《2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專(zhuān)題講座 第三講數(shù)列與不等式 第一節(jié)數(shù)列及其應(yīng)用 文.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專(zhuān)題講座 第三講數(shù)列與不等式 第一節(jié)數(shù)列及其應(yīng)用 文.doc（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專(zhuān)題講座 第三講數(shù)列與不等式 第一節(jié)數(shù)列及其應(yīng)用 文 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題,對(duì)等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前項(xiàng)和公式,對(duì)增長(zhǎng)率、分期付款等數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對(duì)數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求（1）數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）.②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù).（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.?、?能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.?、?了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例1．已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且、、2成等差數(shù)列，求 ; 【點(diǎn)撥】依據(jù)等差中項(xiàng)的概念先求等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值. 【解】依題意可得：，即，則有可得，解得或（舍） 所以; 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細(xì)的現(xiàn)象；（2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（3）對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計(jì)算等量，一旦計(jì)算量大一點(diǎn)，解題受阻. 變式與引申1：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差 . （1）求的值; （2）當(dāng)為最小時(shí)，求的值. 題型二：數(shù)列的通項(xiàng)與求和 例2．（xx年全國(guó)卷理科第17題）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （Ⅱ）設(shè) 求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【點(diǎn)撥】（1）等比數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個(gè)基本量,再進(jìn)一步求通項(xiàng).（2）分組求和、倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等是常用的求和方法，這里利用（1）的結(jié)論以及的關(guān)系求的通項(xiàng)公式，根據(jù)裂項(xiàng)相消求數(shù)列前 項(xiàng)和 . 【解】 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得所以。有條件可知a>0,故。 由得，所以。故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=。 （Ⅱ） 故 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）沒(méi)有注意條件a>0，公比計(jì)算錯(cuò)；（2）在求的通項(xiàng)公式時(shí)，遺漏了負(fù)號(hào)；不會(huì)將化為. 變式與引申2已知是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，并且=1，對(duì)任意正整數(shù)n，；設(shè)）. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)的前n項(xiàng)和，求. 3. 等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （2）當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和. 題型三：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例3. 為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng). (1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； (2)求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)； (3)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【點(diǎn)撥】（1）頻率分布直方圖是解決問(wèn)題的關(guān)健；（2）已知前兩項(xiàng)的頻數(shù)，前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，可求，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng)，，的前六項(xiàng)和可求，得，（3）求得、后，根據(jù)題設(shè)條件，按遞推公式求通項(xiàng)公式方法求出. 【解】(1)由題意知 因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng).公比為3的等比數(shù)列，所以 ，又=100—(1+3+9)， 所以=87,解得 因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng),公差為—5的等差數(shù)列, 所以 (2) 求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)為 (3) 由① 可知，當(dāng)時(shí)，② ①－②得，當(dāng)時(shí)， , , 又因此數(shù)列是一個(gè)從第2項(xiàng)開(kāi)始的公比為3的等比數(shù)列, 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）不理解的意義，解題找不到切入點(diǎn)；（2）計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)忽略“全校100名學(xué)生”這個(gè)重要的已知條件，導(dǎo)致前兩問(wèn)的結(jié)果都不正確；（3）求出、后，由題設(shè)條件不能正確地找出求的方法；（4）計(jì)算由①式變?yōu)棰谑綍r(shí)，缺少這個(gè)條件. 變式與引申4： 某地為了防止水土流失，植樹(shù)造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示： xx年 xx年 xx年 新植畝數(shù) 1000 1400 1800 沙地畝數(shù) 25200 24000 22400 而一旦植完，則不會(huì)被沙化． 問(wèn)：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少； （2）到那一年可綠化完全部荒沙地. 題型四：數(shù)列綜合題 例4根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）寫(xiě)出，由此猜想出數(shù)列； 的一個(gè)通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論; （3）求． 