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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2-1.1.3四種命題 四種命題間的相互關(guān)系課后習(xí)題 新人教A版選修2-1
課時(shí)演練促提升
1.命題“若a>b,則a-1>b-1”的逆否命題是( )
A.若a-1≤b-1,則a≤b B.若a
b-1,則a>b D.若a≤b,則a-1≤b-1
解析:命題“若p,則q”的逆否命題為“若q,則p”,故選A.
答案:A
2.命題“正數(shù)a的平方根不等于0”是命題“若一個(gè)數(shù)a的平方根不等于0,則a是正數(shù)”的( )
A.逆命題 B.否命題 C.逆否命題 D.否定
解析:兩個(gè)命題的條件和結(jié)論互換,所以互為逆命題.
答案:A
3.一個(gè)命題與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中( )
A.真命題與假命題的個(gè)數(shù)相同
B.真命題的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)
C.真命題的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)
D.真命題的個(gè)數(shù)可能是奇數(shù),也可能是偶數(shù)
解析:因?yàn)樵}與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,所以真命題的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù).
答案:C
4.原命題:“a,b,c∈R,若a>b,則ac2>bc2”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題共有( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè)
解析:對(duì)原命題:當(dāng)c=0時(shí)ac2=bc2,故原命題為假命題.又逆命題為“a,b,c∈R,若ac2>bc2,則a>b”,由不等式性質(zhì),可得此命題為真命題.由命題的等價(jià)性知,原命題與逆否命題為假命題,逆命題和否命題為真命題.
答案:C
5.已知下列四個(gè)命題:
①“若xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題;
②“正方形是菱形”的否命題;
③“若m>2,則不等式x2-2x+m>0的解集為R”.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:對(duì)①,原命題是假命題,其逆否命題也是假命題;
對(duì)②,其否命題是:不是正方形的四邊形不是菱形,是假命題;
對(duì)③,不等式x2-2x+m>0的解集為R,需滿足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2滿足m>1.故只有③正確.故選B.
答案:B
6.“若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)為偶函數(shù),則φ=”的否命題是 .
答案:若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)不是偶函數(shù),則φ≠
7.已知命題p:“若a>b,則+1”,則在p的逆命題、否命題、逆否命題中,假命題的個(gè)數(shù)為 .
解析:當(dāng)a>b時(shí),有,必有+1,故命題p是真命題,從而逆否命題也是真命題.又當(dāng)+1時(shí),不一定有a>b.例如,a=b=0,即p的逆命題是假命題,否命題也是假命題.
答案:2
8.在空間中,①若四點(diǎn)不共面,則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線;②若兩條直線沒有公共點(diǎn),則這兩條直線是異面直線.
以上兩個(gè)命題中,逆命題為真命題的是 .
解析:①中的逆命題是:若四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線,則這四點(diǎn)不共面.
我們用正方體ABCD-A1B1C1D1做模型來觀察:上底面A1B1C1D1的頂點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線,但A1,B1,C1,D1四點(diǎn)共面,所以①中的逆命題是假命題.
②中的逆命題是:若兩條直線是異面直線,則兩條直線沒有公共點(diǎn).
由異面直線的定義可知,成異面直線的兩條直線不會(huì)有公共點(diǎn).
所以②中的逆命題是真命題.
答案:②
9.判斷命題“已知a,x為實(shí)數(shù),若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集,則a<2”的逆否命題的真假.
解法一:原命題的逆否命題為:“已知a,x為實(shí)數(shù),若a≥2,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
判斷真假如下:
拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2開口向上,判別式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
∵a≥2,∴4a-7>0,即拋物線與x軸有交點(diǎn).
∴關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,故原命題的逆否命題為真命題.
解法二:先判斷原命題的真假:
∵a,x為實(shí)數(shù),關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集,
∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,∴a<<2.
∴原命題為真命題.
由原命題和它的逆否命題等價(jià),知它的逆否命題為真命題.
10.寫出命題“如果|x-2|+(y-1)2=0,則x=2且y=1”的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假.
解:逆命題:如果x=2且y=1,則|x-2|+(y-1)2=0;真命題.
否命題:如果|x-2|+(y-1)2≠0,則x≠2或y≠1;真命題.
逆否命題:如果x≠2或y≠1,則|x-2|+(y-1)2≠0;真命題.
B組
1.給出命題:若函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象不過第四象限.在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:由已知原命題為真命題,則逆否命題為真命題.逆命題為“若函數(shù)y=f(x)的圖象不過第四象限,則函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)”,為假命題,如f(x)=3x2.故否命題也為假命題.
答案:C
2.若命題p的逆命題是q,命題p的逆否命題是r,則q是r的( )
A.逆命題 B.否命題
C.逆否命題 D.以上都不正確
解析:設(shè)命題p為“若m,則n”,則命題q為“若n,則m”,命題r為“若??n,則??m”,所以q是r的否命題.
答案:B
3.已知命題“若160,β>60,γ>60,則α+β+γ>180.
而三角形的內(nèi)角和為180,所以α,β,γ不是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角.
這表明,原命題的逆否命題為真命題,從而原命題也為真命題.
5.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷其真假.
(1)矩形的對(duì)角線相等且互相平分;
(2)正偶數(shù)不是質(zhì)數(shù).
解:(1)逆命題:若一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等且互相平分,則它是矩形,真命題.
否命題:若一個(gè)四邊形不是矩形,則它的對(duì)角線不相等或不互相平分,真命題.
逆否命題:若一個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等或不互相平分,則它不是矩形,真命題.
(2)逆命題:若一個(gè)正數(shù)不是質(zhì)數(shù),則這個(gè)數(shù)是偶數(shù),假命題.
否命題:若一個(gè)正數(shù)不是偶數(shù),則這個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù),假命題.
逆否命題:若一個(gè)正數(shù)是質(zhì)數(shù),則這個(gè)數(shù)不是偶數(shù),假命題.
6.已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),a,b∈R,對(duì)命題“若a+b≥0,則f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)寫出其逆命題,判斷其真假,并證明你的結(jié)論;
(2)寫出其逆否命題,判斷其真假,并證明你的結(jié)論.
解:(1)逆命題:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),
則a+b≥0,真命題.
用反證法證明:假設(shè)a+b<0,則a<-b,b<-a.
∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),
∴f(a)
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