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2019-2020年高考數(shù)學(xué)單元考點(diǎn)復(fù)習(xí)8 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 教學(xué)目的： 1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式. 2.了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問題. 教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握等差數(shù)列的求和公式 教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用求和公式解決問題 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 本節(jié)是在集合與簡(jiǎn)易邏輯之后學(xué)習(xí)的，映射概念本身就屬于集合的 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容： 1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1： 2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： 3.，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式 4.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法: （1） 利用: 當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值 當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值 （2） 利用：由二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值 二、例題講解 例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素個(gè)數(shù)及這些元素的和. 解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N* ∴滿足不等式n＜的正整數(shù)一共有30個(gè). 即 集合M中一共有30個(gè)元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個(gè)以=1, =59,n=30的等差數(shù)列. ∵=,∴==900. 答案：集合M中一共有30個(gè)元素，其和為900. 例2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個(gè)數(shù)能被3除余2，并求這些數(shù)的和 分析：滿足條件的數(shù)屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*} 解：分析題意可得滿足條件的數(shù)屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*, ∴n可取0，1，2，3，…，32. 即 在小于100的正整數(shù)中共有33個(gè)數(shù)能被3除余2. 把這些數(shù)從小到大排列出來就是：2，5，8，…，98. 它們可組成一個(gè)以=2,d=3, =98,n=33的等差數(shù)列. 由=,得==1650. 答：在小于100的正整數(shù)中共有33個(gè)數(shù)能被3除余2，這些數(shù)的和是1650. 例3已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和， 求證：⑴，-，-成等差數(shù)列； ⑵設(shè) （）成等差數(shù)列 證明：設(shè)首項(xiàng)是，公差為d 則 ∵ ∵∴ 是以36d為公差的等差數(shù)列 同理可得是以d為公差的等差數(shù)列. 三、練習(xí)： 1．一個(gè)等差數(shù)列前4項(xiàng)的和是24，前5項(xiàng)的和與前2項(xiàng)的和的差是27，求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式. 分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后再解. 解：根據(jù)題意，得=24, －=27 則設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為d, 則 解之得： ∴=3+2（n－1）=2n+1. 2．兩個(gè)數(shù)列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差數(shù)列公差分別是, , 求與的值 解：5＝1＋8, ＝, 又5＝1＋7, ＝, ∴＝; ++……+＝7＝7＝21, ++ ……+＝3(1＋5)＝18, ∴ ＝. 3．在等差數(shù)列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最小值 解法1：∵＝＋3d, ∴ －15＝＋9, ＝－24, ∴ ＝－24n＋＝[(n－)－], ∴ 當(dāng)|n－|最小時(shí)，最小， 即當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，＝＝－108最小. 解法2：由已知解得＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1), 由≤0得n≤9且＝0, ∴當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，＝＝－108最小. 四、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，則 （）仍成等差數(shù)列 五、課后作業(yè)： 1．一凸n邊形各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差是10,最小內(nèi)角為100,求邊數(shù)n. 解：由(n－2)180＝100n＋10， 求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9, 當(dāng)n＝9時(shí), 最大內(nèi)角100＋(9－1)10＝180不合題意，舍去，∴ n＝8. 2．已知非常數(shù)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足 (n∈N, m∈R), 求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和. 解：由題設(shè)知 ＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2, 即 ＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm, ∵ {}是非常數(shù)等差數(shù)列，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式 ∴≠0且lgm＝0, ∴ m＝－1, ∴ ＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n, 則 當(dāng)n=1時(shí)，＝ 當(dāng)n≥2時(shí),＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) ＝ ∴＝ d== = = 數(shù)列{}是以=為首項(xiàng),5d=為公差的等差數(shù)列， ∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為 n()＋n(n－1)()＝ 3．一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27，求公差d. 解：設(shè)這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為d，則偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)分別都是公差為2d的等差數(shù)列，由已知得, 解得d＝5. 解法2：設(shè)偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和分別為S偶，S奇，則由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5. 4．兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和之比為, 求這兩個(gè)數(shù)列的第九項(xiàng)的比 解：. 5．一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，求它的前110項(xiàng)和 解：在等差數(shù)列中， , －, －, ……, －, －, 成等差數(shù)列， ∴ 新數(shù)列的前10項(xiàng)和＝原數(shù)列的前100項(xiàng)和， 10＋D＝＝10, 解得D＝－22 ∴ －＝＋10D＝－120, ∴ ＝－110. 6．設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知＝12，>0，<0，(1) 求公差d的取值范圍； (2) 指出, , , ……, 中哪一個(gè)最大，說明理由 解：(1) , ∵ ＝＋2d＝12, 代入得 , ∴ －0, ∴ ＋>0, ∴>0, 最大. 六、板書設(shè)計(jì)（略） 七、課后記：