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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題突破訓(xùn)練 數(shù)列 理 一、選擇、填空題 1、（xx北京高考）設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是 A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則 2、（xx北京高考）若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)______時，的前項和最大. 3、（xx北京高考）若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝__________；前n項和Sn＝__________. 4、（朝陽區(qū)xx高三一模）設(shè)S n為等差數(shù)列的前n 項和。若，則通項公式＝＿＿＿＿。 5、（東城區(qū)xx高三二模）已知為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，若，則 （A） （B） （C） （D） 6、（豐臺區(qū)xx高三一模）在等比數(shù)列中，，，則公比等于 (A) -2 (B) 1或-2 (C) 1 (D)1或2 7、（海淀區(qū)xx高三二模）若等比數(shù)列滿足，，則公比_____； ． 8、（石景山區(qū)xx高三一模）等差數(shù)列中，，則該數(shù)列前項之和為（ ） A． B． C． D． 9、（西城區(qū)xx高三一模）若數(shù)列an滿足a1 = －2，且對于任意的m, nN＊，都有 , 則= 　　　；數(shù)列{ an } 前10 項的和S10 = 　　　　. 10、（大興區(qū)xx高三上學(xué)期期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則的前項和_____． 11、（豐臺區(qū)xx高三上學(xué)期期末）等差數(shù)列的前n項和為，如果，，那么等于_____ 12、（北京四中xx高三上學(xué)期期中）在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項和＝ . 13、（東城區(qū)示范校xx高三上學(xué)期綜合能力測試）數(shù)列的前項和記為，若，，則數(shù)列的通項公式為_______________ 14、（東城區(qū)xx高三4月綜合練習(xí)（一））設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差 ． 15、（）已知是等差數(shù)列，那么=______；的最大值為______ 二、解答題 1、（xx北京高考）已知數(shù)列滿足：， ，且． 記集合． （Ⅰ）若，寫出集合的所有元素； （Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)； （Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值． 2、（xx北京高考）對于數(shù)對序列，記， ，其中 表示和兩個數(shù)中最大的數(shù)， （1） 對于數(shù)對序列，求的值. （2） 記為四個數(shù)中最小值，對于由兩個數(shù)對組成的數(shù)對序列和，試分別對和的兩種情況比較和的大小. （3）在由5個數(shù)對組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列使最小，并寫出的值.（只需寫出結(jié)論）. 3、（xx北京高考）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an＋1，an＋2，…的最小值記為Bn，dn＝An－Bn. (1)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，an＋4＝an)，寫出d1，d2，d3，d4的值； (2)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列； (3)證明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，…)，則{an}的項只能是1或者2，且有無窮多項為1. 4、（朝陽區(qū)xx高三一模）若數(shù)列 中不超過 f (m)的項數(shù)恰為b m (m∈N * )，則稱數(shù)列是數(shù)列 的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù) f (m)是生成 的控制函數(shù)。設(shè) f (m) = m2。 （1）若數(shù)列單調(diào)遞增，且所有項都是自然數(shù)， b1 =1，求a1； （2）若數(shù)列單調(diào)遞增，且所有項都是自然數(shù)， a 1= b1 ，求a1 ； （3）若an = 2 n (n =1 ，2 ，3 ) ，是否存在 生成 的控制函數(shù) g(n) = pn2 + qn + r （其中常數(shù)p，q，r∈Z），使得數(shù)列也是數(shù)列{ } m b 的生成數(shù)列？若存在，求出 g (n)；若不存在，說明理 5、（東城區(qū)xx高三二模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，設(shè)，． (Ⅰ)求證：數(shù)列是等比數(shù)列； (Ⅱ)若，，求實數(shù)的最小值； （Ⅲ）當(dāng)時，給出一個新數(shù)列，其中設(shè)這個新數(shù)列的前 項和為，若可以寫成 (且)的形式，則稱為“指數(shù)型和”．問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由． 6、（房山區(qū)xx高三一模）下表給出一個“等差數(shù)陣”： 4 7 （ ） （ ） （ ） … … 7 12 （ ） （ ） （ ） … … （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … … （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （I）寫出的值； （II）寫出的計算公式； （III）證明：正整數(shù)在該等差數(shù)陣中的充要條件是可以分解成兩個不是的正整數(shù)之積.. 7、（豐臺區(qū)xx高三一模）如果數(shù)列：，，…，，且，滿足：①，； ②，那么稱數(shù)列為“Ω”數(shù)列． （Ⅰ）已知數(shù)列：-2，1，3，-1；數(shù)列：0，1，0，-1，1．