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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)上冊單元測試《第1章 特殊的平行四邊形》 　 一、選擇題（請把答案填寫到下面指定位置，每小題3分，共36分） 1．矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)是（　?。? A．每一條對角線平分一組對角 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直 2．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若BD、AC的和為18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周長為13cm，那么BC的長是（　?。? A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm 3．在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=30，AC=cm，則AB邊上的中線長為（　?。? A．1cm B．1.5cm C．2cm D． cm 4．如圖，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周長為16，則AE的長是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 5．下列說法正確的是（　　） A．對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 C．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形 6．已知：如圖，在矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，垂足為E，∠BAE=30，那么△ECD的面積是（　?。? A． B． C． D． 7．用兩個全等的直角三角形拼成下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形．則一定可以拼成的圖形是（　　） A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 8．如圖為菱形ABCD與△ABE的重疊情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，則DE的長度為何？（　?。? A．8 B．9 C．11 D．12 9．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則陰影部分圖形的周長為（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 10．如圖，矩形ABCD的長為a，寬為b，如果=（　?。? A． B． C． D． 11．給出以下三個命題：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形； ③對角線互相垂直的矩形是正方形；④菱形對角線的平方和等于邊長平方的4倍．其中真命題的是（　?。? A．③ B．①② C．②③ D．③④ 12．如圖，正方形ABCD中，AB=3，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．下列結(jié)論： ①點G是BC的中點；②FG=FC；③∠GAE=45． 其中正確的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 　 二、填空題： 13．等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是　　． 14．如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，試添加一個條件：　　，使得平行四邊形ABCD為菱形． 15．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則△AEF的周長=　　cm． 16．如圖在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60，∠BAE=20，則∠CEF的大小為　?。? 　 三、解答題：（共52分） 17．如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F(xiàn)，G，連接ED，DG．請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由． 18．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF． （1）證明：四邊形AECF是矩形； （2）若AB=8，求菱形的面積． 19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，點G在邊BC的延長線上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于點O． （1）求證：OE=OF； （2）若點O為CD的中點，求證：四邊形DECF是矩形． 20．點M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC上，已知△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半，求∠MAN的度數(shù)． 21．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E． （1）求證：BE=CD； （2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積． 22．已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點． （1）求證：BM=CM； （2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （3）當(dāng)AD：AB=　　時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）． 23．如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60，且AB＞6． （1）求∠EPF的大小； （2）若AP=8，求AE+AF的值． 　 《第1章 特殊的平行四邊形》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（請把答案填寫到下面指定位置，每小題3分，共36分） 1．矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)是（　　） A．每一條對角線平分一組對角 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直 【考點】矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形具有的性質(zhì)就是矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)． 【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)：對角線互相平分．故選C． 【點評】本題主要考查的是對矩形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)的理解． 　 2．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若BD、AC的和為18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周長為13cm，那么BC的長是（　　） A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，先求出AB的長，再根據(jù)所給比值，求出AD的長，進一步求解BC即可． 【解答】解：∵平行四邊形ABCD ∴OA+OB=（BD+AC）=9cm 又∵△AOB的周長為13cm， ∴AB=CD=4cm， 又∵CD：DA=2：3， ∴BC=AD=6cm 故選A． 