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2019-2020年高二數(shù)學下學期期中試卷 文（含解析） 　 一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題5分，共50分.請把答案填寫在答題卷中）. 1．（5分）a=0是復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的（　　）條件． 　 A． 充分 B． 必要 C． 充要 D． 非充分非必要 考點： 復(fù)數(shù)的基本概念． 專題： 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)． 分析： 復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)?，即可判斷出． 解答： 解：復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)?， 因此a=0是復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的必要不充分條件． 故選：B． 點評： 本題考查了復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件，屬于基礎(chǔ)題． 　 2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i，則z1﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（　?。? 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考點： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算；復(fù)數(shù)的基本概念． 專題： 計算題． 分析： 先求兩個復(fù)數(shù)的差的運算，要復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相減，得到差對應(yīng)的復(fù)數(shù)，寫出點的坐標，看出所在的位置． 解答： 解：∵復(fù)數(shù)z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i， ∴z1﹣z2=（3﹣4i）﹣（﹣2+3i） =5﹣7i． ∴復(fù)數(shù)z1﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（5，﹣7） ∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限 故選D． 點評： 考查復(fù)數(shù)的運算和幾何意義，解題的關(guān)鍵是寫出對應(yīng)的點的坐標，有點的坐標以后，點的位置就顯而易見． 　 3．（5分）兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是（　?。? 　 A． 模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.96 B． 模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.86 　 C． 模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.73 D． 模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.66 考點： 回歸分析． 專題： 閱讀型． 分析： R2越接近1，擬合效果越好，由此可作出判斷． 解答： 解：由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知，R2越接近1，擬合效果越好， 綜合選項可知：模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.96為最大，故擬合效果最好 故選A 點評： 本題查看相關(guān)指數(shù)的意義，屬基礎(chǔ)題． 　 4．（5分）設(shè)0＜θ＜，已知a1=2cosθ，an+1=（n∈N*），猜想an等于（　?。? 　 A． 2cos B． 2cos C． 2cos D． 2sin 考點： 數(shù)列的概念及簡單表示法． 專題： 規(guī)律型． 分析： 利用排除法分別進行驗證排除即可得到結(jié)論． 解答： 解：當n=1時，A選項2cos=2cos，∴排除A． 當n=2時，C選項2cos=2cos，∴排除C． a2==，此時D選項2sin=，∴排除D． 故選：B． 點評： 本題主要考查數(shù)列的通項公式的求解，利用已知條件進行排除即可，比較基礎(chǔ)． 　 5．（5分）（xx?民樂縣校級三模）下列表述正確的是（　?。? ①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． 　 A． ①②③ B． ②③④ C． ②④⑤ D． ①③⑤ 考點： 歸納推理；演繹推理的意義． 專題： 閱讀型． 分析： 本題考查的知識點是歸納推理、類比推理和演繹推理的定義，根據(jù)定義對5個命題逐一判斷即可得到答案． 解答： 解：歸納推理是由部分到整體的推理， 演繹推理是由一般到特殊的推理， 類比推理是由特殊到特殊的推理． 故①③⑤是正確的 故選D 點評： 判斷一個推理過程是否是歸納推理關(guān)鍵是看他是否符合歸納推理的定義，即是否是由特殊到一般的推理過程．判斷一個推理過程是否是類比推理關(guān)鍵是看他是否符合類比推理的定義，即是否是由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程．判斷一個推理過程是否是演繹推理關(guān)鍵是看他是否符合演繹推理的定義，即是否是由一般到特殊的推理過程． 　 6．（5分）在線性回歸模型中，下列敘述正確的是（　　） 　 A． 比較兩個模型的擬合效果，可以通過比較它們的殘差平方和的大小來確定，殘差平方和越大的模型，擬合效果越好 　 B． 在殘差圖中，殘差點所在的帶狀區(qū)域的寬度越窄，擬合效果越好 　 C． 在殘差圖中，殘差點所在的帶狀區(qū)域的寬度越寬，擬合效果越好 　 D． 