試判斷數(shù)列，是否為“Ω”數(shù)列； （Ⅱ）是否存在一個等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列？請證明你的結(jié)論； （Ⅲ）如果數(shù)列是“Ω”數(shù)列，求證：數(shù)列中必定存在若干項之和為0． 8、（海淀區(qū)xx高三二模）對于數(shù)列，經(jīng)過變換交換中某相鄰兩段的位置（數(shù)列中的一項或連續(xù)的幾項稱為一段），得到數(shù)列.例如，數(shù)列 （，） 經(jīng)交換兩段位置，變換為數(shù)列 . 設(shè)是有窮數(shù)列，令. （Ⅰ）如果數(shù)列為，且為. 寫出數(shù)列；（寫出一個即可） （Ⅱ）如果數(shù)列為，為，為，為.寫出數(shù)列；（寫出一組即可） （Ⅲ）如果數(shù)列為等差數(shù)列：，為等差數(shù)列：，求的最小值. 9、（石景山區(qū)xx高三一模）設(shè)數(shù)列滿足： ①； ②所有項； ③． 設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3． (Ⅰ)若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列； (Ⅱ)設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項之和； (Ⅲ)若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列 的前項和． 10、（西城區(qū)xx高三一模）已知點列 (k∈N*，k≥2)滿足P 1（1，1），中有且只有一個成立． ⑴寫出滿足k = 4且P 4（1，1）的所有點列； ⑵證明：對于任意給定的k (k∈N*，k≥2)，不存在點列T ，使得； ⑶當(dāng)k = 2n ?1且 時，求 的最大值． 11、（朝陽區(qū)xx高三上學(xué)期期末）若有窮數(shù)列，，（是正整數(shù)）滿足條件：，則稱其為“對稱數(shù)列”．例如，和都是“對稱數(shù)列”． （Ⅰ）若是25項的“對稱數(shù)列”，且，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．求的所有項和； （Ⅱ）若是50項的“對稱數(shù)列”，且，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．求的前項和，. 12、（東城區(qū)xx高三上學(xué)期期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列是公比為等比數(shù)列，且． （Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和． 13、（北京四中xx高三上學(xué)期期中）已知數(shù)列滿足：，.數(shù)列的前項和為，. （Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式； （Ⅱ）設(shè)，.求數(shù)列的前項和. 14、（東城區(qū)示范校xx高三上學(xué)期綜合能力測試）給定正奇數(shù)，數(shù)列：是1，2，…，的一個排列，定義E（，…，）為數(shù)列：，，…，的位差和。 （I）當(dāng)時，求數(shù)列：1，3，4，2，5的位差和； （II）若位差和E（，，…，）=4，求滿足條件的數(shù)列：，，…，的個數(shù)； （III）若位差和，求滿足條件的數(shù)列：的個數(shù)。 15、（北京市朝陽區(qū)xx高三第二次綜合練習(xí)）已知數(shù)列，是正整數(shù)1，2，3，，n的一個全排列．若對每個都有或3，則稱為H數(shù)列． （Ⅰ）寫出滿足的所有H數(shù)列； （Ⅱ）寫出一個滿足的數(shù)列的通項公式； （Ⅲ）在H數(shù)列中，記．若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，求證：或． 參考答案 一、選擇、填空題 1、C 解析： 2、 由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，于是有，，故．故，，為的前 項和中的最大值 3、答案：2　2n＋1－2 解析：由題意知. 由a2＋a4＝a2(1＋q2)＝a1q(1＋q2)＝20， ∴a1＝2.∴Sn＝＝2n＋1－2. 4、答案： 5、B　 6、B　　7、2， 　8、C　 9、答案：－8，682 10、　　11、15　　12、88　　　13、　 14、－1　　15、 二、解答題 1、解析:（Ⅰ），，． （Ⅱ）因為集合存在一個元素是的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是的倍數(shù)． 由 可歸納證明對任意，是的倍數(shù)． 如果，則的所有元素都是的倍數(shù)． 如果，因為或，所以是的倍數(shù)，于是是的倍數(shù)．類似可得，都是的倍數(shù)．從而對任意，是的倍數(shù)．因此集合的所有元素都是的倍數(shù)． 綜上，若集合存在一個元素是的倍數(shù)，則集合的所有元素都是的倍數(shù)． （Ⅲ）由，可歸納證明． 因為是正整數(shù)， 所以是的倍數(shù)． 從而當(dāng)時，是的倍數(shù)． 如果是的倍數(shù)，由（Ⅱ）知對所有正整數(shù)，是的倍數(shù)． 因此當(dāng)時，．這時的元素的個數(shù)不超過． 如果不是的倍數(shù)，由（Ⅱ）知對所有正整數(shù)，不是的倍數(shù)． 因此當(dāng)時，．這時的元素的個數(shù)不超過． 當(dāng)時，共個元素．綜上可知，集合元素個數(shù)的最大值為． 2、⑴,; ⑵當(dāng)時： ，； ，； 因為是中最小的數(shù)，所以，從而； 當(dāng)時， ，； ，； 因為是中最小的數(shù)，所以，從而。 綜上，這兩種情況下都有。 ⑶數(shù)列序列，，，，的的值最??； ，，，，. 