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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《直線的方程》說課稿及教案 新人教A版 一.教學(xué)目標(biāo) （1）掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線方程的點(diǎn)斜式.兩點(diǎn)式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程． （2）理解直線方程幾種形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，能在整體上把握直線的方程． （3）掌握直線方程各種形式之間的互化． （4）通過直線方程一般式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生全面.系統(tǒng).周密地分析.討論問題的能力． 培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、周密地分析、討論問題的能力． （5）通過直線方程特殊式與一般式轉(zhuǎn)化的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn)． （6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解直線斜率的意義和解析幾何的思想方法． 二.教材分析 1.知識結(jié)構(gòu) 由直線方程的概念和直線斜率的概念導(dǎo)出直線方程的點(diǎn)斜式；由直線方程的點(diǎn)斜式分別導(dǎo)出直線方程的斜截式和兩點(diǎn)式；再由兩點(diǎn)式導(dǎo)出截距式；最后都可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為直線的一般式；同時一般式也可以轉(zhuǎn)化成特殊式． 2.重點(diǎn).難點(diǎn) 　 ①本節(jié)的重點(diǎn)是直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，以及根據(jù)具體條件求出直線的方程． 　　解析幾何有兩項(xiàng)根本性的任務(wù)：一個是求曲線的方程；另一個就是用方程研究曲線．本節(jié)內(nèi)容就是求直線的方程，因此是非常重要的內(nèi)容，它對以后學(xué)習(xí)用方程討論直線起著直接的作用，同時也對曲線方程的學(xué)習(xí)起著重要的作用． 　　直線的點(diǎn)斜式方程是平面解析幾何中所求出的第一個方程，是后面幾種特殊形式的源頭．學(xué)生對點(diǎn)斜式學(xué)習(xí)的效果將直接影響后繼知識的學(xué)習(xí)． 　 ②本節(jié)的難點(diǎn)是直線方程特殊形式的限制條件，直線方程的整體結(jié)構(gòu)，直線與二元一次方程的關(guān)系證明． 3.教學(xué)內(nèi)容 3.1認(rèn)知理解 （1）點(diǎn)斜式：它建立點(diǎn)斜式方程的依據(jù)是：直線上任一點(diǎn)與這條直線上一個定點(diǎn)的連線的斜率相等，故有,此式是不含點(diǎn)的兩條反向射線的方程，必須化為才是整條直線的方程.當(dāng)直線的斜率不存在時，不能用點(diǎn)斜式表示，此時方程為. （2）斜截式：它可以看作點(diǎn)斜式的特殊情況，表示過，斜率為的直線，即，其特征是方程等號的一端只是一個，其系數(shù)是1，等號的一端是的一次式，而不一定是的一次函數(shù)，如是直線的斜截式方程，而不是直線的斜截式方程，斜截式方程形式上的最大特點(diǎn)是“斜率，縱截距讓人一目了然”，便于以后判斷函數(shù)單調(diào)性和易畫直線圖象. （3）兩點(diǎn)式：使用的條件是，即平行于坐標(biāo)軸的直線不適合. （4）截距式：它是過（）兩點(diǎn)的兩點(diǎn)式，用截距式最便于作圖，要注意截距是實(shí)數(shù)而不是長度，當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)闀r，直線不能用截距式表示. （5）一般式：（其中.不同時為0）它表示在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線.所有直線都適用.一般不用，主要是為了以后討論兩直線位置關(guān)系及線性規(guī)劃作準(zhǔn)備.若沒有特殊的說明，答案結(jié)果要化為一般式. （6）參數(shù)式： （Ⅰ）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，是它的一個方向向量，則直線的參數(shù)方程為： （Ⅱ）已知直線的傾斜角為，則直線的方向向量，則直線的參數(shù)方程為： 3.2解題技巧 （1）直線方程的幾種特殊形式都有其使用的局限性，如對于點(diǎn)斜式和斜截式要求直線的斜率存在，因此，如果選用它們時，應(yīng)考慮斜率不存在的情況，對于兩點(diǎn)式它不能表示平行或重合于坐標(biāo)軸的直線外，還不能表示過原點(diǎn)的直線.那么，如何根據(jù)題設(shè)條件，靈活選用直線方程的形式來表示直線方程呢？另外，從所求的結(jié)論來看，若求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積或周長，則應(yīng)選用截距式較為方便. （2）待定系數(shù)法是求直線方程最基本.最常用的方法，但要注意選擇形式，一般地，已知一點(diǎn)就待定斜率，但應(yīng)注意斜率不存在時的情形，如果已知斜率，一般選擇斜截式，待定縱截距.如果已知直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的問題就選擇截距式，待定橫截距和縱截距，一般來說，幾個系數(shù)待定就應(yīng)列出幾個方程. 3.3知識拓展： （1）恒過定點(diǎn)問題：在點(diǎn)斜式方程中，若點(diǎn)固定，而斜率可變動，方程可表示除直線（斜率不存在）外的其它一切過點(diǎn)的直線，這些直線構(gòu)成的集合我們稱為共點(diǎn)直線系.由共點(diǎn)直線系知，對于含參數(shù)的直線方程，隨著參數(shù)的變化，故直線所過的定點(diǎn)必是直線的交點(diǎn)，故將參數(shù)賦值，求出交點(diǎn)，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，這是一種解題思路，此外，既然直線所過的交點(diǎn)與參數(shù)的取值無關(guān)，故可考慮將方程以參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行整理整理，利用恒等式，求出定點(diǎn)，這又是一種思路. （2）平行直線束問題：在斜截式方程中，若一定，而可變動，方程表示斜率為的一束平行線，這些直線構(gòu)成的集合我們稱之為平行直線束. 