤2. 答案　[0,2] [思想方法] 1．寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定． 2．命題的充要關(guān)系的判斷方法 (1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假． (2)等價(jià)法：利用A?B與B?A，B?A與A?B，A?B與B?A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件或“x∈B”是“x∈A”的必要條件；若A＝B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件． [易錯(cuò)防范] 對(duì)于命題正誤的判斷是高考的熱點(diǎn)之一，理應(yīng)引起大家的關(guān)注，命題正誤的判斷可涉及各章節(jié)的內(nèi)容，覆蓋面寬，也是學(xué)生的易失分點(diǎn)．命題正誤的判斷的原則是正確的命題要有依據(jù)或者給以論證；不一定正確的命題要舉出反例，絕對(duì)不要主觀臆斷，這也是最基本的數(shù)學(xué)邏輯思維方式. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：30分鐘) 一、選擇題 1．命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(　　) A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” 解析　依題意，得原命題的逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)． 答案　B 2．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(　　) A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2＜3 C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3 解析　同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題． 答案　A 3．命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是(　　) A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) 解析　由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C. 答案　C 4．(xx鄭州檢測(cè))已知直線l，m，其中只有m在平面α內(nèi)，則“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　當(dāng)l∥α?xí)r，直線l與平面α內(nèi)的直線m平行、異面都有可能，所以l∥m不成立；當(dāng)l∥m時(shí)，根據(jù)直線與平面平行的判定定理知直線l∥α，即“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的必要不充分條件，故選B. 答案　B 5．(xx云南統(tǒng)一檢測(cè))“l(fā)g x＞lg y”是“＞”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　若lg x＞lg y，則x＞y＞0，有＞，所以充分性成立；反之，當(dāng)x＞0，y＝0時(shí)，有＞，但沒有l(wèi)g x＞lg y，所以必要性不成立，所以“l(fā)g x＞lg y”是“＞”的充分不必要條件，故選A. 答案　A 6．(xx成都二診)下列說法正確的是(　　) A．命題“若x2＞1，則x＞1”的否命題為“若x2＞1，則x≤1” B．命題“?x0∈R，x＞1”的否定是“?x∈R，x2＞1” C．命題“若x＝y(tǒng)，則cos x＝cos y”的逆否命題為假命題 D．命題“若x＝y(tǒng)，則cos x＝cos y”的逆命題為假命題 解析　A項(xiàng)中否命題為“若x2≤1，則x≤1”，所以A錯(cuò)誤；B項(xiàng)中否定為“?x∈R，x2≤1”，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)槟娣衩}與原命題同真假，所以C錯(cuò)誤；易知D正確，故選D. 答案　D 7．(xx廣東卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　) A．充分必要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件 解析　結(jié)合正弦定理可知，a≤b?2Rsin A≤2Rsin B?sin A≤sin B(R為△ABC外接圓的半徑)．故選A. 答案　A 8．(xx東北三省四市聯(lián)考)下列命題中真命題是(　　) A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要條件 C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要條件 D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要條件 解析　由a＞b不能得知ac2＞bc2，當(dāng)c2＝0時(shí)，ac2＝bc2；反過來，由ac2＞bc2可得a ＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分條件，故選C. 答案　C 二、填空題 9．命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是________． 答案　“若x≤y，則x2≤y2” 10．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的________條件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)． 解析　x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于Δ＝1－4m≥0，即m≤. 答案　充分不必要 11．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是________． 解析　已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則m＝－2；反之也成立．所以函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是m＝－2. 答案　m＝－2 12．下列命題： ①“全等三角形的面積相等”的逆命題； ②“若ab＝0，則a＝0”的否命題； ③“正三角形的三個(gè)角均為60”的逆否命題． 其中真命題的序號(hào)是________． 解析?、佟叭热切蔚拿娣e相等”的逆命題為“面積相等的三角形全等”，顯然該命題為假命題；②“若ab＝0，則a＝0”的否命題為“若ab≠0，則a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不為零，故a≠0，所以該命題是真命題；③因?yàn)樵}“正三角形的三個(gè)角均為60”是一個(gè)真命題，故其逆否命題也是一個(gè)真命題． 答案?、冖? 能力提升題組 (建議用時(shí)：15分鐘) 13．(xx天津十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)x，y∈R，則“x2＋y2≥9”是“x＞3且y≥3”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　當(dāng)x＝－4時(shí)滿足x2＋y2≥9，但不滿足x＞3，所以充分性不成立；反之，當(dāng)x＞3且y≥3時(shí)，一定有x2＋y2≥9，所以必要性成立，即“x2＋y2≥9”是“x＞3且y≥3”的必要不充分條件，故選B. 答案　B 14．(xx臨沂模擬)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析　由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要條件，所以k＞2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2，＋∞)，故選B. 答案　B 15．(xx湖南高考診斷)下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是(　　) A．p：x＝1，q：x2＝x B．p：|a|＞|b|，q：a2＞b2 C．p：x＞a2＋b2，q：x＞2ab D．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d 解析　A中，x＝1?x2＝x，x2＝x?x＝0或x＝1x＝1，故p是q的充分不必要條件；B中，因?yàn)閨a|＞|b|，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a2＞b2，反之也成立，故p是q的充要條件；C中，因?yàn)閍2＋b2≥2ab，由x＞a2＋b2，得x＞2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要條件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，滿足a＋c＞b＋d，但是a＜b，c＞d，反之，由同向不等式可加性得a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d，故p是q的必要不充分條件．綜上所述，故選D. 答案　D 16．設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________. 解析　已知方程有根，由判別式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐個(gè)分析，當(dāng)n＝1,2時(shí)，方程沒有整數(shù)根；而當(dāng)n＝3時(shí)，方程有整數(shù)根1,3；當(dāng)n＝4時(shí)，方程有整數(shù)根2. 答案　3或4 17．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一個(gè)充分不必要的條件是x∈A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析　A＝＝{x|－1＜x＜3}， ∵x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件是x∈A， ∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2. 答案　(2，＋∞)