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2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題一 選擇、填空題對點練教案 理 新人教A版
1．集合的基本概念
(1)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性．
(2)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．
2．集合的基本運算
(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)補集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
3．運算性質及重要結論
(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.
(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
4．全稱命題與特稱命題
(1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．
(2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．
5．四種命題
用p，q表示一個命題的條件和結論，綈p和綈q分別表示條件和結論的否定，那么原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若綈p則綈q；逆否命題：若綈q則綈p.
[覽規(guī)律技巧]
1．研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性，對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性．
2．解決集合的運算時，一般先運算括號內的部分．當集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算；當集合是用不等式形式表示時，可運用數(shù)軸求解．
3．判斷命題真假的方法
(1)等價轉化法：當一個命題的真假不好判斷時，可轉化為判斷它的逆否命題的真假．
(2)特值法：當判定一個全稱命題為假或一個特稱(存在性)命題為真時，可代入特值進行驗證．
注意：判斷有關不等式的充分條件和必要條件問題時，記住“小范圍”?“大范圍”．
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1．設全集為R，集合A＝{x∈R|x2<4}，B＝{x|－1
0
C．對任意的x∈R，x3＋x＋1>0
D．對任意的x∈R，x3＋x＋1≤0
解析：選C “存在x0∈R，x＋x0＋1≤0”的否定是“對任意的x∈R，x3＋x＋1>0”．
6．設集合A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，則A∩B＝( )
A．{1,2,5} B．{1,2,4,5}
C．{1,4,5} D．{1,2,4}
解析：選B 當k＝0時，x＝1；當k＝1時，x＝2；當k＝5時，x＝4；當k＝8時，x＝5.所以A∩B＝{1,2,4,5}．
7．已知集合M＝，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，則M∩N＝( )
A．? B．{x|x≥1}
C．{x|x>1} D．{x|x≥1或x<0}
解析：選C 由≥0得∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，又∵N＝{y|y≥1}，∴M∩N＝{x|x>1}．
8．命題“若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”的否命題是( )
A．若a，b都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)
B．若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)
C．若a，b都不是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)
D．若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)
解析：選B 因為“都是”的否定是“不都是”，所以“若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”的否命題是“若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)”．
9．已知命題p：函數(shù)y＝e|x－1|的圖象關于直線x＝1對稱，命題q：函數(shù)y＝cos的圖象關于點對稱，則下列命題中的真命題為( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∨(綈q)
解析：選A 易知函數(shù)y＝e|x－1|的圖象關于直線x＝1對稱是真命題；將x＝代入y＝cos中，得y＝0，故函數(shù)y＝cos的圖象關于點對稱是真命題．p和q都為真，所以p∧q為真命題．
10．已知命題p：當a>1時，函數(shù)y＝log(x2＋2x＋a)的定義域為R；命題q：“a＝3”是“直線ax＋2y＝0與直線2x－3y＝3垂直”的充要條件，則以下結論正確的是( )
A．p或q為真命題
B．p且q為假命題
C．p且綈q為真命題
D．綈p或q為假命題
解析：選A 當a>1時，一元二次方程x2＋2x＋a＝0的判別式Δ＝4－4a<0，則x2＋2x＋a>0對任意x∈R恒成立，故函數(shù)y＝log(x2＋2x＋a)的定義域為R.故命題p是真命題；直線ax＋2y＝0與直線2x－3y＝3垂直等價于a2＋2(－3)＝0，解得a＝3，故“a＝3”是“直線ax＋2y＝0與直線2x－3y＝3垂直”的充要條件，故命題q是真命題．所以p或q為真命題，p且q為真命題，p且綈q為假命題，綈p或q為真命題．
11．設集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D．(1，＋∞)
解析：選B A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因為函數(shù)y＝f(x)＝x2－2ax－1的圖象的對稱軸為x＝a>0，f(0)＝－1<0，根據(jù)對稱性可知要使A∩B中恰含有一個整數(shù)，則這個整數(shù)為2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以即≤a＜.
