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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第八講運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略 第五節(jié)推理證明與算法初步 文 推理證明與算法初步是我們高考關(guān)注的幾個(gè)新課標(biāo)中重點(diǎn)話題，主要涉及到合情推理和演繹推理，直接證明和間接證明，以及算法初步中的框圖知識(shí)和算法案例等. 題型可能是選擇題、填空題，主要考查類(lèi)比或歸納推理、循環(huán)結(jié)構(gòu)為主的框圖等；也可能是解答題，結(jié)合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行命題的綜合試題.其中推理與證明部分常與數(shù)列、不等到式問(wèn)題綜合，難度一般在之間. 考試要求 （1）合情推理與演繹推理① 了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用;② 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理;③ 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異;（2）直接證明與間接證明① 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn);② 了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；（3）了解算法的含義；理解程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)：順序、選擇、循環(huán)；理解幾種基本算法語(yǔ)句. 題型一：合情推理 例1（1）若?ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長(zhǎng)為a、b、c，則?ABC的面積S＝r (a+b+c) 類(lèi)比到空間，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為S1、S2 、S3 、S4，則四面體的體積＝ ． （2）在古臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形, 則第個(gè)三角形數(shù)為( ). A. B. C. D. 點(diǎn)撥：（1）類(lèi)比推理是指兩類(lèi)對(duì)象具有一些類(lèi)似特征，由其中一類(lèi)的某些已知特征推出另一類(lèi)對(duì)象的某些特征；（2）這是一種歸納推理方法，要善于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)字間的特征才能找到規(guī)律，得到一般形式. 解：（1）比較兩個(gè)對(duì)象，三邊對(duì)四面，面積對(duì)體積，內(nèi)切圓對(duì)內(nèi)切球，三邊長(zhǎng)對(duì)四個(gè)面的面積，由S＝r (a+b+c)等式兩邊的量，類(lèi)比對(duì)應(yīng)到體積、系數(shù)、半徑R、面積S1＋S2＋S3＋S4.答：R(S1＋S2＋S3＋S4). （2）在給出的一三角形數(shù)中，其中第一個(gè)三角形數(shù)1，第二個(gè)三角形數(shù)3=1+2，第三個(gè)三角形數(shù)6=1+2=3,第四個(gè)三角形數(shù)10=1+2+3+4，第五個(gè)三角形數(shù)15=1+2+3+4+5，故推測(cè)出的一般結(jié)論是：第個(gè)三角形數(shù)為 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）類(lèi)似特征不明確，類(lèi)比結(jié)論錯(cuò)誤；（2）不善于尋找數(shù)字間的 D O 圖 規(guī)律，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤. 變式與引申1：（1） 在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1， 則；類(lèi)比此性質(zhì)，如圖，在四 面體P—ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底 面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為 ； （2）(xx江西文數(shù))觀察下列各式：則，…，則的末兩位數(shù)字為（ ） A.01 B.43 C.07 D.49 題型二：演繹推理 例2如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，. 求證：（1）∥； （2）. 點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)的證明主要是通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行的，證明線面平行時(shí)一定要注意注明直線在平面內(nèi)及直線在平面外這兩個(gè)條件. 解：證明：（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，，所以∥； （2）因?yàn)橹比庵?，所以? ，又，所以， 又，所以. 易錯(cuò)點(diǎn)：三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、 結(jié)論三部分，在書(shū)寫(xiě)證明的過(guò)程中，很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)跳步現(xiàn)象， 邏輯關(guān)系不清楚是常見(jiàn)的錯(cuò)誤. 變式與引申2：（1）已知①正方形的對(duì)角相等；②平行四邊形的對(duì)角相等； ③正方形是平行四邊形．根據(jù)三段論推理得到一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論的序號(hào)是 . A B C D E F 圖 （2）如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn). (Ⅰ)求證：AF∥平面BCE； (Ⅱ)求證：平面BCE⊥平面CDE. 題型三：直接證明 例3 已知求證： 點(diǎn)撥：綜合法著力分析已知和求證之間的差異和聯(lián)系，并合理運(yùn)用已知 條件進(jìn)行有效的變換是證明的關(guān)鍵，綜合法可以使證明過(guò)程表述簡(jiǎn)潔， 但必須首先考慮從哪開(kāi)始，這一點(diǎn)比較困難，分析法就可以幫助我們克服這一點(diǎn)，運(yùn)用分析法比較容易探求解題的途徑，但過(guò)程不及綜合法簡(jiǎn)單，所以應(yīng)把它們結(jié)合起來(lái). 