通過回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值 考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 利用由殘差平方和、殘差點所在的帶狀區(qū)域的意義以及利用回歸方程進行預(yù)報的特點逐一分析四個答案的正誤，可得結(jié)論． 解答： 解：比較兩個模型的擬合效果，可以通過比較它們的殘差平方和的大小來確定，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故A錯誤； 在殘差圖中，殘差點所在的帶狀區(qū)域的寬度越窄，擬合效果越好，故B正確；C錯誤； 通過回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的估計值，故C錯誤； 故選：B 點評： 本題以命題的真假判斷為載體考查了殘差平方和、殘差點所在的帶狀區(qū)域的意義以及利用回歸方程，難度不大，屬于基礎(chǔ)題． 　 7．（5分） “因為對數(shù)函數(shù)y=logax在（0，+∞）上是增函數(shù)（大前提），而y=logx是對數(shù)函數(shù)（小前提），所以y=logx在（0，+∞）上是增函數(shù)（結(jié)論）”，上面推理錯誤的是（　?。? 　 A． 大前提錯誤導致結(jié)論錯 　 B． 小前提錯誤導致結(jié)論錯 　 C． 推理形式錯誤導致結(jié)論錯 　 D． 大前提和小前提錯誤都導致結(jié)論錯 考點： 進行簡單的合情推理． 專題： 規(guī)律型． 分析： 當a＞1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)，當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是減函數(shù)，故可得結(jié)論． 解答： 解：當a＞1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)，當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是減函數(shù)， 故推理的大前提是錯誤的 故選A． 點評： 本題考查演繹推理，考查三段論，屬于基礎(chǔ)題． 　 8．（5分）由平面內(nèi)性質(zhì)類比出空間幾何的下列命題，你認為正確的是（　　） 　 A． 過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直 　 B． 同垂直于一條直線的兩條直線互相平行 　 C． 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行 　 D． 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 考點： 類比推理． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 根據(jù)課本定理即可判斷． 解答： 解：A．空間中過直線上一點有無數(shù)條直線與已知直線垂直，故不正確； B．空間中同垂直于一條直線的兩條直線不一定互相平行，故不正確； C．與平面中一樣，空間中過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故正確； D．在空間中兩組對邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形，故不正確； 故選：C． 點評： 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題． 　 9．（5分）圓ρ=（cosθ+sinθ）的圓心的極坐標是（　　） 　 A． （1，） B． （，） C． （，） D． （2，） 考點： 簡單曲線的極坐標方程． 專題： 計算題． 分析： 先在極坐標方程ρ=（cosθ+sinθ）的兩邊同乘以ρ，再利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換化成直角坐標方程求解即得． 解答： 解：將方程ρ=（cosθ+sinθ）兩邊都乘以ρ得：ρ2=pcosθ+ρsinθ， 化成直角坐標方程為x2+y2﹣x﹣y=0．圓心的坐標為（，）． 化成極坐標為（1，）． 故選C． 點評： 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化． 　 10．（5分）點P（1，0）到曲線（其中參數(shù)t∈R）上的點的最短距離為（　?。? 　 A． 0 B． 1 C． D． 2 考點： 兩點間距離公式的應(yīng)用． 分析： 直接求距離的表達式，然后求最值． 解答： 解：點P（1，0）到曲線（其中參數(shù)t∈R）上的點的距離： ∵t2+1≥1 故選B． 點評： 本題考查兩點間的距離公式，以及參數(shù)方程的理解，是基礎(chǔ)題． 　 二、填空題（每小題5分，共20分） 11．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi（a，b∈R，i是虛數(shù)單位），則a+b的值是　﹣1?。? 考點： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)相等的充要條件． 專題： 計算題． 分析： 首先進行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理出最簡形式，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件寫出a，b的值． 解答： 解：∵復(fù)數(shù)=a+bi ∴ ∴a=0，b=﹣1， 則a+b的值是﹣1 故答案為：﹣1． 點評： 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算和復(fù)數(shù)相等的充要條件，本題解題的關(guān)鍵是把復(fù)數(shù)整理成代數(shù)形式的標準形式． 　 12．（5分）柱坐標（2，，1）對應(yīng)的點的直角坐標是　?。? 考點： 柱坐標系與球坐標系． 專題： 坐標系和參數(shù)方程． 分析： 利用柱坐標與直角坐標的關(guān)系即可得出． 解答： 解：柱坐標（2，，1）對應(yīng)的點的直角坐標是，即． 故答案為：． 點評： 本題考查了柱坐標與直角坐標的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題． 　 13．（5分）（xx?