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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 數(shù)列 專題復(fù)習(xí)教案 蘇教版 【例1】在數(shù)列中，（），則﹦ ． 【分析】由得，∴是等差數(shù)列，∴． 【答案】． 【例2】數(shù)列滿足，，則 ． 【分析】∵，∴，，，， ，……．∴該數(shù)列周期為4．∴． 【答案】． 【例3】在等差數(shù)列中，若，則﹦ ． 【分析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴由得，． ∴． 【答案】8． 【例4】已知的前n項(xiàng)之和…﹦ ． 【分析】可求得． 則…﹦． 【答案】67． 【例5】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對(duì)任何等差數(shù)列及任何正整數(shù)恒成立，則的最大值是 ． 【分析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得． 設(shè)，則．又﹦，∴． 綜上的最大值是. 【答案】． 【例6】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，其中是常數(shù)． （1）求及； （2）若對(duì)于任意的，成等比數(shù)列，求的值． 解：（1）當(dāng)，， 當(dāng)時(shí)， 又當(dāng)時(shí)合上式，∴（）． （2）∵成等比數(shù)列，∴， 即， 整理得：對(duì)任意的都成立， ∴或． 【例7】數(shù)列中，（），數(shù)列滿足（）． （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說明理由． 解：（1）， 而（），∴（）． ∴數(shù)列是等差數(shù)列． （2）依題意有，而，∴． 函數(shù)在（3.5，）上為減函數(shù)，在（，3.5）上也為減函數(shù)． 故當(dāng)n＝4時(shí)，取最大值3，n＝3時(shí)，取最小值-1． 【例8】在等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足條件． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得． 又，∴．∴．∴． （2）由，得． ∴．① 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)且時(shí)，．② ①－②得， ∴． 綜上． 【例9】某個(gè)體戶，一月初向銀行貸款1萬元作為開店啟動(dòng)資金，每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需要交納所得稅為該月利潤(rùn)的10%，每月的生活費(fèi)開支為540元，余額作為資金全部投入下個(gè)月的經(jīng)營(yíng)，如此不斷繼續(xù)，問到這年年底該個(gè)體戶還貸款前尚余多少資金？若銀行貸款的年利息為5%，問該個(gè)體戶還清銀行貸款后還有多少資金？（參考數(shù)據(jù)：．結(jié)果精確到0.1元） 解：設(shè)第個(gè)月月底的余額為元，則， ，于是 ＝＝． 還清銀行貸款后剩余資金為． 答：到這年年底該個(gè)體戶還貸款前尚余資金元；還清銀行貸款后還有資金元． 【例10】已知分別以和為公差的等差數(shù)列和滿足，． （1）若=18，且存在正整數(shù)，使得，求證：； （2）若，且數(shù)列，，…，，，，…，的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （3）在（2）的條件下，令，，，且，問不等式≤ 是否對(duì)一切正整數(shù)恒成立？請(qǐng)說明理由． 解：（1）依題意，， 即， 即，等號(hào)成立的條件為，即． ，等號(hào)不成立，原命題成立． （2）由得，即， 即，得，，． 則，． （3）在（2）的條件下，，． 要使≤，即要滿足≤0． 當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)減；單調(diào)增． 當(dāng)正整數(shù)時(shí)，，，； 當(dāng)正整數(shù)時(shí)，，，； 當(dāng)正整數(shù)時(shí)，，，． 則不等式≤對(duì)一切的正整數(shù)恒成立． 同理，當(dāng)時(shí)，也有不等式≤對(duì)一切的正整數(shù)恒成立． 綜上所述，不等式≤對(duì)一切的正整數(shù)恒成立． 【練習(xí)1】在數(shù)列中，（），則其前8項(xiàng)的和= ． 【答案】． 【練習(xí)2】已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和＝　　　　　　?。? 【答案】1849． 【練習(xí)3】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則 ． 【答案】6． 【練習(xí)4】已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），第項(xiàng)滿足，則﹦ ． 【答案】7． 【練習(xí)5】已知數(shù)列中，（是與無關(guān)的實(shí)數(shù)常數(shù)），且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________． 【答案】． 【練習(xí)6】數(shù)列的前項(xiàng)和記為． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求． 解：（1）由可得， 兩式相減得． 又，∴．∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．∴． （2）設(shè)的公差為，由得，可得，∴． 故可設(shè)．又， 由題意可得，解得． ∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴ ． ∴． 【練習(xí)7】已知是公差為的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為,,． （1）求公差的值； （2）若，求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； （3）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍． 解：（1）∵，∴，解得． （2）∵，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為． ∴． ∵函數(shù)在和上分別是單調(diào)減函數(shù)， ∴，又當(dāng)時(shí)，． ∴數(shù)列中的最大項(xiàng)是，最小項(xiàng)是． （3）由得． 又函數(shù)在和上分別是單調(diào)減函數(shù)， 且時(shí)，；時(shí)，． ∵對(duì)任意的，都有，∴，∴． ∴的取值范圍是． 【練習(xí)8】等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列， ，且．（1）求與；（2）證明：． 解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，，． 依題意有．解得或(舍去) ． ∴． （2）∵， ∴ ． 【練習(xí)9】某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造需向銀行貸款，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（?。? 解：①甲方案獲利： （萬元），銀行貸款本息：（萬元），故甲方案純利：（萬元）． ②乙方案獲利： （萬元），銀行本息和： （萬元），故乙方案純利：（萬元）． 綜上可知，甲方案更好． 【練習(xí)10】設(shè)向量，函數(shù)在上的最小值與最大值的和為，又?jǐn)?shù)列滿足： （1）求證：； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，試問數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立？證明你的結(jié)論． 解：（1）∵在[0,1]上為增函數(shù)， ∴﹒ （2）∵， ∴﹒ 兩式相減得， ∴． 兩式相減得． 又，，∴ ． （3）由及當(dāng)時(shí)﹒ 又也滿足，∴存在使得對(duì)所有的成立．