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2019-2020年高考數(shù)學重點難點講解 直線方程及其應用教案 舊人教版 直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎(chǔ)的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎(chǔ)內(nèi)容.應達到熟練掌握、靈活運用的程度，線性規(guī)劃是直線方程一個方面的應用，屬教材新增內(nèi)容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學生比較棘手的. ●難點磁場 (★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求證：abc+2＞a+b+c. ●案例探究 ［例1］某校一年級為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為α(90≤α＜180)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(a＞b).問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？ 命題意圖：本題是一個非常實際的數(shù)學問題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，屬★★★★★級題目. 知識依托：三角函數(shù)的定義，兩點連線的斜率公式，不等式法求最值. 錯解分析：解決本題有幾處至關(guān)重要，一是建立恰當?shù)淖鴺讼?，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值.如果坐標系選擇不當，或選擇求sinACB的最大值.都將使問題變得復雜起來. 技巧與方法：欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個三角函數(shù)值. 解：建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C(x,0)(x＞0),欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取得最大值. 由三角函數(shù)的定義知：A、B兩點坐標分別為(acosα,asinα)、 (bcosα,bsinα),于是直線AC、BC的斜率分別為： kAC=tanxCA=, 于是tanACB= 由于∠ACB為銳角，且x＞0,則tanACB≤,當且僅當=x，即x=時，等號成立，此時∠ACB取最大值，對應的點為C(,0),因此，學生距離鏡框下緣 cm處時，視角最大，即看畫效果最佳. ［例2］預算用xx元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡可能的多，但椅子不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？ 命題意圖：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用，本題主要考查找出約束條件與目標函數(shù)、準確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解，屬★★★★★級題目. 知識依托：約束條件，目標函數(shù)，可行域，最優(yōu)解. 錯解分析：解題中應當注意到問題中的桌、椅張數(shù)應是自然數(shù)這個隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設(shè)時，應作出相應地調(diào)整，直至滿足題設(shè). 技巧與方法：先設(shè)出桌、椅的變數(shù)后，目標函數(shù)即為這兩個變數(shù)之和，再由此在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解. 解：設(shè)桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件 為由 ∴A點的坐標為(，) 由 ∴B點的坐標為(25，) 所以滿足約束條件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)為頂點的三角形區(qū)域(如右圖) 由圖形直觀可知，目標函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為(25，)，但注意到x∈N,y∈N*,故取y=37. 故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇. ［例3］拋物線有光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0).一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示) (1)設(shè)P、Q兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明：y1y2=－p2； (2)求拋物線的方程； (3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由. 命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個重要應用.本題是一道與物理中的光學知識相結(jié)合的綜合性題目，考查了學生理解問題、分析問題、解決問題的能力，屬★★★★★★級題目. 知識依托：韋達定理，點關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程. 錯解分析：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時. 技巧與方法：點關(guān)于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關(guān)鍵. (1)證明：由拋物線的光學性質(zhì)及題意知 光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)， 設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－) ① 由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韋達定理，y1y2=－p2. 當直線PQ的斜率角為90時，將x=代入拋物線方程，得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2= －p2. (2)解：因為光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點M(，4)關(guān)于l的對稱點為M′(x′,y′)，則 解得 直線QN的方程為y=－1,Q點的縱坐標y2=－1， 由題設(shè)P點的縱坐標y1=4，且由(1)知：y1y2=－p2,則4(－1)=－p2, 得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x. (3)解：將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點坐標為(4，4) 將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=, 故N點坐標為(，－1) 由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y－12=0, 設(shè)M點關(guān)于直線NP的對稱點M1(x1,y1) 又M1(,－1)的坐標是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(，－1)與點M關(guān)于直線PN對稱. ●錦囊妙計 1.