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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 電子題庫 第1章1.2.2知能演練輕松闖關(guān) 蘇教版必修2 給出下列四個命題： ①在空間，若兩條直線不相交，則它們一定平行； ②平行于同一條直線的兩條直線平行； ③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交； ④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. 其中正確的是________(填序號)． 解析：①在空間，兩條直線不相交，可能平行，也可能異面，故①不正確； ②由公理4可知正確； ③不正確，一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它和另一條可能異面，也可能相交， ④由公理4可知正確． 答案：②④ 下列說法正確的有________．(寫出所有正確說法的編號) ①兩條異面直線指的是不同在一個平面內(nèi)的兩條直線； ②兩條異面直線指的是分別在某兩個平面內(nèi)的兩條直線； ③兩條異面直線指的是既不平行又不相交的兩條直線； ④兩條異面直線指的是平面內(nèi)的一條直線和平面外的一條直線． 解析：①只說明兩直線不同在一個平面內(nèi)，沒有說明平面的任意性；②把兩條直線放到特定的兩個平面內(nèi)，也不具有任意性；③從反面肯定了兩直線的異面；④中的兩條直線可能在同一平面內(nèi)．故填③. 答案：③ .如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分別是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線． (1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相同； (2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相反． 解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相同． (2)D1B1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相反． 答案：(1)∠D1B1C1　(2)∠B1D1A1 已知a，b，c是空間三條直線，則下列說法中正確的個數(shù)為________． ①若a⊥b，b⊥c，則a∥c； ②若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線； ③若a，b相交，b，c相交，則a，c也相交； ④若a，b共面，b，c共面，則a，c也共面． 解析：若a⊥b，b⊥c，則a，c共面(相交，平行)或異面，故①錯；若a，b異面，b，c異面，則a，c相交或平行或異面，故②錯；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交或平行或異面，故③錯；若a，b共面，b，c共面，則a，c共面或異面，故④錯．故填0. 答案：0 如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，若EF＝，則AD，BC所成角的大小為________． 解析：取AC的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G(圖略)，易知∠EGF＝90. 答案：90 [A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 下列說法中正確的是________(填序號)． ①兩直線無公共點，則兩直線平行；②兩直線若不是異面直線，則必相交或平行；③過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)的任一直線均構(gòu)成異面直線；④和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線． 解析：對于①，兩直線無公共點，可能平行，也可能異面；對于②，由兩直線的位置關(guān)系知其正確；對于③，過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)經(jīng)過線面交點的直線是相交直線而不是異面直線；對于④，和兩條異面直線都相交的兩直線可能是異面直線，也可能是相交直線． 答案：② 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別是AB、AC上的點，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是________． 解析：∵在△ABC中， AE∶EB＝AF∶FC， ∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1， ∴EF∥B1C1. 答案：平行 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與NB是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確結(jié)論的序號為________(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)． 解析：①錯誤，AM與CC1是異面直線． ②錯誤，取DD1中點P，則AP∥BN. ∵AP與AM相交， ∴AM與BN不平行． ③正確．