12．下列命題中正確的是( )
A．命題“?x∈R，x2－x≤0”的否定是“?x0∈R，x－x0≥0”
B．命題“若xy＝0，則x＝0”的否命題為“若xy＝0，則x≠0”
C．?m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調遞減
D．命題“若cos x＝cos y，則x＝y(tǒng)”的逆否命題為真命題
解析：選C A中命題的否定是“?x0∈R，x－x0>0”，所以A錯誤；B中“若xy＝0，則x＝0”的否命題為“若xy≠0，則x≠0”，所以B錯誤；C中m＝2時成立；D中“若cos x＝cos y，則x＝y(tǒng)＋2kπ或x＝－y＋2kπ，k∈Z”，所以D錯誤．
二、填空題
13．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x＋1}，則A∩B＝________.
解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
14．已知命題p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由x2－a≥0，得a≤x2，x∈[1,2]，所以a≤1.要使q成立，則有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2.因為命題“p且q”是真命題，則p，q同時為真，即即a≤－2或a＝1.
答案：(－∞，－2]∪{1}
15．當兩個集合中一個集合為另一集合的子集時稱這兩個集合構成“全食”，當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時稱這兩個集合構成“偏食”．對于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A與B構成“全食”或構成“偏食”，則a的取值集合為________．
解析：因為B＝{x|ax2＝1，a≥0}，所以若a＝0，則B為空集，滿足B?A，此時A與B構成“全食”．若a>0，則B＝{x|ax2＝1，a≥0}＝，由題意知＝1或＝，解得a＝1或a＝4.此時A與B構成“偏食”．故a的取值集合為{0,1,4}．
答案：{0,1,4}
16．若f(x)是R上的增函數(shù)，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，設P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，則實數(shù)t的取值范圍是________．
解析：P＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝{x|f(x＋t)3.
答案：(3，＋∞)
函數(shù)的圖象、性質及應用
[記概念公式]
1．指數(shù)與對數(shù)式的運算公式
aman＝am＋n；(am)n＝amn；loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
2．函數(shù)的零點與方程根的關系
3．零點存在性定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．
[覽規(guī)律技巧]
1．函數(shù)單調性和奇偶性的重要結論
(1)當f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時，函數(shù)f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)．
(2)奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性，偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調性．
(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關于原點對稱，f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關于y軸對稱．
(4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)．
2．函數(shù)的周期性
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期．
(2)設f(x)是R上的偶函數(shù)，且圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個周期．
(3)設f(x)是R上的奇函數(shù)，且圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，4a是它的一個周期．
3．函數(shù)圖象的對稱性
(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱．
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱．
4．利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質比較大小
(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較；底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調性進行比較．
(2)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù)，可以引入中間量或結合圖象進行比較．
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)＝則f[f(2)]＝( )
A. B. C．2 D．4
解析：選A 因為f(2)＝－，所以f[f(2)]＝f(－)＝4＝.
2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調遞增的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝3x D．y＝ln|x|
解析：選D 利用排除法求解．函數(shù)y＝，y＝3x都是非奇非偶函數(shù)，排除A和C；函數(shù)y＝cos x，x∈(0，＋∞)不單調，排除B；函數(shù)y＝ln|x|是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調遞增，故選D.
3．設a，b∈R，若函數(shù)f(x)＝(x∈R)是奇函數(shù)，則a＋b＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：選B 因為函數(shù)f(x)＝(x∈R)是奇函數(shù)，所以f(0)＝＝0，得a＝－1，又因為f(1)＋f(－1)＝0，所以＋＝0，解得b＝1，經(jīng)檢驗，符合題意．故a＋b＝0.
4．已知定義域為R的函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱．當x>0時，f(x)＝ln x，則f(－e)＝( )
A．－e B．e
C．1 D．－1
解析：選D 由于函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，故f(x)為奇函數(shù)，故f(－e)＝－f(e)＝
－ln e＝－1.
5．已知函數(shù)f(x)＝4－x2，y＝g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，g(x)＝log2x，則函數(shù)f(x)g(x)的大致圖象為( )
解析：選D 因為函數(shù)f(x)＝4－x2為偶函數(shù)，y＝g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)g(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，所以排除A，B.當x>2時，g(x)＝log2x>0，f(x)＝4－x2<0，所以此時f(x)g(x)<0，排除C.