陜西模擬）已知直線的極坐標方程為，則極點到該直線的距離是　　． 考點： 簡單曲線的極坐標方程；與圓有關(guān)的比例線段；不等式的基本性質(zhì)． 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 先將原極坐標方程中的三角函數(shù)式展開后兩邊同乘以ρ后化成直角坐標方程，再利用直角坐標方程進行求解即得． 解答： 解：將原極坐標方程，化為： ρsinθ+ρcosθ=1， 化成直角坐標方程為：x+y﹣1=0， 則極點到該直線的距離是=． 故填；． 點評： 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得． 　 14．（5分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（參數(shù)t∈R），圓C的參數(shù)方程為，（參數(shù)θ∈[0，2π]），則圓C的圓心坐標為?。?，2）　，圓心到直線l的距離為　　． 考點： 圓的參數(shù)方程；點到直線的距離公式；直線的參數(shù)方程． 專題： 計算題． 分析： 先利用兩式相加消去t將直線的參數(shù)方程化成普通方程，然后利用sin2θ+cos2θ=1將圓的參數(shù)方程化成圓的普通方程，求出圓心和半徑，最后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離即可． 解答： 解：直線l的參數(shù)方程為（參數(shù)t∈R）， ∴直線的普通方程為x+y﹣6=0 圓C的參數(shù)方程為（參數(shù)θ∈[0，2π]）， ∴圓C的普通方程為x2+（y﹣2）2=4 ∴圓C的圓心為（0，2），d= 故答案為：（0，2）， 點評： 本小題主要考查圓的參數(shù)方程及直線與圓的位置關(guān)系的判斷，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．本題出現(xiàn)最多的問題應(yīng)該是計算上的問題，平時要強化基本功的練習，屬于基礎(chǔ)題． 　 三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.） 15．（12分）用綜合法或分析法證明： （1）如果a＞0，b＞0，則； （2）求證：． 考點： 綜合法與分析法(選修）． 專題： 證明題． 分析： （1）利用基本不等式可得，再由y=lgx在（0，+∞）上增函數(shù)，從而有． （2）用分析法證明不等式成立，就是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然成立為止． 解答： （1）證明：∵a＞0，b＞0，∴． …（3分） （當且僅當a=b時，取“=”號） 即：． …（4分） 又 y=lgx在（0，+∞）上增函數(shù)，…（5分） 所以，=，故成立．…（7分） （2）證明：要證， 只需證，…（9分） 只需證：，只需證：42＞40．…（12分） 因為42＞40顯然成立，所以 ．…（14分） 點評： 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，基本不等式的應(yīng)用，用分析法證明不等式，屬于中檔題． 　 16．（12分）（xx春?福清市校級期中）已知復(fù)數(shù)． （1）求復(fù)數(shù)z的實部和虛部； （2）若z2+az+b=1﹣i，求實數(shù)a，b的值． 考點： 復(fù)數(shù)相等的充要條件；復(fù)數(shù)的基本概念． 專題： 計算題． 分析： （1）由復(fù)數(shù)的運算法則，把復(fù)數(shù)等價轉(zhuǎn)化為z=1+i，能夠得到復(fù)數(shù)z的實部和虛部． （2）把z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，得：（a+b）+（2+a）i=1﹣i，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，能夠求出實數(shù)a，b的值． 解答： 解：（1）∵，…（7分） ∴復(fù)數(shù)z的實部為1，虛部為1． （2）由（1）知z=1+i， 代入z2+az+b=1﹣i， 得：（a+b）+（2+a）i=1﹣i， ∴， 所以實數(shù)a，b的值分別為﹣3，4．…（14分） 點評： 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算和復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答． 　 17．（14分）（xx?錦州二模）有甲乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后， 得到如下的列聯(lián)表： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 乙班 30 合計 105 已知在全部105人中抽到隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為 （Ⅰ）請完成上面的列聯(lián)表； （Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關(guān)系”； （Ⅲ）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號．試求抽到6或10號的概率． 考點： 獨立性檢驗的應(yīng)用；等可能事件的概率． 專題： 計算題；圖表型． 分析： （Ⅰ）由全部105人中抽到隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為，我們可以計算出優(yōu)秀人數(shù)為30，我們易得到表中各項數(shù)據(jù)的值． （Ⅱ）我們可以根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，代入公式，計算出k值，然后代入離散系數(shù)表，比較即可得到答案 （Ⅲ）本小題考查的知識點是古典概型，關(guān)鍵是要找出滿足條件抽到6或10號的基本事件個數(shù)，及總的基本事件的個數(shù)，再代入古典概型公式進行計算求解． 