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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第二篇 第2講 填空題的解法技巧 題型概述　 填空題是一種只要求寫出結(jié)論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點(diǎn)，突出考查準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力． 由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結(jié)果必須準(zhǔn)確、規(guī)范，因此得分率較低，解答填空題的第一要求是“準(zhǔn)”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，不可“小題大做”． 方法一　直接法 直接法就是直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識(shí)地采取靈活、簡捷的方法解決問題．直接法是求解填空題的基本方法． 例1　(1)(xx湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示 若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________． (2)(xx北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝________. 解析　(1)由題意知，將1～35號(hào)分成7組，每組5名運(yùn)動(dòng)員，落在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名． (2)由余弦定理： cos A＝＝＝，∴sin A＝， cos C＝＝＝，∴sin C＝， ∴＝＝1. 答案　(1)4　(2)1 思維升華　利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵． 跟蹤演練1　(1)(xx韶關(guān)聯(lián)考)已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1||PF2|的最大值是________． (2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的兩根tan α，tan β，且α，β∈(－，)，則α＋β＝________. 方法二　特例法 當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論．這樣可大大地簡化推理、論證的過程． 例2　(1)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝_____________________________________. (2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________. 解析　(1)把平行四邊形ABCD看成正方形， 則點(diǎn)P為對(duì)角線的交點(diǎn)，AC＝6，則＝18. (2)此題考查抽象函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性和對(duì)稱軸方程，條件多，將各種特殊條件結(jié)合的最有效方法是把抽象函數(shù)具體化．根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)取f(x)＝sinx， 再由圖象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－62)＋(22)＝－8. 答案　(1)18　(2)－8 思維升華　求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對(duì)于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解． 跟蹤演練2　(xx課標(biāo)全國Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________. 方法三　數(shù)形結(jié)合法 對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對(duì)圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形． 例3　(1)已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是________________________________________________________________________． (2)已知函數(shù)f(x)＝x|x－2|，則不等式f(－x)≤f(1)的解集為________． 解析　(1)畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方， ∴d＝()2＝()2＝2. 最大值為點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離的平方，∴d＝16. ∴取值范圍是[2,16]． (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，從而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集為[－1，＋∞)． 答案　(1)[2,16]　(2)[－1，＋∞) 思維升華　數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷得到問題的結(jié)論，充分應(yīng)用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合法是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要準(zhǔn)確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關(guān)系． 跟蹤演練3　(1)(xx山西大學(xué)附中月考)若方程x3－3x＝k有3個(gè)不等的實(shí)根，則常數(shù)k的取值范圍是_________________________________________________________． (2)(xx蘭州一中期中)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則函數(shù)y＝g(x)＝f(x)－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 方法四　構(gòu)造法 構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡化推理與計(jì)算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡捷的解決，它來源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問題快速解決． 例4　(1)如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于________． (2)，，(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系是________________． 解析　(1)如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對(duì)角線長即為球O的直徑，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的體積V＝＝π. (2)由于＝，＝，＝，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝. 而f′(x)＝()′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，因此有f(4)1)＝0.2，則P(－1<ξ<0)＝0.6； ⑤已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為＋＝2(n≠4)． 則正確命題的序號(hào)為________(寫出所有正確命題的序號(hào))． 知識(shí)方法總結(jié)　六招拿下填空題： (一)直接法　(二)特例法　(三)數(shù)形結(jié)合法　(四)構(gòu)造法 (五)歸納推理法　(六)正反互推法 填空題突破練 A組　專題通關(guān) 1．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，則x＝________，y＝________. 2．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的函數(shù)g(x)＝f(x)－m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 3．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)(x>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，…，則數(shù)列{xn}的前4項(xiàng)和為________． 4．(xx杭州外國語學(xué)校期中)設(shè)a＞0，在二項(xiàng)式(a－)10的展開式中，含x的項(xiàng)的系數(shù)與含x4的項(xiàng)的系數(shù)相等，則a的值為________． 5．已知P為拋物線y2＝4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是________． 6．已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，則a，b，c的大小關(guān)系為________． 7．觀察下列不等式： 1＋＜ 1＋＋＜ 1＋＋＋＜ …… 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_____________________________________________． 8．若函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對(duì)任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式exf(x)>ex＋1的解集是________． 9．(xx珠海模擬)已知函數(shù)f(x)＝()x－sin x，則f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 10．整數(shù)數(shù)列{an}滿足an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，若此數(shù)列的前800項(xiàng)的和是2 013，前813項(xiàng)的和是2 000，則其前2 014項(xiàng)的和為________． 11．設(shè)命題p：≤0，命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 12．(xx山東)執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的T的值為________. B組　能力提高 13．已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，則f()＝________. 14．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，若點(diǎn)N(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是________． 15．設(shè)函數(shù)f(x)＝則f[f(－1)]＝________.若函數(shù)g(x)＝f(x)－k存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 16．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a、b在α上的投影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)． 在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) 學(xué)生用書答案精析 第2講　填空題的解法技巧 跟蹤演練1　(1)8　(2)－π或 解析　(1)由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝4， ∴|PF1||PF2|≤()2＝8，(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)取等號(hào)) ∴|PF1||PF2|的最大值是8. (2)由已知可得tan α＋tan β＝－3a， tan αtan β＝3a＋1， tan(α＋β)＝＝＝1， 因?yàn)棣粒隆?－，)， 所以－π<α＋β<π， 所以α＋β＝－π或. 跟蹤演練2　1 解析　∵f(1)＝f(－1)， ∴l(xiāng)n(1＋)＋ln(－1＋)＝0， ∴l(xiāng)n a＝0，∴a＝1. 經(jīng)驗(yàn)證a＝1符合題意． 跟蹤演練3　(1)(－2,2)　(2)3 解析　(1)設(shè)f(x)＝x3－3x，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，當(dāng)x<－1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)－11時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，f(－1)＝2，f(1)＝－2，要有三個(gè)不等實(shí)根，則直線y＝k與y＝f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，∴－21)＝0.2， 可得P(ξ<－1)＝0.2， 所以P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝0.3，故錯(cuò)誤； ⑤根據(jù)驗(yàn)證可知得到一般性的等式是正確的． 填空題突破練 1．－1　－1 解析　由A＝B知需分多種情況進(jìn)行討論， 由lg(xy)有意義，則xy>0. 又0∈B＝A，則必有l(wèi)g(xy)＝0，即xy＝1. 此時(shí)，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}． ∴或解得x＝y(tǒng)＝1或x＝y(tǒng)＝－1.當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)， A＝B＝{0,1,1}與集合元素的互異性矛盾，應(yīng)舍去； 當(dāng)x＝y(tǒng)＝－1時(shí)， A＝B＝{0，－1,1}滿足題意，故x＝y(tǒng)＝－1. 2．(1,2] 解析　g(x)＝f(x)－m有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知m的取值范圍是(1,2]． 3．26 解析　令f(x)＝sin(x＋)＝0， 則x＋＝kπ(k∈N*)， ∴x＝3k－1(k∈N*)， ∴x1＋x2＋x3＋x4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 4．1 解析　Tk＋1＝C(－)ka10－k， 令k＝2時(shí)，x的系數(shù)為Ca8，令k＝8時(shí)，x4的系數(shù)為Ca2，∴Ca8＝Ca2，即a＝1，故答案為1. 5.－1 解析　點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離等于點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F(1,0)的距離．圓心坐標(biāo)是(0,4)，圓心到拋物線焦點(diǎn)的距離為，即圓上的點(diǎn)Q到拋物線焦點(diǎn)的距離的最小值是－1，這個(gè)值即為所求． 6．a(chǎn)＞b＞c 解析　令f(x)＝ln x－x，則f′(x)＝－1＝. 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0， 即函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù)． ∵1＞ ＞＞＞0， ∴a＞b＞c. 7．1＋＋＋＋＋< 8．{x|x>0} 解析　構(gòu)造函數(shù)g(x)＝exf(x)－ex－1，求導(dǎo)得到g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]． 由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)為R上的增函數(shù)．又g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，所以exf(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集為{x|x>0}． 9．2 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝()x－sin x，則 f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)y＝()x與函數(shù)y＝sin x在區(qū)間[0,2π]內(nèi)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出上述兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，兩函數(shù)在區(qū)間[0,2π]內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 10．987 解析　a3＝a2－a1，a4＝a3－a2，a5＝a4－a3，a6＝a5－a4，a7＝a6－a5，…，∴a1＝a7，a2＝a8，a3＝a9，a4＝a10，a5＝a11，…，{an}是以6為周期的數(shù)列，且有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，S800＝a1＋a2＝2 013，S813＝a1＋a2＋a3＝2 000，a3＝－13， ∴ ∴a2＝1 000，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2＋a3＝1 000＋(－13)＝987. 11．[0，) 解析　由≤0，得≤x<1； 由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，得a

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