3、解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3. (2)(充分性)因為{an}是公差為d的等差數(shù)列，且d≥0， 所以a1≤a2≤…≤an≤…. 因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，…)． (必要性)因為dn＝－d≤0(n＝1,2,3，…)， 所以An＝Bn＋dn≤Bn. 又因為an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1. 于是，An＝an，Bn＝an＋1， 因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d， 即{an}是公差為d的等差數(shù)列． (3)因為a1＝2，d1＝1， 所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1. 故對任意n≥1，an≥B1＝1. 假設(shè){an}(n≥2)中存在大于2的項． 設(shè)m為滿足am＞2的最小正整數(shù)， 則m≥2，并且對任意1≤k＜m，ak≤2. 又因為a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2. 于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，與dm－1＝1矛盾． 所以對于任意n≥1，有an≤2，即非負(fù)整數(shù)列{an}的各項只能為1或2. 因為對任意n≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2. 故Bn＝An－dn＝2－1＝1. 因此對于任意正整數(shù)n，存在m滿足m＞n，且am＝1，即數(shù)列{an}有無窮多項為1. 4、 5、解：(Ⅰ) 因為，，且， 所以是首項為，公比為等比數(shù)列． 所以． ………4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得， ． 因為， 所以，且． 所以的最小值為． ………9分 （Ⅲ）由(Ⅰ)當(dāng)時， 當(dāng)時，，， 所以對正整數(shù)都有． 由，，(且)，只能是不小于3的奇數(shù)． ① 當(dāng)為偶數(shù)時，， 因為和都是大于1的正整數(shù)， 所以存在正整數(shù)，使得，， ,，所以且， 相應(yīng)的，即有，為“指數(shù)型和”； ② 當(dāng)為奇數(shù)時，， 由于是 個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)， 所以 不成立， 此時沒有“指數(shù)型和”． ………14分 6、（I）解：a45=49. ………………3分 （II）解：該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列：a1j=4+3（j－1），第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列：a2j=7+5（j－1）， …… 第i行是首項為4+3（i－1），公差為2i+1的等差數(shù)列， 因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j. ………………7分 （III）證明：必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i、j使得N=i（2j+1）+j， 從而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1）， 即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積. 充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1）， 從而N=k（2l+1）+l=akl， 可見N在該等差數(shù)陣中. 綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積 ………………13分 7、解：（Ⅰ）數(shù)列不是“Ω”數(shù)列；數(shù)列是“Ω”數(shù)列． ……………………2分 （Ⅱ）不存在一個等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列． 證明：假設(shè)存在等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列， 則由 得，與矛盾， 所以假設(shè)不成立，即不存在等差數(shù)列為“Ω”數(shù)列． ……………………7分 （Ⅲ）將數(shù)列按以下方法重新排列： 設(shè)為重新排列后所得數(shù)列的前n項和（且）， 任取大于0的一項作為第一項，則滿足， 假設(shè)當(dāng)時， 若，則任取大于0的一項作為第n項，可以保證， 若，則剩下的項必有0或與異號的一項，否則總和不是1， 所以取0或與異號的一項作為第n項，可以保證． 如果按上述排列后存在成立，那么命題得證； 否則，，…，這m個整數(shù)只能取值區(qū)間內(nèi)的非0整數(shù)， 因為區(qū)間內(nèi)的非0整數(shù)至多m-1個，所以必存在， 那么從第項到第項之和為，命題得證． 綜上所述，數(shù)列中必存在若干項之和為0． ……………………13分 8、解：（Ⅰ）或. ………………2分 . （Ⅱ）； ………………4分 . ………………6分 （Ⅲ）考慮數(shù)列，滿足的數(shù)對的個數(shù)，我們稱之為“順序數(shù)”．則等差數(shù)列：的順序數(shù)為，等差數(shù)列：的順序數(shù)為． 首先，證明對于一個數(shù)列，經(jīng)過變換，數(shù)列的順序數(shù)至多增加2．實際上，考慮對數(shù)列，交換其相鄰兩段和的位置，變換為數(shù)列. 顯然至多有三個數(shù)對位置變化．假設(shè)三個數(shù)對的元素都改變順序，使得相應(yīng)的順序數(shù)增加，即由變?yōu)椋? 分別將三個不等式相加得與，矛盾． 所以 經(jīng)過變換，數(shù)列的順序數(shù)至多增加2． 其次，第一次和最后一次變換，順序數(shù)均改變1．設(shè)的最小值為，則 ，即． ………………10分 最后，說明可以按下列步驟，使得數(shù)列為． 