對直線方程中的基本概念，要重點掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關(guān)的問題等. 2.對稱問題是直線方程的一個重要應用，中學里面所涉及到的對稱一般都可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點或點關(guān)于直線的對稱.中點坐標公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具. 3.線性規(guī)劃是直線方程的又一應用.線性規(guī)劃中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域.求線性目標函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)t=ax+by,則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解. 4.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復數(shù)等代數(shù)問題往往借助直線方程進行，考查學生的綜合能力及創(chuàng)新能力. ●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★★)設(shè)M=，則M與N的大小關(guān)系為( ) A.M＞N B.M=N C.M＜N D.無法判斷 2.(★★★★★)三邊均為整數(shù)且最大邊的長為11的三角形的個數(shù)為( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不對 二、填空題 3.(★★★★)直線2x－y－4=0上有一點P，它與兩定點A(4，－1)，B(3，4)的距離之差最大，則P點坐標是_________. 4.(★★★★)自點A(－3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2－4x－4y+7=0相切，則光線l所在直線方程為_________. 5.(★★★★)函數(shù)f(θ)=的最大值為_________，最小值為_________. 6.(★★★★★)設(shè)不等式2x－1＞m(x2－1)對一切滿足|m|≤2的值均成立，則x的范圍為_________. 三、解答題 7.(★★★★★)已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點. (1)證明：點C、D和原點O在同一直線上. (2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標. 8.(★★★★★)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常數(shù)且b≠0. (1)證明：{an}是等差數(shù)列. (2)證明：以(an,－1)為坐標的點Pn(n=1,2,…)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程. (3)設(shè)a=1,b=,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r＞0)，求使得點P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍. 參考答案 難點磁場 證明：設(shè)線段的方程為y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1. ∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0 f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0 ∴線段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x軸上方，這就是說，當|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1時，恒有abc+2＞a+b+c. 殲滅難點訓練 一、1.解析：將問題轉(zhuǎn)化為比較A(－1，－1）與B(10xx，10xx）及C(10xx，10xx）連線的斜率大小，因為B、C兩點的直線方程為y=x，點A在直線的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N. 答案：A 2.解析：設(shè)三角形的另外兩邊長為x,y,則 點(x,y）應在如右圖所示區(qū)域內(nèi) 當x=1時，y=11；當x=2時，y=10,11； 當x=3時，y=9,10,11；當x=4時，y=8,9,10,11; 當x=5時，y=7,8,9,10,11. 以上共有15個，x,y對調(diào)又有15個，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六組，所以共有36個. 答案：C 二、3.解析：找A關(guān)于l的對稱點A′，A′B與直線l的交點即為所求的P點. 答案：P(5，6） 4.解析：光線l所在的直線與圓x2+y2－4x－4y+7=0關(guān)于x軸對稱的圓相切. 答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0 5.解析：f(θ)=表示兩點(cosθ,sinθ)與(2,1)連線的斜率. 答案： 0 6.解析：原不等式變?yōu)?x2－1)m+(1－2x)＜0,構(gòu)造線段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m≤2,則f(－2)＜0,且f(2)＜0. 答案： 三、7.(1)證明：設(shè)A、B的橫坐標分別為x1、x2，由題設(shè)知x1＞1,x2＞1, 點A(x1,log8x1),B(x2,log8x2). 因為A、B在過點O的直線上，所以,又點C、D的坐標分別為(x1,log2x1）、(x2,log2x2). 由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,則 由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直線上. (2)解：由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1 ∴x2=x13 將其代入,得x13log8x1=3x1log8x1, 由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2=,于是A(，log8). 9.(1)證明：由條件，得a1=S1=a,當n≥2時， 有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b. 因此，當n≥2時，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b. 所以{an}是以a為首項，2b為公差的等差數(shù)列. (2)證明：∵b≠0,對于n≥2,有 ∴所有的點Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通過P1(a,a－1)且以為斜率的直線上.此直線方程為y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0. (3)解：當a=1,b=時，Pn的坐標為(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圓C外的條件是 ① ② ③ 由不等式①,得r≠1 由不等式②，得r＜－或r＞+ 由不等式③，得r＜4－或r＞4+ 再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+ 故使P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞)