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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.3 待定系數(shù)法（講）理 一、待定系數(shù)法： 待定系數(shù)法是根據(jù)已知條件，建立起給定的算式和所求的結(jié)果之間的恒等式，得到以需要待定的系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組，解方程或方程組得到待定的系數(shù)的一種數(shù)學(xué)方法． 待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解.例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解. 二、待定系數(shù)法解題的基本步驟： 使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是： 第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式； 第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程； 第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決. 本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，從以下四個(gè)方面總結(jié)高考中的待定系數(shù)法. 1．用待定系數(shù)法求曲線方程 確定曲線方程常用的方法有定義法、直接法、待定系數(shù)法等，當(dāng)已知曲線類型及曲線的幾何性質(zhì)時(shí)，往往利用待定系數(shù)法，通過設(shè)出方程形式，布列方程（組），使問題得到解決. 例1.【xx屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期末】已知圓與圓相切于原點(diǎn)，且過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． 【答案】 【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為 ∵可化簡為 ∴其圓心為，半徑為 ∵兩圓相切于原點(diǎn)，且圓過點(diǎn) ∴ 解得 ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 故答案為 例2.【xx屆山西省孝義市高三下學(xué)期名校最新高考模擬卷（一）】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且點(diǎn)到橢圓上任意一點(diǎn)的最大距離為3，橢圓的離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于、兩點(diǎn)，與橢圓相交于、，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由. 【答案】（1）；（2）. 解析：(1)設(shè)， 的坐標(biāo)分別為， ，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，解得， ，則，故橢圓的方程為. (2)假設(shè)存在斜率為的直線，那么可設(shè)為，則由(1)知， 的坐標(biāo)分別為， ，可得以線段為直徑的圓為，圓心到直線的距離，得， ， 聯(lián)立得，設(shè)， ， 則， 得， ， ， 解得，得.即存在符合條件的直線. 2．用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，在教材中有系統(tǒng)的介紹，通過練習(xí)應(yīng)學(xué)會(huì)“遷移”，靈活應(yīng)用于同類問題解答之中. 例3.【xx屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三】已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且點(diǎn)是其對(duì)稱中心，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函數(shù)f（x）過點(diǎn)（，2），（﹣，0）得： 解得： ∴f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）， ∴g（x）=2sin2x， 故答案為：A. 例4.【xx屆天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】若冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_________. 【答案】2 例5.設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且． （Ⅰ）的表達(dá)式； （Ⅱ）若直線把的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求的值． 【答案】（I）；（II）． 【解析】試題分析：（1）由已知設(shè)，由，求出 的值，由有兩個(gè)相等實(shí)根有，求出的值，得出的表達(dá)式；（2）由題意有，解方程求出 的值。 試題解析：（1）設(shè)，則． 由已知，得， ． ． 又方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ，即．故； （2）依題意，得， ， 整理，得，即， ． 例6.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式. (2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,求θ的最小值. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，取得最小值. 【解析】（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： 0 0 5 0 0 且函數(shù)表達(dá)式為. 3．用待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)式 等差數(shù)列、等比數(shù)列是高中階段重點(diǎn)研究的兩類數(shù)列，在高考題中，除設(shè)計(jì)直接考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的題目外，還常常命制通過轉(zhuǎn)化而成為我們熟悉數(shù)列的問題，而利用待定系數(shù)法往往可以實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化.利用待定系數(shù)法求數(shù)列的解析式，首先把某些已知條件轉(zhuǎn)化成我們熟知的簡單的數(shù)列的形式，比如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，用字母表示，然后根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，解出未知數(shù)，即可得結(jié)果． 例7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 由題意，得，解得，所以，所以…＋＝，故選C． 例8.在等比數(shù)列中，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，且為遞增數(shù)列，若，求證：． 【答案】（1）；（2）證明見解析. 【解析】 （1）∵， ∴， ∴． （2）由題意知， ∴， ∴． 4．用待定系數(shù)法求解的其它類型 例9. 若向量,是不共線的兩向量，且，（），則A，B，C三點(diǎn)共線的條件是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 例10.【xx高考新課標(biāo)2】設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________． 【答案】. 【解析】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以． 【反思提升】綜上所述，待定系數(shù)法實(shí)際就是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)建立數(shù)量關(guān)系，從而列出方程或方程組，解方程或方程組即可得待定的未知數(shù)．之后就只需根據(jù)題目給出的條件，解題即可．用待定系數(shù)法解題，思路較為清晰，操作比較方便，在諸如函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面向量等題目中都可以應(yīng)用．但是在解題過程中，待定系數(shù)法并不是最為簡單，最為合適的方法．解題時(shí)要根據(jù)具體的題目，選擇簡單又適合的方法．