證法1：（綜合法） ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 即 證法2：（分析法） 要證，只要證 即證 ，即證 即 由 得， 所以原不等式成立 易錯(cuò)點(diǎn)： （1）用綜合法證明時(shí)難找到突破口，解題受阻；（2）分析法是尋找使不等式成立的充分條件，最后要充分說(shuō)明推出的結(jié)論為什么成立. 變式與引申3：設(shè) (），比較、、的大小，并證明你的結(jié)論. 題型四：間接證明 例4：已知函數(shù)y=ax+(a＞1). （1）證明：函數(shù)f(x)在（-1,+∞)上為增函數(shù)； （2）用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 點(diǎn)撥：用反證法證明把握三點(diǎn)（1）必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；（2）必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證，（3）導(dǎo)致的矛盾可能多種多樣，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的. 證明 （1）任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1, ∴a＞1且a＞0, ∴a-a=a (a-1)＞0. 又∵x1+1＞0,x2+1＞0, ∴-==＞0, 于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0, 故函數(shù)f(x)在(-1,+∞）上為增函數(shù). （2）方法一 假設(shè)存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0, 則a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1, ∴0＜-＜1,得＜x0＜2，與假設(shè)x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 方法二 假設(shè)存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，則＜-2,a＜1, ∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾. ②若x0＜-1,則＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾， 故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）不是把求證結(jié)論的反面作為條件證題（2）不寫(xiě)明與什么相矛盾. 變式與引申4：證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 題型五： 算法初步 例5 若程序框圖如圖輸出的 S 是 126，則①應(yīng)為（ ） A．n≤5? B．n≤6? C．n≤7? D．n≤8? 點(diǎn)撥 由知，在第次循環(huán)時(shí)，， 由題意只需找到滿足方程的的值. 再結(jié)合語(yǔ)句推出判斷框①. 解析 因，則當(dāng) n＝7 時(shí)退出循環(huán)，所以 n≤6.故選 B. 易錯(cuò)點(diǎn) 不能準(zhǔn)確判斷循環(huán)終止的條件 變式與引申 5. 下面是一個(gè)用基本語(yǔ)句編寫(xiě)的程序如圖，閱讀后解決所給出的問(wèn)題： INPUT IF THEN ELSE END IF PRINT END （1）請(qǐng)說(shuō)明該算法程序的功能，并寫(xiě)出程序中的函數(shù)表達(dá)式； （2）將該程序語(yǔ)句轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的程序框圖. 本節(jié)主要考查：（1）知識(shí)點(diǎn)有：歸納推理、類(lèi)比推理兩種合情推理和演繹推理；直接證明與間接證明；算法的含義、幾種基本的算法語(yǔ)句、程序框圖． （2）推理滲透在每個(gè)高考試題中，證明是推理的一種形式，有的問(wèn)題需要很強(qiáng)的推理論證能力和技巧．推理問(wèn)題常常以探索性命題的方式出現(xiàn)在高考題中；（3）常見(jiàn)的論證方法有：綜合法、分析法及反證法等． 點(diǎn)評(píng)：（1）歸納猜想是一種重要的思維方法，是對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，然后提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，是由部分到整理，由個(gè)別到一般的推理；結(jié)果的正確性還需進(jìn)一步論證，一般地，考查的個(gè)體越多，歸納出的結(jié)論可靠性越大． （2）類(lèi)比的關(guān)健是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某些一致性確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚，在學(xué)習(xí)中要注意通過(guò)類(lèi)比去發(fā)現(xiàn)探索新問(wèn)題． （3）綜合法的特點(diǎn)是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實(shí)際上是尋找使問(wèn)題成立的必要條件，是一個(gè)由因?qū)Ч倪^(guò)程；分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”逐步靠攏“已知”，即尋找使問(wèn)題成立的充分條件，是一個(gè)執(zhí)果索因的過(guò)程． （4）一般來(lái)說(shuō)：分析法有兩種證明途徑：①由命題結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件，逐步推導(dǎo)下去；②由命題結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充要條件，逐步推導(dǎo)下去． （5）反證法在高考中的要求不高，但這種“正難則反”的思維方式值得重視，解決問(wèn)題時(shí)要注意從多方面考慮，提高解決問(wèn)題的靈活性． （6）算法是指解決某類(lèi)問(wèn)題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，且在有限步內(nèi)完成．算法過(guò)程要簡(jiǎn)練，每一步執(zhí)行的操作必須為下一步做準(zhǔn)備．程序框圖是由框圖和流程線組成的，是算法的一種表現(xiàn)形式．通常是先寫(xiě)出算法步驟，再轉(zhuǎn)化為程序框圖．