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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題突破 專(zhuān)題二 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角變換與解三角形 理 1．(xx浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 2．(xx重慶)若tan α＝，tan(α＋β)＝，則tan β等于(　　) A. B. C. D 3．(xx福建)在△ABC中，A＝60，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________． 4．(xx江蘇)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是________． 正弦定理和余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計(jì)算；2.三角形形狀的判斷；3.面積的計(jì)算；4.有關(guān)的范圍問(wèn)題.由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視. 熱點(diǎn)一　三角恒等變換 1．三角求值“三大類(lèi)型” “給角求值”、“給值求值”、“給值求角”． 2．三角函數(shù)恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等； (2)項(xiàng)的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 例1　(1)已知sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，則cos(α＋)等于(　　) A．－ B．－ C. D. (2)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 思維升華　(1)三角變換的關(guān)鍵在于對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過(guò)程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況．(2)求角問(wèn)題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解． 跟蹤演練1　(1)(xx重慶)若tan α＝2tan ，則等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)－等于(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 熱點(diǎn)二　正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． (2)余弦定理：在△ABC中， a2＝b2＋c2－2bccos A； 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 例2　(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)． 　 　 　 　 　 　 　 　 思維升華　關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口． 跟蹤演練2　(1)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75，BC＝2，則AB的取值范圍是________． (2)(xx江西)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是(　　) A．3 B. C. D．3 熱點(diǎn)三　解三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題 解三角形與三角函數(shù)的綜合是近幾年高考的熱點(diǎn)，主要考查三角形的基本量，三角形的面積或判斷三角形的形狀． 例3　(xx山東)設(shè)f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f ＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值． 　 　 　 　 　 思維升華　解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對(duì)最值或范圍問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來(lái)求． 跟蹤演練3　已知函數(shù)f(x)＝2cos (cos－sin)，在△ABC中，有f(A)＝＋1. (1)若a2－c2＝b2－mbc，求實(shí)數(shù)m的值； (2)若a＝1，求△ABC面積的最大值． 　 　 　 1．在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面積S＝，則sin C等于(　　) A. B. C. D. 2．已知函數(shù)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期為. (1)求ω的值； 　 (2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時(shí)f (A)的值域． 　 提醒：完成作業(yè)　專(zhuān)題二　第2講  二輪專(zhuān)題強(qiáng)化練 專(zhuān)題二 第2講　三角變換與解三角形 A組　專(zhuān)題通關(guān) 1．已知α∈(，π)，sin(α＋)＝，則cos α等于(　　) A．－ B. C．－或 D．－ 2．已知函數(shù)f(x)＝4sin(＋)，f(3α＋π)＝，f(3β＋)＝－，其中α，β∈[0，]，則cos(α－β)的值為(　　) A. B. C. D. 3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 4．(xx廣東)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b0， ∴＝≤＝， 故的最大值為. 12．100 解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30，∠ACB＝75－30＝45，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300.在Rt△BCD中，∠CBD＝30，CD＝BCtan∠CBD＝300tan 30＝100. 13．2 解析　在△ABC中，因?yàn)椤螦DC＝120，所以∠ADB＝60， 因?yàn)橄蛄?，的夾角為120， 所以∠B＝60，所以△ADB為等邊三角形． 因?yàn)锳D＝2，所以AB＝BD＝2. 因?yàn)椋?，所以點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)， 所以BC＝4，所以△ABC的面積S△ABC＝BABCsin B＝24sin 60＝2. 14．(1)證明　tan ＝＝ ＝. (2)解　由A＋C＝180，得C＝180－A，D＝180－B， 由(1)，有tan ＋tan ＋tan ＋tan ＝＋＋＋ ＝＋. 連接BD， 在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos A， 在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos C， 所以AB2＋AD2－2ABADcos A＝BC2＋CD2＋2BCCDcos A， 則cos A ＝ ＝＝， 于是sin A＝ ＝ ＝. 連接AC，同理可得 cos B＝＝＝， 于是sin B＝＝ ＝. 所以tan ＋tan ＋tan ＋tan ＝＋＝＋ ＝.