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2019-2020年高中物理 精做08 帶電粒子在有界磁場中的運動大題精做 新人教版選修3-1 1．磁聚焦被廣泛地應用在電真空器件中，如圖所示，在坐標xOy中存在有界的勻強聚焦磁場，方向垂直坐標平面向外，磁場邊界PQ直線與x軸平行，距x軸的距離為，邊界POQ的曲線方程為，且方程對稱y軸，在坐標x軸上A處有一粒子源，向著不同方向射出大量質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電粒子，所有粒子的初速度大小相同均為v，粒子通過有界的勻強磁場后都會聚焦在x軸上的F點。已知A點坐標為（–a，0），F(xiàn)點坐標為（a，0）。不計粒子所受重力和相互作用。求： （1）勻強磁場的磁感應強度； （2）粒子射入磁場時的速度方向與x軸的夾角為多大時，粒子在磁場中運動時間最長，最長對間為多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】（1）設磁場的磁感應強度為，粒子在磁場中做圓周運動的半徑為，圓心為，從處射出磁場，其坐標為，因相似于 可得 且的曲線方程為 解得 因 解得 解得，，且 解得 2．如圖所示，兩平行金屬板AB中間有互相垂直的勻強電場和勻強磁場。A板帶正電荷，B板帶等量負電荷，板間電場強度為E；磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度為B1。平行金屬板右側(cè)有一擋板M，中間有小孔O′，OO′是平行于兩金屬板的中心線。擋板右側(cè)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場應強度為B2。CD為磁場B2邊界上的一絕緣板，它與M板的夾角θ=45，O′C=a，現(xiàn)有大量質(zhì)量均為m，含有不同電荷量、不同速度的正負帶電粒子（不計重力），自O點沿OO′方向進入電磁場區(qū)域，其中有些粒子沿直線OO′方向運動，并進入勻強磁場B2中，求： （1）進入勻強磁場B2的帶電粒子的速度； （2）能擊中絕緣板CD的粒子中，所帶電荷量的最大值； （3）絕緣板CD上被帶電粒子擊中區(qū)域的長度。 【答案】（1） （2） （3）2a （2）粒子進入勻強磁場B2中做勻速圓周運動 可知解得 因此電荷量最大的帶電粒子運動的軌道半徑最小，設最小半徑為 此帶電粒子運動軌跡與CD板相切，則有 解得 所以電荷量最大值 （3）帶負電的粒子在磁場B2中向上偏轉(zhuǎn)，某帶負電粒子軌跡與CD相切 設半徑為，依題意 解得 則CD板上被帶電粒子擊中區(qū)域的長度為 【名師點睛】帶電粒子在組合場中的運動問題，首先要運用動力學方法分析清楚粒子的運動情況，再選擇合適方法處理。對于勻變速曲線運動，常常運用運動的分解法，將其分解為兩個直線的合成，由牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合求解；對于磁場中圓周運動，要正確畫出軌跡，由幾何知識求解半徑。 3．如圖所示，在坐標系xOy中，y軸右側(cè)有一勻強電場；在第二、三象限內(nèi)有一有界勻強磁場，其上、下邊界無限遠，右邊界為y軸、左邊界為平行于y軸的虛線，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里。一帶正電，電荷量為q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點射入磁場區(qū)域，并從O點射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角θ=45，大小為v。粒子在磁場中的運動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的倍。粒子進入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時間后再次離開磁場。已知粒子從A點射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒子在磁場中做圓周運動的周期。忽略重力的影響。求： （1）粒子經(jīng)過A點時速度的方向和A點到x軸的距離； （2）勻強電場的大小和方向； （3）粒子從第二次離開磁場到再次到達磁場所用的時間。 【答案】（1）粒子經(jīng)過A點時速度的方向與左邊界垂直 【解析】（2） 勻強電場的方向與x軸正向夾角應為135 （3） A點到x軸的距離： 由洛倫茲力公式、牛頓第二定律及圓周運動的規(guī)律，得： 聯(lián)立解得： （2）依題意：勻強電場的方向與x軸正向夾角應為135 設粒子在磁場中做圓周運動的周期為T，第一次在磁場中飛行的時間為t1，有 T= 由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點進入磁場的速度方向與磁場右邊夾角為45。設粒子第二次在磁場中飛行的圓弧的圓心為O2，O2必定在直線OO1上。設粒子射出磁場時與磁場右邊界交于P點，則∠OO2P=90 設粒子第二次進入磁場在磁場中運動的時間為t2，有 設帶電粒子在電場中運動的時間為t3，依題意得 由勻變速運動的規(guī)律和牛頓第二定律可知： 聯(lián)立解得 （3）由幾何關(guān)系可得 故粒子自P點射出后將做類平拋運動。在沿電場方向做勻加速運動 垂直電場方向做勻速直線運動 聯(lián)立解得 4．