6．已知函數(shù)f(x)＝ln x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－f′(x)的零點所在的區(qū)間是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：選B 因為f′(x)＝，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝ln x－.因為g(1)＝ln 1－1＝－1<0，g(2)＝ln 2－>0，所以函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)．
7．函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－1的零點有( )
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
8．若當x∈R時，函數(shù)f(x)＝a|x|始終滿足0<|f(x)|≤1，則函數(shù)y＝loga的圖象大致為( )
解析：選B 因為當x∈R時，函數(shù)f(x)＝a|x|始終滿足00時，函數(shù)y＝loga＝－logax，顯然此時函數(shù)單調遞增．
9．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，則f(2 014)＝( )
A．0 B．3 C．4 D．6
解析：選A 依題意得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，2 014＝4503＋2，因此f(2 014)＝f(2)＝0.
10．奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當x∈(0,1)時，f(x)＝3x＋，則f(log354)＝( )
A．－2 B．－ C. D．2
解析：選A ∵f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．又∵f(log354)＝f＝f＝f＝－f，易知0，解得x<，或x>，所以x的取值范圍為∪.
答案：∪
14．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋3x－8的零點x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，則a＋b＝________.
解析：由于函數(shù)f(x)＝ln x＋3x－8，故函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又a，b∈N*，f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0.f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且b－a＝1，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，∴a＋b＝5.
答案：5
15．已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，有如下結論：
①?x∈(－1,1)，f(－x)＝f(x)；②?x∈(－1,1)，f(－x)＝－f(x)；③?x∈(－1,1)，f(x)為增函數(shù)；④若 f(a)＝ln 2，則a＝.
其中正確結論的序號是________．(寫出所有正確結論的序號)
解析：f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝ln 1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，①錯誤，②正確；f(x)＝ln＝ln－1＋，利用復合函數(shù)的單調性可知f(x)為增函數(shù)，③正確；∵f(a)＝ln＝ln 2，∴＝2，∴a＝，④正確．
答案：②③④
16．已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，且當x∈[0,1)時，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題：
①f(2 013)＋f(－2 014)的值為0；
②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；
③直線y＝x與函數(shù)f(x)的圖象有1個交點；
④函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)．
其中正確的命題序號有________．
解析：結合函數(shù)圖象逐個判斷．當x∈[1,2)時，x－1∈[0,1)，f(x)＝－f(x－1)＝－log2x，且x≥0時，f(x)＝f(x＋2)，又f(x)是R上的偶函數(shù)，作出函數(shù)f(x)的部分圖象如圖，由圖可知，②錯誤，③④都正確；f(2 013)＝f(1)＝－f(0)＝0，f(2 014)＝f(0)＝0，所以f(2 013)＋f(－2 014)＝0，①正確，故正確的命題序號是①③④.
答案：①③④
導數(shù)的運算及簡單應用
[記概念公式]
1．求導公式
(1)(sin x)′＝cos x；
(2)(cos x)′＝－sin x；
(3)(ln x)′＝；(logax)′＝；
(4)(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a.
2．導數(shù)的四則運算法則
(1)[u(x)v(x)]′＝u′(x)v′(x)．
(2)[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
(3)′＝(v(x)≠0)．
3．導數(shù)與極值
函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右負”?f(x)在x0處取極大值；函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左負右正”?f(x)在x0處取極小值．
[覽規(guī)律技巧]
“切點”的應用規(guī)律
(1)若題目中沒有給出“切點”，就必須先設出切點．
(2)切點的三種情況：切點在切線上；切點在曲線上；切點處的導數(shù)值等于切線的斜率．
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足關系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)的值等于( )
A．2 B．－2 C. D．－
解析：選D ∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝22＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.
2．已知函數(shù)f(x)＝2－2ln x，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是( )
A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋y－2＝0 D．y＝0
解析：選B 函數(shù)f(x)＝2－2ln x，f(1)＝0，f′(x)＝2－.曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝2.從而曲線y＝f(x)在點(1，f(1)) 處的切線方程為y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
3．若曲線f(x)＝x3＋x2＋mx的所有切線中，只有一條與直線x＋y－3＝0垂直，則實數(shù)m的值等于( )
A．0 B．2 C．0或2 D．3
解析：選B f′(x)＝x2＋2x＋m，直線x＋y－3＝0的斜率為－1，由題意知關于x的方程x2＋2x＋m＝1，即(x＋1)2＝2－m有且僅有一解，所以m＝2.
4.dx＝( )
A．2ln 3＋4 B．2ln 3 C．4 D．ln 3
解析：選A dx＝[2ln(x＋1)＋x2]＝2ln 3＋4.
5．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)＝a(x＋b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x) 的圖象可能是( )
解析：選D 由導函數(shù)圖象可知，當x<0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減，排除A，B.當00，函數(shù)f(x)單調遞增，因此，當x＝0時，f(x)取得極小值，排除C.
6．函數(shù)f(x)＝(a>0)的單調遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：選B 函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)＝＝.由于a>0，要使f′(x)>0，只需(1－x)(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)．
7．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排列正確的是( )
A．0>f′(2)>0.
8．已知a≥0，函數(shù)f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是單調減函數(shù)，則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選C f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由題意當x∈[－1,1]時，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立，
即解得a≥.
9．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且對任意x∈R都有f′(x)<，則不等式f(x2)>的解集為( )
A．(1,2) B．(0,1) C．(－1,1) D．(1，＋∞)
解析：選C 令g(x)＝f(x)－(x＋1)，∴g′(x)＝f′(x)－<0，故g(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減且g(1)＝0.令g(x)>0，則x<1，f(x2)>?f(x2)－>0?g(x2)>0?x2<1?－10，得到a<－3.
11．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－2(a≠0)有且僅有兩個不同的零點x1，x2，則( )
A．當a<0時，x1＋x2<0，x1x2>0
B．當a<0時，x1＋x2>0，x1x2<0
C．當a>0時，x1＋x2<0，x1x2>0
D．當a>0時，x1＋x2>0，x1x2<0
解析：選B 由于函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，因此必有一個零點是重零點，則令f(x)＝a(x－x1)(x－x2)2＝ax3－a(x1＋2x2)x2＋ax2(2x1＋x2)x－ax1x，
則ax1x＝2?、?，
ax2(2x1＋x2)＝0?、?，
當a<0時，由①式得，x1<0且x2≠0，
由②式得，2x1＋x2＝0，x2＝－2x1.
因此，x1＋x2＝－x1>0，x1x2＝－2x<0.
當a>0時，由①式得，x1>0且x2≠0，
由②式得，2x1＋x2＝0，x2＝－2x1.
因此，x1＋x2＝－x1<0，x1x2＝－2x<0.只有B項符合．
12．我們常用以下方法求形如函數(shù)y＝f(x)g(x)(f(x)>0)的導數(shù)：先兩邊同取自然對數(shù)ln y＝g(x)ln f(x)，再兩邊同時求導得到y(tǒng)′＝g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)，于是得到y(tǒng)′＝f(x)g(x)g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)，運用此方法求得函數(shù)y＝x(x>0)的一個單調遞增區(qū)間是( )
A．(e,4) B．(3,6) C．(0，e) D．(2,3)
解析：選C 由題意知f(x)＝x，g(x)＝，則f′(x)＝1，g′(x)＝－，所以y′＝x＝x，由y′＝x>0得1－ln x>0，解得00)與拋物線y＝x2所圍成的封閉圖形的面積為，則a＝________.
解析：根據(jù)定積分的應用可知所求面積為2∫0(a－x2)dx＝20＝，即＝，解得a＝2.
答案：2
15．已知向量a＝，b＝(1，t)，若函數(shù)f(x)＝ab在區(qū)間(－1,1)上存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)t的取值范圍為________．
解析：f(x)＝ex＋－tx，x∈(－1,1)，f′(x)＝ex＋x－t，∵函數(shù)f(x)＝ab在區(qū)間(－1,1)上存在單調遞增區(qū)間，∴f′(x)＝ex＋x－t>0在區(qū)間(－1,1)上有解，即t0，原函數(shù)單調遞增，當2kπ＋π0，ω>0)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
2．整體法：求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的單調區(qū)間、周期、值域、對稱軸(中心)時，將ωx＋φ看作一個整體，利用正弦曲線的性質解決．
3．換元法：在求三角函數(shù)的值域時，有時將sin x(或cos x)看作一個整體，換元后轉化為二次函數(shù)來解決．
4．公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為.
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)＝tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝所得的線段長為，則f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
解析：選A 由題意知T＝，由T＝＝，得ω＝4，∴f(x)＝tan 4x，∴f＝tan π＝0.