算法初步在高考中的要求不高，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要通過(guò)對(duì)解決具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析，體會(huì)算法的基本思想. 習(xí)題8-5 1.（xx高考天津卷理）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的 程序，則輸出的值為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．將正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，…進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù) {1}；第二組含兩個(gè)數(shù){3，5}；第三組含三個(gè)數(shù){7，9，11}；第四組含 四個(gè)數(shù){13，15，17，19}；……記第n組內(nèi)各數(shù)之和為Sn，則Sn與n 的關(guān)系為 (　 　) A．Sn＝n2 B．Sn＝n3 C．Sn＝2n＋1 D．Sn＝3n－1 3．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為（），傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，，，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列三個(gè)接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有誤的是 （填序號(hào)）． 4. 已知函數(shù). （１）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）試證明：對(duì)任意，不等式恒成立． 圖 5.如圖所示，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N. （1）求證：CC1⊥MN； （2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DFEFcos∠DFE. 拓展到空間，類(lèi)比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè) 側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明. 6.已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線=1寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明. 【答案】 變式與引申1【解析】（1）； （2）答案：B 解析： 變式與引申2 【解析】 （1）演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、結(jié)論三部分．這里②③可推出①，其中②是大前提，③是小前題①是結(jié)論； 答：①； （2）19．方法一：（1）證：取的中點(diǎn)，連. ∵為的中點(diǎn)，∴且. ∵平面，平面， ∴，∴. 又，∴. ∴四邊形為平行四邊形，則. ∵平面，平面， ∴平面. （2）證：∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴ ∵平面，平面，∴. 又，故平面. ∵，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 方法二：設(shè)，建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則. ∵為的中點(diǎn)，∴. （1）證：， ∵，平面，∴平面. （2）證：∵， ∴，∴. ∴平面，又平面， ∴平面平面. 變式與引申3 【解析】∵ 又∵ ∴<< 變式與引申4證明：假設(shè)方程在區(qū)間上至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、,即. 不妨設(shè),由于函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù),故,這與矛盾, 所以方程在區(qū)間上至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. 5. 解：（1）由算法程序可知，該算法程序的功能是計(jì)算分段函數(shù) 的函數(shù)值. （2）程序框圖如圖： 習(xí)題8-5 1 . B； 2 .B； 3. 【解析】新背景下的信息轉(zhuǎn)換問(wèn)題，需要認(rèn)真分析對(duì)應(yīng)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)關(guān)系下求出原象，如對(duì)于第一個(gè)接受信息，依據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，求得，同理求得，故（1）正確；對(duì)于（3），若原信息為011，則接收信應(yīng)為10110．答：（3）； 4. 【解析】解：(1)∵ 令得 顯然是上方程的解 令，，則 ∴函數(shù)在上單調(diào)遞增 ∴是方程的唯一解 ∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) ∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 (2)由（1）知當(dāng)時(shí)， ∴在上恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立 ∴對(duì)任意的恒有 ∵　　∴ 即對(duì)，不等式恒成立． 5【解析】（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1， ∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN. 又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN. （2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S－2SScos.其中為平面CC1B1B 與平面CC1A1A所成的二面角. ∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角為∠MNP. 在△PMN中， ∵PM2=PN2+MN2－2PNMNcos∠MNP ∴PM2CC=PN2CC+MN2CC-2（PNCC1）（MNCC1）cos∠MNP， 由于S=PNCC1，S=MNCC1， S=PMBB1=PMCC1，∴S=S+S－2SScos. 上， 所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.則kPMkPN ====(定值).