如圖所示，兩平行金屬板右側(cè)的平行直線A1、A2間，存在兩個方向相反的勻強磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，以豎直面MN為理想分界面。兩磁場區(qū)域的寬度相同，磁感應強度的大小均為B，Ⅰ區(qū)的磁場方向垂直于紙面向里。一電子由靜止開始，經(jīng)板間電場加速后，以速度v0垂直于磁場邊界A1進入勻強磁場，經(jīng)的時間后，垂直于另一磁場邊界A2離開磁場。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e。 （1）求每一磁場區(qū)域的寬度d； （2）若要保證電子能夠從磁場右邊界A2穿出，加速度電壓U至少應大于多少？ （3）現(xiàn)撤去加速裝置，使Ⅰ區(qū)域的磁感應強度變?yōu)?B，電子仍以速率v0從磁場邊界A1射入，并改變射入時的方向（其他條件不變），使得電子穿過Ⅰ區(qū)域的時間最短。求電子穿過兩區(qū)域的時間t。 【答案】（1） （2） （3） 電子在每一磁場中運動的時間為t1= ③ 說明電子的在磁場中轉(zhuǎn)過π/4，如圖所示 可知④ 解得 ⑤ （2）若電子恰好不從A2穿出磁場，電子運動軌跡應和MN相切，在I區(qū)域中轉(zhuǎn)半圈后從A1離開磁場，如圖所示 設此時對應的電壓為U，電子進入磁場時的速度為v，則⑥ ⑦ ⑧ 解得⑨ 電子能夠從磁場右邊界A2穿出，加速度電壓U至少應大于 （3）由于速率一定，要電子穿過I區(qū)域的時間最短，則需電子穿過I區(qū)域的弧長最短（對應的弦長最短）。 運動軌跡如圖所示 在II區(qū)域的半徑：r2==2r1 由幾何關(guān)系可知，在II區(qū)域中的圓心O2必在A2上 如圖所示，Φ=θ= 在II區(qū)域的運動時間： 通過兩場的總時間t=t1+t2= 【名師點睛】此題考查了帶電粒子在勻強磁場中的運動問題；解題時要結(jié)合左手定則分析粒子的運動情況，畫出粒子運動的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系找到半徑；熟練掌握粒子做圓周運動的半徑公式及時間公式。 5．如圖（甲）所示，兩帶等量異號電荷的平行金屬板平行于x軸放置，板長為L，兩板間距離為2y0，金屬板的右側(cè)寬為L的區(qū)域內(nèi)存在如圖（乙）所示周期性變化的磁場，磁場的左右邊界與x軸垂直?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的帶電粒子，從y軸上的A點以速度v0沿x軸正方向射入兩板之間，飛出電場后從點（L，0）進入磁場區(qū)域，進入時速度方向與x軸夾角為30，把粒子進入磁場的時刻做為零時刻，以垂直于紙面向里作為磁場正方向，粒子最后從x軸上（2L，0）點與x軸正方向成30夾角飛出磁場，不計粒子重力。 （1）求粒子在兩板間運動時電場力對它所做的功； （2）計算兩板間的電勢差并確定A點的位置； （3）寫出磁場區(qū)域磁感應強度B0的大小、磁場變化周期T應滿足的表達式。 【答案】（1） （2） （0，） （3）（n=1，2，3，…） 水平方向：L=v0t 豎直方向：y=v′t 解得： A點的位置坐標為（0，） 電場力對粒子所做的功：W=qEy 兩板間的電壓U=2Ey0 解得： 由牛頓第二定律，有： 解得：（n=1，2，3，…） 粒子在變化磁場的半個周期內(nèi)恰好轉(zhuǎn)過周期，同時在磁場中運動的時間是變化磁場半個周期的整數(shù)倍，可使粒子到達x=2L處且滿足速度題設要求；； 解得：（n=1，2，3，…） 當， 6．（xx浙江卷）離子推進器是太空飛行器常用的動力系統(tǒng)，某種推進器設計的簡化原理如圖1所示，截面半徑為R的圓柱腔分為兩個工作區(qū)。I為電離區(qū)，將氙氣電離獲得1價正離子II為加速區(qū)，長度為L，兩端加有電壓，形成軸向的勻強電場。I區(qū)產(chǎn)生的正離子以接近0的初速度進入II區(qū)，被加速后以速度vM從右側(cè)噴出。I區(qū)內(nèi)有軸向的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在離軸線R/2處的C點持續(xù)射出一定速度范圍的電子。假設射出的電子僅在垂直于軸線的截面上運動，截面如圖2所示（從左向右看）。電子的初速度方向與中心O點和C點的連線成α角（0<α<90?）。推進器工作時，向I區(qū)注入稀薄的氙氣。電子使氙氣電離的最小速度為v0，電子在I區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達的區(qū)域越大，電離效果越好。已知離子質(zhì)量為M；電子質(zhì)量為m，電荷量為e。（電子碰到器壁即被吸收，不考慮電子間的碰撞）。 （1）求II區(qū)的加速電壓及離子的加速度大??； （2）為取得好的電離效果，請判斷I區(qū)中的磁場方向（按圖2說明是“垂直紙面向里”或“垂直紙面向外”）； （3）α為90?時，要取得好的電離效果，求射出的電子速率v的范圍； （4）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率vM與α的關(guān)系。 【答案】（1） （2）垂直紙面向外 （3） （4） （3）設電子運動的最大半徑為r，則 所以有 磁感應強度滿足 （4）如圖所示 根據(jù)幾何關(guān)系得： 解得