2．已知cos＋sin α＝，則sin的值是( )
A. B．－ C. D．－
解析：選A cos＋sin α＝cos αcos＋sin αsin＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝，所以sin＝.
3．sin 25、cos 24、tan 61的大小關系正確的是( )
A．cos 240,0<φ<一個周期內的圖象上的五個點，如圖所示，A－，0，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析：選A 由題知，T＝4＝π，所以ω＝2.因為A在曲線上，所以sin＝0，又0<φ<，所以φ＝.
6．已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是( )
A. B.
C. D．(0,2]
解析：選A 由題意可知≥2，則ω≤2.因為ωx＋∈?，k∈Z，所以ω＋≥＋2kπ，πω＋≤＋2kπ，k∈Z，故＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z.即ω∈.
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60，則AB邊上的高等于( )
A. B. C. D．2
解析：選C 設AB＝c，由AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B，得7＝c2＋4－2c2cos 60，c2－2c－3＝0，得c＝3，因此23sin 60＝3hAB(hAB為AB邊上的高)，所以hAB＝.
8．在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，則△ABC的面積為( )
A. B. C. D．3
解析：選C ∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)(b－2c)＝0，∴b＝2c.又a＝，cos A＝＝，∴c＝2，b＝4.∴S△ABC＝bcsin A＝42＝.
9．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，其中A＝150，b＝2，且△ABC的面積為1，則＝( )
A．4(＋) B．4(－)
C．2(＋) D．2(－)
解析：選C 因為△ABC的面積S＝bcsin A＝1，A＝150，b＝2，所以c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝8＋4，解得a＝＋.設△ABC外接圓的半徑為R，則有＝2R，得2R＝2(＋)，所以＝2R＝2(＋)．
10．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤對x∈R恒成立，且ff
C．f(x)是奇函數(shù)
D．f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)
解析：選D 由f(x)≤恒成立知x＝是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸，即2＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z.又f0，所以φ＝，f(x)＝sin.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)．
11．若sin α＝1－tan 10sin α，則銳角α的值為( )
A．40 B．50 C．60 D．70
解析：選B 原式可變形為sin α(1＋tan 10)＝1，可得sin α(1＋tan 10)＝2sin α＝2sin α＝＝1，所以sin α＝sin 50.又因為α為銳角，所以α＝50.
12．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1(x∈R)，若在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝，A為銳角，且f＝，則△ABC面積的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析：選A f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＝sin，f＝?sin2A＋＝?cos 2A＝，∴2cos2A－1＝，cos A＝，sin A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝3≥2bc－bc，∴bc≤，∴S△ABC＝bcsin A≤＝，當且僅當b＝c＝時等號成立，故△ABC面積的最大值為.
二、填空題
13．已知角α的終邊上一點的坐標為，則角α的最小正值為________．
解析：由題知，tan α＝＝＝－，且sin>0，cos<0，所以α是第四象限角，因此α的最小正值為.
答案：
14．函數(shù)y＝2sin的單調遞增區(qū)間為________．
解析：由y＝2sin，得y＝－2sin，
由＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為＋3kπ，＋3kπ，k∈Z.
答案：，k∈Z
15．對于函數(shù)f(x)＝給出下列四個結論：
①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②當且僅當x＝π＋kπ(k∈Z)時，該函數(shù)取得最小值－1；
③該函數(shù)的圖象關于x＝＋2kπ(k∈Z)對稱；
④當且僅當2kπ0?a與b的夾角θ為銳角或零角；
若ab<0?a與b的夾角θ為鈍角或平角；
若ab＝0?a與b的夾角為90(a≠0，b≠0)．
3．三角形兩心的向量形式
設O為△ABC所在平面上的一點．
(1)O是三條中線的交點?O是△ABC的重心?
(2)O是三條高線的交點?O是△ABC的垂心?
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1．若向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180，且|b|＝3，則b＝( )
A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：選A 設b＝(x，y)，由已知條件得解得或(舍去)，∴b＝(－3,6)．
2．已知A，B，C是半徑為2的圓O上三點，若＝(＋)，則 的值為( )
A．0 B．1 C．2 D．4
解析：選A 由題易知點O為BC的中點，即BC為圓O的直徑，故在△ABC中，角A為直角，即AC與AB的夾角為90，∴＝0.
