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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 理 類型一 三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式 1．角α終邊上任一點(diǎn)P(x，y)，則P到原點(diǎn)O的距離為r＝，故sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變、符號(hào)看象限”． 3．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式： sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝. [例1]　(xx年高考山東卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2，1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)_______． [解析]　利用平面向量的坐標(biāo)定義、解三角形的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想求解． 設(shè)A(2，0)，B(2，1)，由題意知劣弧PA長(zhǎng)為2，∠ABP＝＝2. 設(shè)P(x，y)，則x＝2－1cos (2－)＝2－sin 2，y＝1＋1sin (2－)＝1－cos 2， ∴的坐標(biāo)為(2－sin 2，1－cos 2)． [答案]　(2－sin 2，1－cos 2) 跟蹤訓(xùn)練 1．(xx年綿陽(yáng)摸底)sin (－225)＝(　　) A.　　　　　　　B．－ C. D. 解析：sin (－225)＝sin (－360＋135)＝sin 135 ＝sin 45＝. 答案：A 2．(xx年合肥模擬)已知tan x＝2，則sin 2x＋1＝(　　) A．0 B. C. D. 解析：sin 2x＋1＝＝＝，故選B 答案：B 類型二 三角函數(shù)性質(zhì) 1．函數(shù)y＝Asin (ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)． 2．函數(shù)y＝Asin (ωx＋φ)， 令ωx＋φ＝kπ＋，可求得對(duì)稱軸方程． 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)． 3．將ωx＋φ看作整體，可求得y＝Asin (ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，注意ω的符號(hào)． [例2]　(xx年高考課標(biāo)全國(guó)卷)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin (ωx＋)在(，π)上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　) A．[，] B．[，] C．(0，] D．(0，2] [解析]　結(jié)合特殊值，求解三角函數(shù)的減區(qū)間，并驗(yàn)證結(jié)果． 取ω＝，f(x)＝sin (x＋)，其減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，顯然(，π)[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin (2x＋)，其減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，顯然(，π)[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，排除D. [答案]　A 跟蹤訓(xùn)練 (xx年唐山模擬)若x＝是函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx圖象的一條對(duì)稱軸，當(dāng)ω取最小正數(shù)時(shí)(　　) A．f(x)在(0，)上單調(diào)遞增 B．f(x)在(，)上單調(diào)遞增 C．f(x)在(－，0)上單調(diào)遞減 D．f(x)在(－，)上單調(diào)遞減 解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin (ωx＋)，依題意可知f()＝2sin (ω＋)＝2，∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)，∴ω＝6(k＋)，當(dāng)k＝0時(shí)，ω取得最小正數(shù)2，故函數(shù)f(x)＝2sin (2x＋)，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[－，]，∵(0，)[－，]，故選A. 答案：A 類型三 函數(shù)的圖象及變換 函數(shù)y＝Asin (ωx＋φ)的圖象 (1)“五點(diǎn)法”作圖： 設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應(yīng)y的值，描點(diǎn)、連線可得． (2)圖象變換： [例3]　(xx年高考湖南卷)已知函數(shù)f(x)＝Asin (ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0<φ<)的部分圖象如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝f(x－)－f(x＋)的單調(diào)遞增區(qū)間． [解析]　(1)由圖象知，周期T＝2(－)＝π， 所以ω＝＝2. 因?yàn)辄c(diǎn)(，0)在函數(shù)圖象上， 所以Asin (2＋φ)＝0， 即sin (＋φ)＝0. 又因?yàn)?<φ<，所以<＋φ<. 從而＋φ＝π，即φ＝. (2)g(x)＝2sin [2(x－)＋]－2sin [2(x＋)＋]＝2sin 2x－2sin (2x＋) ＝2sin 2x－2(sin 2x＋cos 2x) ＝sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－)． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 跟蹤訓(xùn)練 (原創(chuàng)題)為了使得變換后的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－，0)成中心對(duì)稱，只需將原函數(shù)y＝sin (2x＋)的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 解析：函數(shù)y＝sin (2x＋)的圖象的對(duì)稱中心為(－，0)(k∈Z)，其中離點(diǎn)(－，0)最近的對(duì)稱中心為(－，0)，故只需將原函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可． 答案：C 析典題（預(yù)測(cè)高考） 高考真題 【真題】　(xx年高考天津卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)＋sin (2x－)＋2cos 2x－1，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最大值和最小值． 【解析】　(1)f(x)＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[－，]上是增函數(shù)，在區(qū)間[，]上是減函數(shù)，又f(－)＝－1，f()＝，f()＝1，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最大值為，最小值為－1. 【名師點(diǎn)睛】　本題主要考查三角變換、三角函數(shù)性質(zhì)及三角函數(shù)最值求法，是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容與題型，難度不大． 考情展望 高考對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，各種題型都有，著重體現(xiàn)在選擇填空中考查圖象變換及性質(zhì)，在解答題中融三角變換與圖象性質(zhì)于一體，有時(shí)涉及平面向量知識(shí)． 名師押題 【押題】已知向量a＝(cos x，2cos x)，向量b＝(2cos x，sin(π－x))，函數(shù)f(x)＝ab＋1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式和最小正周期； (2)若x∈[0，]，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值． 【解析】　(1)∵a＝(cos x，2cos x)，b＝(2cos x，sin (π－x))， ∴f(x)＝ab＋1 ＝2cos 2x＋2cos xsin (π－x)＋1 ＝1＋cos 2x＋2sin xcos x＋1 ＝cos 2x＋sin 2x＋2 ＝sin (2x＋)＋2. ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]． ∴當(dāng)2x＋＝，即x＝時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值2＋； 當(dāng)2x＋＝，即x＝時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值1.