三.教法建議 ?。?）教材中求直線方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程幾何特征明顯，但局限性強(qiáng)；一般形式的方程無任何限制，但幾何特征不明顯．教學(xué)中各部分知識之間過渡要自然流暢，不生硬． ?。?）直線方程的一般式反映了直線方程各種形式之間的統(tǒng)一性，教學(xué)中應(yīng)充分揭示直線方程本質(zhì)屬性，建立二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線方程”打下基礎(chǔ)． 　　直線一般式方程都是字母系數(shù)，在揭示這一概念深刻內(nèi)涵時，還需要進(jìn)行正反兩方面的分析論證．教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)分析思路，還應(yīng)抓住這一有利時使學(xué)生學(xué)會嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的分類討論方法，從而培養(yǎng)學(xué)生全面.系統(tǒng).辯證.周密地分析.討論問題的能力，特別是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，同時培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn). 　 （3）在強(qiáng)調(diào)幾種形式互化時要向?qū)W生充分揭示各種形式的特點(diǎn)，它們的幾何特征，參數(shù)的意義等，使學(xué)生明白為什么要轉(zhuǎn)化，并加深對各種形式的理解． 　 （4）教學(xué)中要使學(xué)生明白兩個獨(dú)立條件確定一條直線，如兩個點(diǎn).一個點(diǎn)和一個方向或其他兩個獨(dú)立條件．兩點(diǎn)確定一條直線，這是學(xué)生很早就接觸的幾何公理，然而在解析幾何，平面向量等理論中，直線或向量的方向是極其重要的要素，解析幾何中刻畫直線方向的量化形式就是斜率．因此，直線方程的兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式在直線方程的幾種形式中占有很重要的地位，而已知兩點(diǎn)可以求得斜率，所以點(diǎn)斜式又可推出兩點(diǎn)式（斜截式和截距式僅是它們的特例），因此點(diǎn)斜式最重要．教學(xué)中應(yīng)突出點(diǎn)斜式.兩點(diǎn)式和一般式三個教學(xué)高潮． 　　求直線方程需要兩個獨(dú)立的條件，要依不同的幾何條件選用不同形式的方程．根據(jù)兩個條件運(yùn)用待定系數(shù)法和方程思想求直線方程． ?。?）注意正確理解截距的概念，截距不是距離，截距是直線（也是曲線）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)，它是有向線段的數(shù)量，因而是一個實(shí)數(shù)；距離是線段的長度，是一個正實(shí)數(shù)（或非負(fù)實(shí)數(shù)）． 　（6）本節(jié)中有不少與函數(shù).不等式.三角函數(shù)有關(guān)的問題，是函數(shù).不等式.三角與直線的重要知識交匯點(diǎn)之一，教學(xué)中要適當(dāng)選擇一些有關(guān)的問題指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力． 　 （7）直線方程的理論在其他學(xué)科和生產(chǎn)生活實(shí)際中有大量的應(yīng)用．教學(xué)中注意聯(lián)系實(shí)際和其它學(xué)科，教師要注意引導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和能力． （8）本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能更好地掌握，而不是僅停留在觀念上．建議新授課三課時，作業(yè)練習(xí)冊試卷評講三課時.共計(jì)六課時． 四.典型例題 例1：直線 過點(diǎn) ，傾斜角的正弦是，求直線的方程． 　　分析：根據(jù)傾斜角的正弦求出傾斜角的正切，注意有兩解． 　　說明：此題是直接考查直線的點(diǎn)斜式方程，在計(jì)算中，要注意當(dāng)不能判斷傾斜角的正切時，要保留斜率的兩個值，從而滿足條件的解有兩個． 例2：求經(jīng)過兩點(diǎn) 和的直線方程． 　　分析：本題有兩種解法，一是利用直線的兩點(diǎn)式；二是利用直線的點(diǎn)斜式．在解答中如果選用點(diǎn)斜式，只涉及到與2的分類；如果選用兩點(diǎn)式，還要涉及 與3的分類．法一：利用直線的兩點(diǎn)式方程　　法二：利用直線的點(diǎn)斜式方程．說明：本題的目的在于使學(xué)生理解點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式的限制條件，并體會分類討論的思想方法． 　　 例3：把直線方程化成斜截式_________，化成截距式__________． 　　說明：此題考查的是直線方程的兩種特殊形式：斜截式和截距式． 例4：過點(diǎn)作直線，使它被兩相交直線 和 所截得的線段恰好被點(diǎn)平分，求直線的方程． 例5：一根鐵棒在20時，長10.4025米，在40時，長10.4050米，已知長度l和溫度t的關(guān)系可以用直線方程來表示，試求出這個方程，并且根據(jù)這個方程，求這跟鐵棒在25時的長度． 說明：直線方程在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛．常與均值不等式聯(lián)用． 　　 例6：已知 ，其中 、是實(shí)常數(shù)，求證：直線 必過一定點(diǎn)． 　　 分析：觀察條件與直線方程的相似之處，可把條件變形為，可知，即為方程的一組解，所以直線過定點(diǎn)（6，4）．此問題屬于直線系過定點(diǎn)問題，此類問題的徹底解決宜待學(xué)完兩直線位置之后較好，當(dāng)然現(xiàn)在也可以研究，并且也有一般方法． 例7：直線 過點(diǎn)，且分別交軸.軸的正半軸于點(diǎn)、．點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求當(dāng)△面積最小時直線的方程；（2）當(dāng) 最小時，求直線的方程． 說明：此題用截距式表示較為簡單，與不等式、三角聯(lián)系緊密，解法很多，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，綜合能力和靈活處理問題能力．常用幾何畫板演示動態(tài)過程，較為形象直觀．