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2019-2020年高三數學上學期期末考試試題分類匯編 導數及其應用 理 一、選擇、填空題 1、（潮州市xx高三上期末）已知函數的導數的最大值為5，則在函數圖象上的點（1，f（1））處的切線方程是 A、3x－15y＋4＝0　　B、15x－3y－2＝0　 C、15x－3y＋2＝0　　D、3x－y＋1＝0　 2、（佛山市xx高三教學質量檢測（一））已知是函數的一個極大值點，則的一個單調遞減區(qū)間是（ ） A． 　 B． 　　　 C． 　 D． 3、（廣州市xx高三1月模擬考試）已知為R上的連續(xù)可導函數，且，則函數的零點個數為__________ 4、（惠州市xx高三第三次調研考試）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為 ． 5、（揭陽市xx高三上期末）若函數存在唯一的零點，則實數a的取值范圍為 （A） （B） （C） （D） 6、（汕頭市xx高三上期末）若過點A(2，m)可作函數對應曲線的三條切線，則實數m的取值范圍（ ） A． B． C． D． 7、（韶關市xx高三1月調研）已知定義在上的函數滿足：函數的圖象關于直線對稱，且當(是函數的導函數)成立, 若，，,則的大小關系是( ） A． B． C． D． 8、（韶關市xx高三1月調研）已知函數的圖像在點處的切線方程是，是函數的導函數，則 . 12、（肇慶市xx高三第二次統(tǒng)測（期末）） 13、（珠海市xx高三上期末） 14、（湛江市xx普通高考測試（一）） 答案： 1、B　　2、B　　3、0　　 4、　【解析】函數和函數互為反函數圖像關于對稱，則只有直線與直線垂直時才能取得最小值。設，則點到直線的距離為，令，則， 令得；令得， 則在上單調遞減，在上單調遞增。 則時，所以。 則。（備注：也可以用平行于的切線求最值） 5、D 【解析】函數存在唯一的零點，即方程有唯一的實根直線與函數的圖象有唯一的交點，由，可得在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，有極小值，，故當時，直線與函數的圖象有唯一的交點. 或因由得或，若顯然存在唯一的零點，若，在和上單調遞減，在上單調遞增，且故存在唯一的零點，若，要使存在唯一的零點，則有解得，綜上得. 6、C　　7、A　　8、　 二、解答題 1、（潮州市xx高三上期末）已知函數。 （I）若在＝1處取得極值，求實數的值； （II）若≥5－3恒成立，求實數的取值范圍； 2、（東莞市xx高三上期末）已知函數。 （I）設，若函數在區(qū)間（0,2）內有且僅有一個極值點，求實數m的取值范圍； （II）設，若函數存在兩個零點，且滿足，問：函數在處的切線能否平行于直線＝1，若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由。 3、（佛山市xx高三教學質量檢測（一））設常數，，． （1）當時，若的最小值為，求的值； （2）對于任意給定的正實數、，證明：存在實數，當時，． 4、（廣州市xx高三1月模擬考試）已知函數（為自然對數的底數，為常數）在點處的切線斜率為. （Ⅰ）求的值及函數的極值； （Ⅱ）證明：當時，； （III）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有. 5、（惠州市xx高三第三次調研考試）已知函數． （Ⅰ）求函數的單調區(qū)間； （Ⅱ）若存在，使得（是自然對數的底數）， 求實數的取值范圍。 6、（揭陽市xx高三上期末）已知函數，曲線在點處的切線方程為 （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍。 7、（茂名市xx高三第一次高考模擬考試）已知定義在R上的偶函數，當時，. （1）當時，求過原點與函數圖像相切的直線的方程; （2）求最大的整數，使得存在，只要，就有. 8、（清遠市xx高三上期末）設， （1） 當=1時，求曲線在點處的切線方程； （2） 若是函數的極大值點，求的取值范圍； （3） 當時，在上是否存在一點，使成立？說明理由。 9、（汕頭市xx高三上期末）已知函數． （Ⅰ）若函數在[，e]上單調遞減，求實數的取值范圍； （Ⅱ）當時，求在[1，2]上的最大值和最小值．(注意:) 10、（汕尾市xx高三上期末）已知函數 f (1)討論函數 f (x)的單調性； （2）若對任意的a [1,2)，都存在 (0,1]使得不等式成立， 求實數m 的取值范圍. 11、（韶關市xx高三1月調研）已知函數，. （Ⅰ）函數與的圖象無公共點，試求實數的取值范圍； （Ⅱ）是否存在實數，使得對任意的，都有函數的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數的值；若不存在，請說理由. （參考數據：，,,）. 