④正確． 答案：③④ 正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則B1D與CC1所成角的正切值為________． 解析：如圖，B1D與CC1所成的角為∠BB1D. ∵△DBB1為直角三角形． ∴tan∠BB1D＝＝. 答案： 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱AA1，AB，CC1的中點．試判斷以下各對線段所在的直線的位置關(guān)系： (1)AB與DD1：________． (2)D1E與BC：________． (3)D1E與BG：________． (4)D1E與CF：________． 解析：(1)因為D1?面ABCD，D∈面ABCD，AB?面ABCD，D?AB，所以AB所在直線與DD1所在直線是異面直線，依據(jù)是異面直線的判定定理：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．(2)依據(jù)異面直線的判定定理，D1E的延長線與DA的延長線相交，交點不在BC所在直線上．(3)取D1D的中點M，連結(jié)MA，MG(圖略)，可證四邊形MABG為平行四邊形，所以MA∥GB，又D1E∥MA，所以由公理4知，D1E∥BG.(4)延長D1E，CF，與DA的延長線交于同一點． 答案：(1)異面直線　(2)異面直線　(3)平行直線 (4)相交直線 已知不共面直線a，b，c相交于點P，A∈a，D∈a，B∈b，E∈c. 求證：BD和AE是異面直線． 證明：假設(shè)BD與AE不是異面直線， 則BD與AE確定一個平面α， 則A，B，D，E∈α，則A，D確定的直線a?α. 又∵P∈a，∴P∈α. ∴P，E確定的直線c?α，P，B確定的直線b?α. ∴a，b，c共面，與已知a，b，c不共面矛盾， 所以BD 與AE是異面直線． (xx啟東中學(xué)質(zhì)檢)如圖，E、F分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A、C1C的中點． 求證：四邊形B1EDF是平行四邊形． 證明：如圖， 設(shè)Q是DD1的中點，連結(jié)EQ、QC1， ∵E是AA1的中點， ∴EQ A1D1， 又在矩形A1B1C1D1中， A1D1 B1C1， ∴EQ B1C1(平行公理)， ∴四邊形EQC1B1為平行四邊形， ∴B1E C1Q， 又∵Q、F是矩形DD1C1C的兩邊的中點， ∴QD C1F， ∴四邊形DQC1F為平行四邊形， ∴C1Q DF，又∵B1E C1Q，∴B1E DF， ∴四邊形B1EDF是平行四邊形． [B級　能力提升] 如圖所示的是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中， ①BM與ED是異面直線； ②CN與BE是異面直線； ③DM與BN垂直． 以上三個命題中，正確的是________(填序號)． 解析：在正方體中，直線間的關(guān)系比較清楚，所以可以把原圖還原為正方體，找出相應(yīng)直線間的關(guān)系． 答案：①③ (xx鎮(zhèn)江質(zhì)檢)空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點分別是P、Q、R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么異面直線AC和BD所成的角是________． 解析：如圖，∵PQ AC，QR BD，∴∠PQR為異面直線AC與BD所成的角，由勾股定理得∠PQR＝90. 答案：90 如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點． (1)若AC⊥BD，求證：EFGH為矩形； (2)若BD＝2，AC＝6，求EG2＋HF2； (3)若AC，BD成30角，AC＝6，BD＝4，求四邊形EFGH的面積． 解：(1)∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點， ∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD且EH＝FG＝， ∴四邊形EFGH為平行四邊形． 又∵AC⊥BD，HG∥AC， ∴EH⊥HG，∴四邊形EFGH為矩形． (2)由(1)知四邊形EFGH為平行四邊形， ∴EG2＋HF2＝2(EH2＋EF2)＝210＝20. (3)∵AC，BD成30角，EH＝BD＝2，HG＝AC＝3， ∴四邊形EFGH的面積為EHHGsin30＝3. (創(chuàng)新題)已知正方體ABCD－A1B1C1D1. (1)求A1B與B1D1所成的角； (2)求AC與BD1所成的角． 解：(1)如圖，連結(jié)BD，A1D，A1B. ∵ABCD－A1B1C1D1是正方體， ∴DD1 BB1， ∴四邊形DBB1D1為平行四邊形， ∴BD∥B1D1. ∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的對角線， ∴A1B＝BD＝A1D， 即△A1BD是正三角形， ∴∠A1BD＝60. ∵∠A1BD是銳角， ∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角， ∴A1B與B1D1所成的角為60. (2)取DD1的中點E，連結(jié)EO，EA，EC. ∵O為BD的中點，∴OE∥BD1. ∵∠EDA＝90＝∠EDC，AD＝DC， ∴△EDA≌△EDC，∴EA＝EC. 在等腰△EAC中，∵O是AC的中點， ∴EO⊥AC，∴∠EOA＝90. ∵∠EOA是異面直線AC與BD1所成角． ∴AC與BD1所成的角為90.