3．在△ABC中，且ab＝bc＝ca，則△ABC的形狀是( )
A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
解析：選D ∵ab＝bc＝ca，∴ab－bc＝0，∴b(a－c)＝0，∴(a－c)⊥b.又a－c＝過CA的中點，∴BC＝BA，同理，BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形．
A．－ B．－ C. D.
5．如圖，將45直角三角板和30直角三角板拼在一起，其中45直角三角板的斜邊與30直角三角板的30角所對的直角邊重合．若則x，y的值分別為( )
A.，1 B．1＋，
C．2， D.，1＋
解析：選B 設AD＝DC＝1，則AC＝，AB＝2，BC＝.在△BCD中，由余弦定理得DB2＝DC2＋CB2－2DCCBcos(45＋90)＝7＋2.以D為原點，DA為x軸，DC為y軸建立平面直角坐標系，則D(0,0)，A(1，0)，C(0,1)，B(y，x)，＝(y，x－1)，＝(y，x)，∴6＝(x－1)2＋y2，x2＋y2＝7＋2，∴x＝1＋，y＝.
6．如圖，△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，CD與BE交于F，設則m＋n＝( )
A．1 B. C. D.
解析：選C 設∵E，D分別為AC，AB的中點，＝－a＋b，＝(b－a)＋λ＝a＋(1－λ)b，∵共線，∴＝，∴λ＝，∴＝b＋CD―→＝b＋＝a＋b，故m＝，n＝，m＋n＝.
7．若G是△ABC的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若則角A＝( )
A．90 B．60 C．45 D．30
( )
A．－6 B．－2 C．2 D．6
9．在△ABC中，若對任意的m∈R，恒成立，則△ABC的形狀為( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
10．設平面向量a，b，c的模均等于2，且ab＝0，則(a－c)(b－c)的最小值為( )
A．4 B．4－4
C．－4 D．4－4
解析：選D (a－c)(b－c)＝c2－c(a＋b)≥4－|c||a＋b|＝4－2＝4－4，∴(a－c)(b－c)的最小值為4－4.
11．已知A，B是圓O：x2＋y2＝1上的兩個點，P是AB線段上的動點，當△AOB的面積最大時，則－的最大值是( )
A．－1 B．0 C. D.
解析：選C S△AOB＝r2sin∠AOB，當且僅當∠AOB＝90時面積取得最大值，即由于點P在線段AB上，故設則－＝＝－2x2＋x＝－22＋(0≤x≤1)(*)，當且僅當x＝時(*)式取得最大值.
12.已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如圖所示，則存在λ>0，使得〈c，d〉＝( )
A. B.
C. D．π
解析：選A 因為a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，所以c＝(1，λ)，由圖象可知d＝(4,3)，所以cos〈c，d〉＝>0，排除C，D項；當＝，即11λ2＋96λ＋39＝0時，此方程無正根，所以無解，排除B項；當＝，即39λ2－96λ＋11＝0時，此方程有兩正根．
二、填空題
13．已知點A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,4)，則向量在向量方向上的投影為________．
解析：由A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,4)，得＝(－2,3)，＝(－4，－2)，向量在向量方向上的投影為||cos〈，〉＝＝＝.
答案：
答案：1
15．如圖，在△ABC中，∠B＝60，O為△ABC的外心，P為劣弧AC上一動點，且 (x，y∈R)，則x＋y的最大值為________．
解析：∵∠B＝60，∴∠AOC＝120，當P在A點時，x＝1，y＝0，x＋y＝1；當P在A，C之間時，得x>0，y>0，將兩邊平方得x2＋y2－xy＝1，(x＋y)2－1＝3xy≤32＝(x＋y)2，即(x＋y)2≤4，x＋y≤2，故(x＋y)max＝2.
答案：2
16．定義域為[a，b]的函數(shù)y＝f(x)的圖象的兩個端點為A，B，M(x，y)是f(x)圖象上任意一點，其中x＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，向量若不等式≤k恒成立，則稱函數(shù)f(x)在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y＝x＋在[1,2]上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為________．
解析：由題意知a＝1，b＝2，所以A(1,2)，B.所以直線AB的方程為y＝(x＋3)．因為xM＝λa＋(1－
2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題一 選擇、填空題對點練教案 理 新人教A版.doc
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