12、（肇慶市xx高三第二次統(tǒng)測（期末））已知函數，. （Ⅰ）求函數的單調區(qū)間； （Ⅱ）若在區(qū)間[1，e]（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍. 13、（珠海市xx高三上期末）已知函數.（1）求函數的單調區(qū)間； （2）若方程存在兩個不同的實數解、，求證：. 解答題參考答案 1、解：（Ⅰ）∵， ∴．………………………………….….. 1分 由題意得，即，解得．…………….. 2分 經檢驗，當時，函數在取得極大值．……….. 3分 ∴.………………………………………………………..……….4分 （Ⅱ）設，則函數的定義域為． ∴當時，恒成立． 于是，故．………….…………………….……5分 ∵． ∴方程有一負根和一正根，．其中不在函數定義域內． 當時，，函數單調遞減． 當時，，函數單調遞增． ∴在定義域上的最小值為．……………………………………….……7分 依題意．即．又， 于是，又，所以． ∴，即，…………..……9分 令，則． 當時，，所以是增函數． 又，所以的解集為．…... 11分 又函數在上單調遞增， ∴． 故的取值范圍是．……………………………….……………………12分 解法二：由于的定義域為， 于是可化為．……………………..……5分 設．則． 設，則． 當時，，所以在減函數． 又， ∴當時，，即當時，， ∴在上是減函數． ∴當時，.………….……..…8分 當時，先證， 設，， 是增函數且，，即， 當時， …..11分 綜上所述的最大值為2． ∴的取值范圍是．………………………………………….………12分 2、 3、【解析】………………1分 將代入得,………………3分 由,得,且當時,,遞減；………………4分 時,,遞增；故當時,取極小值, 因此最小值為,令,解得.………………6分 (Ⅱ)因為,………………7分 記,故只需證明:存在實數,當時,, [方法1] ,………………8分 設,,則 易知當時,,故 ………………10分 又由解得:,即 取,則當時, 恒有. 即當時, 恒有成立.………………12分 [方法2] 由,得:,………………8分 故是區(qū)間上的增函數.令,,, 則,因為,………………10分 故有 令,解得: , 設是滿足上述條件的最小正整數,取,則當時, 恒有, 即成立.………………12分 4、 5、解：（Ⅰ）．……………………（1分） 因為當時，，在上是增函數， 因為當時，，在上也是增函數， 所以當或，總有在上是增函數，……………………………（2分） 又，所以的解集為，的解集為，……（3分） 故函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為．……………………（4分） （Ⅱ）因為存在，使得成立， 而當時，， 所以只要即可．………………………………………（5分） 又因為，，的變化情況如下表所示： 減函數 極小值 增函數 因為， 令，因為， 所以在上是增函數． 而，故當時，，即； 當時，，即．………………………………（9分） 所以，當時，，即， 函數在上是增函數，解得；…………………（10分） 當時，，即， 函數在上是減函數，解得．………………（11分） 綜上可知，所求的取值范圍為．……………………… (12分) 6、解：（I）∵且直線的斜率為0，又過點， ∴-------------------------------------------------------------------2分 即解得-----------------------------------------------------3分 （II）當時，不等式 ----------------5分 令，----------------7分 令， ①當即時，在單調遞增且，所以當時，，在單調遞增，即恒成立．------------9分 ②當即時，在上上單調遞減，且，故當時，即 所以函數在單調遞減，----------------------------------------------10分 當時，與題設矛盾, 綜上可得的取值范圍為------------------------------------------------12分 7、解：（1） 解法1：因為為偶函數，當時，， ……1分 ， ……2分 設切點坐標為，則切線斜率為 切線方程為 ……3分 又切線過（0，0），所以 ……4分 ，切線方程為 ，即 ……5分 解法2：當時， ，， 了 ……1分 記過原點與相切的直線為L，設切點坐標為， 則切線L斜率為 切線方程為 ……2分 又切線過（0，0），所以 ……3分 ，切線方程為 ， ……4分 為偶函數，圖像關于y軸對稱， ∴當時，設過原點與相切的直線方程為 即 ……5分 （2）因為任意，都有，故x=1時， 當時，，從而，∴ 當時，，從而， ∴ ，綜上 ， ……………6分 又整數，即，故，故x=m時， 得：， 即存在，滿足 ……………7分 ∴ ，即， ……………8分 令，，則 當時，，單調遞減； 當時，，單調遞增， ……………9分 又，，， 由此可見，方程在區(qū)間上有唯一解， 且當時，當時， ，故，此時. ……………10分 下面證明：對任意恒成立， ①當時，即，等價于， ，∴， ……………11分 ②當時，即，等價于 令，則，在上遞減，在上遞增， ∴，而， 綜上所述，對任意恒成立。 ……………12分 8、解：（1）當時，,,……………1分 所以曲線在點處的切線的斜率為.…2分 所求切線方程為, 即.………3分 （2）, 令得，，,………4分 ①當即時， 隨的變化情況如下表： 遞減 極小值 遞增 由表知是函數的極小值點，不合題意； ②當即時，隨的變化情況如下表： 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 由表知是函數的極小值點，不合題意； ③當即時，隨的變化情況如下表： 遞增 非極值 遞增 遞增 非極值 遞增 由表知不是函數的極值點，不合題意； ④當即時， 隨的變化情況如下表： 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 由表知是函數的極大值點，適合題意；………7分 綜上所述，當時，是函數的極大值點．即所求取值范圍是.…8分 （3）假設當時，在存在一點，使成立， 則只需證明時, 即可． ………9分 由（2）知，當時， 函數在上遞減，在上遞增， ． 所以只需證明或即可. ………10分 ∵ 由知， ∴ 即成立，所以假設正確，………11分 即當時，在上至少存在一點，使成立．………12分 9、解（Ⅰ）在[，e]上單調遞減， 在[，e]上恒成立………………………1分 方法一： 在[，e]上恒成立………2分 令令則 ; 1 / - 0 + / 極小值2 ………4分 ……………6分 方法二：（可做如下分類討論） （1）當時，結論顯然成立………………………2分 （2）當時，可化為：對任意 [，e]上恒成立………3分 顯然，當時， 對鉤函數在上是減函數，在上是增函數。…………4分 所以要使得在 [，e]上恒成立，只需或.………5分 綜上： （Ⅱ） 令則. ①.在[1，2]上單調遞減. ………………8分 ② ………………9分 ………………11分 綜上所述: （1） （2） ……12分 10、 11、解：（Ⅰ）函數與無公共點，等價于方程在無解.…2分 令，則令得 ＋ 0 － 增 極大值 減 因為是唯一的極大值點，故……………………………………4分 故要使方程在無解，當且僅當 故實數的取值范圍為…………………………………………………………6分 （Ⅱ）假設存在實數滿足題意，則不等式對恒成立. 即對恒成立.……………………………………………6分 令，則， 令，則，………………………………………7分 因為在上單調遞增，，，且的圖象在上連續(xù)，所以存在，使得，即，則，…………………………………………………………………………9分 所以當時，單調遞減；當時，單調遞增， 則取到最小值， 所以，即在區(qū)間內單調遞增.………………………………11分 ， 所以存在實數滿足題意，且最大整數的值為. …… ………12分 12、解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）. （1分） ①當，即時， 因為當時，；當時，； （2分） 所以在上單調遞減，在上單調遞增. （3分） ②當，即時， 因為當時，，故在上單調遞增. （4分） 綜上，當時，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為； 當時，函數的單調遞增區(qū)間為. （5分） （Ⅱ）在上存在一點，使得，即， （6分） 也就是在上存在一點，使得，即函數在上的最小值小于零. （7分） 由（Ⅰ）可知： ①當，即時， 在上單調遞減， 所以的最小值為，由，可得. 因為，所以； （8分） ②當，即時，在上單調遞增， 所以最小值為，由，可得； （9分） ③當，即時， 可得最小值為， （10分） 因為，所以， 故，此時，不成立. （11分） 綜上討論可得所求的范圍是：. （12分） 13、解：（1）函數的定義域為：…………1分 …………3分 當時，，的單調遞增區(qū)間為……4分 當時，當時，，的單調遞增區(qū)間為；……5分 當時，，的單調遞減區(qū)間為；……6分 當時，，為的極小值 （2） 方程存在兩個不同的實數解、， 因此必能不為單調函數， 所以，……7分 令，則的的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為,最小值 ∴, 令，， ∵ ……8分 ∴在上單調遞增，且，∴當時， ∵ ，∴， ……10分 ∵, ∴……11分 ∵ 的單調遞增區(qū)間為，、 ∴, ∴……12分