對數(shù)列， 第1次交換和位置上的兩段，得到數(shù)列： ； 第2次交換和位置上的兩段，得到數(shù)列： ； 第3次交換和位置上的兩段，得到數(shù)列： ； ，以此類推 第次交換和位置上的兩段，得到數(shù)列： ； 最終再交換和位置上的兩段，即得：． 所以 的最小值為1008. ………………13分 9、（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由，得 當(dāng)時， ……………………4分 當(dāng)時， ……………………5分 當(dāng)時， ……………………6分 當(dāng)時， ……………………7分 ∴ ……………………8分 （III）∵ ∴ 當(dāng)時， ∴ ……………………9分 由得： 因為使得成立的的最大值為， 所以 當(dāng)時： ……………………11分 當(dāng)時： ……………………12分 所以 ……………………13分 10、 11、（Ⅰ）依題意，，…，. 則，，…，. 則 ……………..6分 （Ⅱ）依題意，，因為是50項的“對稱數(shù)列”，所以 …， 所以當(dāng)時，； 當(dāng)時，， . 綜上， ……………..13分 12、 13、解: （Ⅰ）由得，又，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，于是，. 當(dāng)時， 當(dāng)時，， ， 又時，所以，. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以. 所以 ………(1) 等式兩邊同乘以得 ………(2) (1)-(2)得 所以. 14、解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分） （II）若數(shù)列：，，…，的位差和E（，，…，）=4，有如下兩種情況： 情況一：當(dāng)，，，，且，其他項（其中）時，有種可能；（5分） 情況二：當(dāng)分別等于，，或，，或，，其他項（其中）時，有種可能；（7分） 綜上，滿足條件的數(shù)列：的個數(shù)為 。（8分） 例如：時， 情況一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3種：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4； 情況二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3種：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3； 形如2，3，1，4，5，共有5-2=3種：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有5-2=3種：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。 （III）將去絕對值符號后，所得結(jié)果為 112233… 的形式，其中恰好有個數(shù)前面為減號，這表明 ，（10分） 此不等式成立是因為前面為減號的個數(shù)最小為：2個1，2個2，…，2個和1個。（11分） 上面的討論表明，題中所求的數(shù)列是使得E（）最大的數(shù)列，這樣的數(shù)列在時，要求從1，2，…，中任選一個數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的個數(shù)的排列作為…，的對應(yīng)值，較小的個數(shù)的排列作為，，…，的對應(yīng)值，于是所求數(shù)列的個數(shù)為。 綜上，滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為（14分） 例如：時， E（）。 此不等式成立是因為前面為減號的5個數(shù)最小為：2個1，2個2和1個3。 若E（）=12，，此時時，要求從1，2，3，4，5中任選一個數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的2個數(shù)的排列作為，的對應(yīng)值，較小的2個數(shù)的排列作為的對應(yīng)值，于是所求數(shù)列的個數(shù)為。 4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2； 4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1； 4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1； 3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1； 3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。 題目背景：假設(shè)現(xiàn)在有種物品，已經(jīng)按照某種標(biāo)準(zhǔn)排列，并依次確定編號為1，2，…，，鑒別師事先不知道物品的標(biāo)準(zhǔn)排列編號，而是根據(jù)自己的判斷，對這種物品進(jìn)行排列依次編號為，其中是1，2，…，的一個排列，那么可以用數(shù)列：的位差和 E（）=， 來評判鑒別師的能力。 當(dāng)E（）越小，說明鑒別師能力越強(qiáng)；反之越大，說明鑒別師能力越弱； 當(dāng)E（）=0，說明鑒別師給出的排列編號與標(biāo)準(zhǔn)排列編號一致，判斷完全正確； 第二問，位差和E（）=4時，給出數(shù)列：的情況； 第三問，說明位差和E（）最大值為，且給出取得最大值時，數(shù)列：的情況。 15、解：（Ⅰ）滿足條件的數(shù)列有兩個：． （Ⅱ）由（1）知數(shù)列滿足，把各項分別加后，所得各數(shù)依次排在后，因為，所得數(shù)列顯然滿足或，，即得數(shù)列．其中，．如此下去即可得到一個滿足的數(shù)列為： （其中） （寫出此通項也可以（其中）） （Ⅲ）由題意知，，且． 有解： ①，，，則，這與 是矛盾的． ②時，與①類似可得不成立． ③時，，則不可能成立． ④時， 若或，則或． 若或，則，類似于③可知不成立． ④時， 若同號，則，由上面的討論可知不可能； 若或，則或； ⑤時， 若異號，則，不行； 若同號，則，同樣由前面的討論可知與矛盾． 綜上，只能為或，且（2）中的數(shù)列是的情形，將（2）中的數(shù)列倒過來就是，所以為或．