【點(diǎn)撥】（1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物，因?yàn)槌绦蚩驁D中循環(huán)，與數(shù)列的各項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視；（2）由循環(huán)體寫(xiě)出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決問(wèn)題 的關(guān)??；（3）掌握錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和及數(shù)列求和的一般方法. 【解】（1）由框圖，知數(shù)列中 ∴ （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想 證明：由框圖，知數(shù)列{yn}中，， ， ∴數(shù)列{yn+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， （3） =13+332+…+（2n－1）3n－[1+3+…+（2n－1）] 記Sn=13+332+…+（2n－1）3n，① 則3Sn=132+333+…+（2n－1）3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+232+233+…+23n－（2n－1）3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）3n+1 = ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴. 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）根據(jù)框圖不能正確寫(xiě)出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（2）對(duì)數(shù)列求和的方法及每種方法所適合的題型認(rèn)識(shí)不清，盲目求和；（3）對(duì)指數(shù)運(yùn)算不夠熟悉，導(dǎo)致利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出的結(jié)果不正確. 變式與引申5：已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…. （1）令求證數(shù)列是等比數(shù)列; （2）求數(shù)列的通項(xiàng)； ⑶ 設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說(shuō)明理由. 本節(jié)主要考查：（1）數(shù)列的有關(guān)概念，遞推公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、判定方法、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，數(shù)列求和及數(shù)列的應(yīng)用（2）數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，所以數(shù)列常與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率及算法等知識(shí)點(diǎn)交融命題，解決數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和、證明不等關(guān)系等問(wèn)題（3）簡(jiǎn)單的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法，分組求和、倒序相加、裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減等數(shù)列求和方法（4）著重考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等重要的數(shù)學(xué)思想. 點(diǎn)評(píng)：（1）“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題中非常重要，樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意解題的目標(biāo)； （2）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見(jiàn)的題型，要切實(shí)注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化.如：， =等； （3）等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類(lèi)考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，充分理解公式的變式及適用范圍，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題； （4）求和問(wèn)題也是常見(jiàn)的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，如公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等； （5）在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類(lèi)知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)， 進(jìn)一步培養(yǎng)閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力； （6）解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解． 習(xí)題3－1 1．（xx安徽文數(shù)）.若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則 （A） 15 (B) 12 (C ) (D) 2．等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若=，則=_________． 3．?dāng)?shù)列中，，（是不為零的常數(shù)，），且成等比數(shù)列． （1）求的值； （2）求的通項(xiàng)公式； （3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和． 5．已知數(shù)列滿(mǎn)足且 （1）求的表達(dá)式； （2）求； 【答案】 變式與引申1【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)適合拋物線有以下特點(diǎn)①開(kāi)口向上，②過(guò)原點(diǎn)，③對(duì)稱(chēng)軸，（1）由對(duì)稱(chēng)性可知，另一交點(diǎn)為，表明.（2）當(dāng)為最小時(shí)，. 變式與引申2 【解析】（1） 兩式相減： 是以2為公比的等比數(shù)列， （2） 而 3.解 （1）因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得, 當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),, 又因?yàn)閧}為等比數(shù)列, 所以, 公比為, 所以 （2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則 相減,得= 所以 變式與引申4 變式與引申5解：（1）由已知得 又 是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列. （2）由（I）知， 將以上各式相加得： （3）存在，使數(shù)列是等差數(shù)列. 數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù) 即 又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列. 習(xí)題3－1 1. 【答案】A 【解析】法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論； 法二：，故.故選A. 2. 【答案】； 【解析】==． 3. 【解析】（1），，， 因?yàn)?，，成等比?shù)列， 所以， 解得或． ∵c≠0，∴． （2）當(dāng)時(shí)，由于 ，，， 所以． 又，，故．當(dāng)時(shí)，上式也成立， 所以． （3）令 ……① ……② ①-②得： 4. 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）嘗試求出通項(xiàng)的表達(dá)式，然后再求和． 【解】（Ⅰ）設(shè)，由得點(diǎn)處切線方程為 由得。 （Ⅱ），得， ①—②，得