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2019-2020年高三3月摸底考試 數(shù)學理試題 含答案 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的 1.已知是虛數(shù)單位，則=（ ） A. B. C. D. 2.若集合,,則（ ）. A. B. C. D. 3．以下判斷正確的是 ( ) .函數(shù)為上可導函數(shù)，則是為函數(shù)極值點的充要條件. .命題“”的否定是“”. .命題“在中，若”的逆命題為假命題. .“”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的充要條件. 4. 設偶函數(shù)滿足，則( ) A. B. C. D. 5. 下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題： 其中的真命題為 （ ） A. B. C. D. 6. 某程序框圖如右圖所示，該程序運行后輸出的k的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 7．右圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(，)圖像的一部分．為了得到這個函數(shù)的圖像，只要將y＝sin x(x∈R)的圖像上所有的點 ( ) .向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變. .向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變. .向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變. .向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變. 8．拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，弦中點在準線上的射影為的最大值為( ) A． B． C． D. o y x 9.一個棱錐的三視圖如上圖，則該棱錐的全面積（單位：cm2）為( ) A.48+12 B.48+24 C.36+12 D.36+24 10.右圖可能是下列哪個函數(shù)的圖象（ ） A.y=2x－x2－1 B. y = C.y=(x2－2x)ex D. y= 11.若是的重心，分別是角的對邊，若 ，則角（ ） A. B. C. D. 12.四面體中，與互相垂直,, 且,則四面體的體積的最大值是 ( ) . A.4 B.2 C.5 D. 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分）． 13.已知的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則= . 14.航空母艦“遼寧艦”在某次飛行訓練中，有5架殲-15飛機準備著艦.如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而甲、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有 種 15. 方程在區(qū)間內(nèi)的所有實根之和為 .（符號表示不超過的最大整數(shù)）。 16.若數(shù)列與滿足，且,設數(shù)列的前項和為，則= . 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17.（本小題滿分12分）在中，角對邊分別是，滿足． （Ⅰ）求角的大??； （Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值時角的大?。? 18．（本小題滿分12分） 生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下： 測試指標 元件A 8 12 40 32 8 元件B 7 18 40 29 6 （Ⅰ）試分別估計元件A、元件B為正品的概率； （Ⅱ）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（Ⅰ）的前提下； （i）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率； （ii）記X為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． 19. (本題滿分為12分)如圖，已知長方形中，,為的中點. 將 沿折起，使得平面平面. （1）求證： ； （2）若點是線段上的一動點，問點E在何位置時，二面角的余弦值為． A 20. (本題滿分12分) 已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）過右焦點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且，又點關(guān)于原點的對稱點為點，試問、、、四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由. 21.（本小題滿分12分）設函數(shù)，. （Ⅰ）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）求函數(shù)的極值點. （Ⅲ）設為函數(shù)的極小值點，的圖象與軸交于兩點,且，中點為， 求證：． 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右側(cè)的方框涂黑． 22．（本小題滿分10分）選修4 - 1：證明選講 已知AB是圓O的直徑，C為圓O上一點，CD⊥AB于點D， 弦BE與CD、AC 分別交于點M、N，且MN = MC （1）求證：MN = MB； （2）求證：OC⊥MN。 23．（本小題滿分10分）選修4 - 4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0 ≤ α < π）。以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為 ρcos2θ = 4sinθ。 （1）求直線 l 與曲線C的平面直角坐標方程； （2）設直線 l 與曲線C交于不同的兩點A、B，若，求α的值。 24．（本小題滿分10分）選修4 - 5：不等式選講 已知函數(shù)。 （1）當a = 3時，求不等式的解集； （2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。 參考答案 選擇題：1-12：DADBD AABAC DA 填空題：13.8 14.36 15.2 16.560 17．解：（Ⅰ）由已知， 由余弦定理得，∴，…………2分 ∵，∴． …………4分 （Ⅱ）∵，∴，. ． …………8分 ∵，∴，∴當， 取最大值， 此時． ………… 12分 18. （Ⅰ）由題可知 元件A為正品的概率為 ，元件B為正品的概率為?！?分 （Ⅱ）（i）設生產(chǎn)的5件元件中正品件數(shù)為，則有次品5件，由題意知得到，設“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于300元”為事件，則?！?分 （ii）隨機變量的所有取值為150,90,30，-30， 則，，， ，所以的分布列為： 150 90 30 -30 …………………10分 …………………………12分 19. （Ⅱ）設,因為平面的一個法向量 , 設平面的一個法向量為, 取,得,所以, 10分 因為 求得，所以為的中點。 12分 20. 解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為， ∵直線與圓相切，∴，即， --------2分 又，及，得，所以橢圓方程為．------4分 （Ⅱ）因直線過點，且斜率為，故有 聯(lián)立方程組，消去，得-----------6分 設、，可得，于是. 又，得即-----------8分 而點與點關(guān)于原點對稱，于是，可得點 若線段、的中垂線分別為和，，則有 聯(lián)立方程組，解得和的交點為-----------10分 因此，可算得 所以、、、四點共圓，且圓心坐標為半徑為-----12分 21.解：（Ⅰ） 依題意得，在區(qū)間上不等式恒成立. 又因為，所以.所以， 所以實數(shù)的取值范圍是. ……………………2分 （Ⅱ），令 ①顯然，當時，在上恒成立，這時，此時，函數(shù)沒有極值點； ……………..3分 ②當時， （?。┊?，即時，在上恒成立，這時，此時，函數(shù)沒有極值點； …………….4分 （ⅱ）當，即時， 易知，當時，，這時； 當或時，，這時； 所以，當時，是函數(shù)的極大值點；是函數(shù)的極小值點. 綜上，當時，函數(shù)沒有極值點；………………………….6分 當時，是函數(shù)的極大值點；是函數(shù)的極小值點. ………8分 （Ⅲ）由已知得兩式相減， 得：…………① 由，得…………②得①代入②，得 = ……………………10分 令且 在上遞減， ……………12分 22. 證明：（1）連結(jié)AE，BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=90，∠ACB=90∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC∴MN=MB． ………5分 （2）設OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB 由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC ∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90∴OC⊥MN． …………10分 23. 解：（Ⅰ）直線普通方程為 曲線的極坐標方程為，則 …………5分 （Ⅱ）將代入曲線 …………7分 ……9分 或 …………10分 24. 解：（Ⅰ）時，即求解 ①當時， ②當時， ③當時， 綜上，解集為……………5分 （Ⅱ）即恒成立 令則函數(shù)圖象為 ，…………..10分