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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(VII) 本試卷共100分，考試時(shí)長120分鐘。 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1. 已知，則直線AB的斜率為（ ） A. 2 B. 1 C. D. 不存在 2. 圓心為且過點(diǎn)的圓的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直線與直線互相垂直，則（ ） A. －1 B. C. 1 D. 4 4. 已知表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ） A. 若∥，n∥，則m∥n B. 若m⊥，，則m⊥n C. 若m⊥，m⊥n，則n∥ D. 若m∥，m⊥n，則n⊥ 5. 雙曲線的實(shí)軸長是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的體積是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平面直角坐標(biāo)系中，M為不等式組，所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，則＝（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 過點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 10. 點(diǎn)P到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點(diǎn)A的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（ ） A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線的一支 D. 直線 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 11. 雙曲線的兩條漸近線的方程為__________。 12. 以等腰直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，若等腰直角三角形的直角邊長為1，則所得圓錐的側(cè)面積等于__________。 13. 已知，則__________。 14. 如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬________米。 15. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為直線上一點(diǎn)，△是底角為30的等腰三角形，則C的離心率為___________。 16. 如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E、F分別是棱BC，的中點(diǎn)，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若∥平面AEF，則線段長度的取值范圍是_________。 三、解答題（本大題共5小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17. （本小題滿分10分） 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且側(cè)面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)。 （Ⅰ）求證：CD∥平面PAB； （Ⅱ）求證：PE⊥AD。 18.（本小題滿分10分） 已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上。 （Ⅰ）求圓C的方程； （Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)（2，－2），且與圓C相交所得弦長為，求直線的方程。 19.（本小題滿分10分） 已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別為，且它的對角線的交點(diǎn)為，求這個(gè)平行四邊形其他兩邊所在直線的方程。 20.（本小題滿分11分） 如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，為PB的中點(diǎn)。 （Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）證明：在線段PC上存在點(diǎn)D，使得BD⊥AC，并求的值。 21.（本小題滿分11分） 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)。 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求△POQ的面積； （Ⅲ）在線段OF上是否存在點(diǎn)，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。 【試題答案】 一、選擇題 1. A 2. D 3. C 4. B 5. C 6. B 7. A 8. A 9. D 10. D 二、填空題 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答題 17. 解：（Ⅰ）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形， 所以CD∥AB。 2分 又因?yàn)槠矫鍼AB， 4分 且平面PAB， 所以CD∥平面PAB。 5分 （Ⅱ）因?yàn)镻A＝PB，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)， 所以PE⊥AB。 6分 因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD， 平面平面ABCD＝AB， 平面PAB， 8分 所以PE⊥平面ABCD。 9分 因?yàn)槠矫鍭BCD， 所以PE⊥AD。 10分 18. 解：（Ⅰ）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為， 依題意，有， 即，解得， 2分 所以， 4分 所以圓C的方程為。 5分 （Ⅱ）依題意，圓C的圓心到直線的距離為1， 所以直線符合題意。 6分 設(shè)直線方程為，即， 則，解得， 所以直線的方程為，即。 9分 綜上，直線的方程為或。 10分 19. 解：聯(lián)立兩條直線的方程，得到方程組 解此方程組，得 如圖，平行四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)是。 2分 設(shè)，由題意，點(diǎn)M（3，3）是線段AC的中點(diǎn)， 所以， 4分 解得。 5分 由已知，直線AD的斜率， 因?yàn)橹本€BC∥AD， 所以，直線BC的方程為， 即。 7分 由已知，直線AB的斜率為。 因?yàn)橹本€CD∥AB， 所以，直線CD的方程為， 即。 9分 因此，其他兩邊所在直線的方程是。 10分 20. 解：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABC，平面ABC， 所以PA⊥BC， 因?yàn)锽C⊥AB，， 所以BC⊥平面PAB， 又平面PAB， 所以AM⊥BC， 因?yàn)镻A＝AB，M為PB的中點(diǎn)， 所以AM⊥PB， 又， 所以AM⊥平面PBC。 3分 （Ⅱ）如圖，在平面ABC內(nèi)，作AZ∥BC，則兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，。 ， 設(shè)平面APC的法向量為，則 即 令，則， 所以。 5分 由（Ⅰ）可知為平面BPC的法向量， 設(shè)的夾角為，則， 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角的余弦值為。 7分 （Ⅱ）設(shè)是線段PC上一點(diǎn)，且， 即， 所以， 所以， 由，得。 9分 因?yàn)椋栽诰€段PC上存在點(diǎn)D，使得BD⊥AC， 此時(shí)，。 11分 21. 解：（Ⅰ）由已知，橢圓方程可設(shè)為。 1分 因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn)，且短軸長為2， 所以。 所求橢圓方程為。 3分 （Ⅱ）因?yàn)橹本€過橢圓右焦點(diǎn)，且斜率為1，所以直線的方程為。 4分 設(shè)。 由得，解得， 所以。 6分 （Ⅲ）假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形。因?yàn)橹本€與x軸不垂直，所以設(shè)直線的方程為。 由可得， 因?yàn)椋? 所以。 8分 設(shè)的中點(diǎn)為 所以， 因?yàn)橐訫P，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形， 所以MN⊥PQ，， 所以， 整理得， 。 所以， 10分 所以。 11分