解答： 解：（Ⅰ） 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合計 30 75 105 （Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 因此有95%的把握認為“成績與班級有關(guān)系”． （Ⅲ）設(shè)“抽到6或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)為（x，y）． 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）…（6，6），共36個． 事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、 （5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8個 ∴ 點評： 獨立性檢驗的應(yīng)用的步驟為：根據(jù)已知條件將數(shù)據(jù)歸結(jié)到一個表格內(nèi)，列出列聯(lián)表，再根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，代入公式，計算出k值，然后代入離散系數(shù)表，比較即可得到答案． 　 18．（14分）（xx春?遂溪縣校級期中）已知函數(shù)f（x）=． （1）求證：函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)； （2）設(shè)a＞1，證明方程ax+f（x）=0沒有負根． 考點： 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明． 專題： 證明題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： （1）用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性； （2）可以用反證法證明，基本步驟是假設(shè)結(jié)論不成立，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理證明，得出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，從而證明假設(shè)不成立． 解答： 解：（1）證明：設(shè)x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，…（1分） 則x1+1＞0，x2+1＞0，…（2分） ∴；…（5分） ∴f（x1）＜f（x2），…（6分） ∴函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)；…（7分） （2）證明：假設(shè)存在x0＜0（x0≠﹣1），滿足，…（8分） 則，…（10分） 且； ∴；…（12分） 這與假設(shè)x0＜0矛盾， ∴方程ax+f（x）=0沒有負根． …（14分） 點評： 本題考查了關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的證明問題，解題時應(yīng)根據(jù)題目的特點，進行分析與證明，是基礎(chǔ)題． 　 19．（14分）下表提供了某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+； （2）請求出相關(guān)指數(shù)R2，并說明殘差變量對預(yù)報變量的影響約占百分之幾． （參考數(shù)值：32.5+43+54+64.5=66.5） 考點： 線性回歸方程． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： （1）首先做出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果； （2）直接根據(jù)相關(guān)指數(shù)公式求出相關(guān)指數(shù)R2，進而可得殘差變量對預(yù)報變量的影響約占百分之幾． 解答： 解：（1）由已知可得： ，， ，， ， 所求的回歸方程為 …（7分） （2）計算得殘差及偏差的數(shù)據(jù)如下表： 0.05 ﹣0.15 0.15 ﹣0.05 ﹣1 ﹣0.5 0.5 1 從而得， 所以．…12分 所以殘差變量對預(yù)報變量的貢獻率約為2%．…（14分） 點評： 本題考查回歸直線方程，相關(guān)指數(shù)，考查回歸分析的初步應(yīng)用．確定回歸直線方程是關(guān)鍵． 　 20．（14分）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*． （Ⅰ）證明數(shù)列{an﹣n}是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn； （Ⅲ）證明不等式Sn+1≤4Sn，對任意n∈N*皆成立． 考點： 數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定；等比數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 綜合題． 分析： （Ⅰ）整理題設(shè)an+1=4an﹣3n+1得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），進而可推斷數(shù)列{an﹣n}是等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可數(shù)列{an﹣n}的通項公式，進而可得{an}的通項公式根據(jù)等比和等差數(shù)列的求和公式，求得Sn． （Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的Sn代入Sn+1﹣4Sn整理后根據(jù)證明原式． 解答： 解：（Ⅰ）證明：由題設(shè)an+1=4an﹣3n+1，得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），n∈N*． 又a1﹣1=1，所以數(shù)列{an﹣n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知an﹣n=4n﹣1，于是數(shù)列{an}的通項公式為an=4n﹣1+n． 所以數(shù)列{an}的前n項和． （Ⅲ）證明：對任意的n∈N*，=． 所以不等式Sn+1≤4Sn，對任意n∈N*皆成立． 點評： 本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和推理論證能力．