【點評】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分． 　 3．在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=30，AC=cm，則AB邊上的中線長為（　?。? A．1cm B．1.5cm C．2cm D． cm 【考點】直角三角形斜邊上的中線． 【分析】設(shè)斜邊AB=2x，根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BC=x，再利用勾股定理列式求出x的值，從而得到AB，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答． 【解答】解：設(shè)斜邊AB=2x， ∵∠ACB=90，∠A=30， ∴BC=AB=x， 由勾股定理得，AB2=AC2+BC2， 即（2x）2=（）2+x2， 解得x=1， ∴AB=21=2cm， AB邊上的中線長=AB=2=1cm． 故選A． 【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)以及勾股定理，熟記性質(zhì)并列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周長為16，則AE的長是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．7 【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和EF⊥EC，EF=EC求證△AEF≌△DCE，可得AE=CD，再利用矩形的周長為16，即可求出AD，然后用AD減DE即可得出答案． 【解答】解：∵矩形ABCD中，EF⊥EC， ∴∠DEC+∠DCE=90，∠DEC+∠AEF=90 ∴∠AEF=∠DCE， 又∵EF=EC， ∴△AEF≌△DCE， ∴AE=CD， ∵矩形的周長為16，即2CD+2AD=16， ∴CD+AD=8， ∴AD﹣2+AD=8， AD=5， ∴AE=AD﹣DE=5﹣2=3． 故選A． 【點評】此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證△AEF≌△DCE． 　 5．下列說法正確的是（　?。? A．對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 C．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形 【考點】正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定． 【分析】分別根據(jù)菱形、正方形、平行四邊形和矩形的判定逐項判斷即可． 【解答】解： 對角線相等且互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，更不一定是菱形，故A不正確； 對角線互相垂直平分的四邊形為菱形，但不一定是正方形，故B不正確； 對角線互相垂直的四邊形，其對角線不一定會平分，故不一定是平行四邊形，故C不正確； 對角線互相平分說明四邊形為平行四邊形，又對角線相等，可知其為矩形，故D正確； 故選D． 【點評】本題主要考查平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，掌握平行四邊形及特殊平行四邊形的對角線所滿足的條件是解題的關(guān)鍵． 　 6．已知：如圖，在矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，垂足為E，∠BAE=30，那么△ECD的面積是（　?。? A． B． C． D． 【考點】矩形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)已知條件，先求Rt△AED的面積，再證明△ECD的面積與它相等． 【解答】解：如圖： 過點C作CF⊥BD于F． ∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD， ∴∠ABE=∠CDF=60，AB=CD，AD=BC=2，∠AEB=∠CFD=90． ∴△ABE≌△CDF． ∴AE=CF． ∴S△AED=ED?AE，S△ECD=ED?CF ∴S△AED=S△CDE∵AE=1，DE=， ∴△ECD的面積是．故選C． 【點評】此題考查了學(xué)生的識圖能力，解題的關(guān)鍵是要注意問題的轉(zhuǎn)化．此題還考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中，30角所對的直角邊是斜邊的一半． 　 7．用兩個全等的直角三角形拼成下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形．則一定可以拼成的圖形是（　?。? A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 【考點】圖形的剪拼． 【分析】此題需要動手操作或畫圖，用完全相同的直角三角形一定可以拼成平行四邊形、矩形、等腰三角形． 【解答】解：根據(jù)題意，用形狀和大小完全相同的直角三角形一定能拼出平行四邊形、矩形和等腰三角形，共3種圖形． 畫出圖形如下所示： 故選D 【點評】本題考查了圖形的剪拼，同時考查了學(xué)生的動手操作能力和想象觀察能力，難度一般． 　 8．如圖為菱形ABCD與△ABE的重疊情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，則DE的長度為何？（　　） A．8 B．9 C．11 D．12 【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理． 【專題】壓軸題． 【分析】首先連接AC，設(shè)AC交BD于O點，由四邊形ABCD為菱形，利用菱形對角線互相垂直且平分的性質(zhì)及勾股定理，即可求得DE的長度． 【解答】解：連接AC，設(shè)AC交BD于O點， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AC⊥BD，且BO=DO==8， 在△AOD中， ∵∠AOD=90， ∴AO===15， 在△AOE中， ∵∠AOE=90， ∴OE===20， 又OD=8， ∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12． 故選D． 【點評】此題考查了勾股定理與菱形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 9．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則陰影部分圖形的周長為（　?。? A．15 B．20 C．25 D．30 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，則陰影部分的周長即為矩形的周長． 【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得 A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF． 則陰影部分的周長=矩形的周長=2（10+5）=30． 故選：D． 【點評】此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是要能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對應(yīng)的線段相等，從而求得陰影部分的周長． 　 10．如圖，矩形ABCD的長為a，寬為b，如果=（　?。? A． B． C． D． 【考點】三角形的面積． 【專題】計算題． 【分析】連接DB，由S矩形ABCD=S1+S2+S3+S4，，利用則，同理EB=，求得S3，然后即可求得S4． 【解答】解：S矩形ABCD=S1+S2+S3+S4 ∴ ∴ 連接DB，如圖，則 ∴CF：BC= ∴FB= 同理，EB= ∴ ∴， 故選A 【點評】此題考查學(xué)生對三角形面積的理解和掌握，此題關(guān)鍵是連接DB，有一定難度，屬于難題． 　 11．給出以下三個命題：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形； ③對角線互相垂直的矩形是正方形；④菱形對角線的平方和等于邊長平方的4倍．其中真命題的是（　?。? A．③ B．①② C．②③ D．③④ 【考點】命題與定理． 【分析】分別根據(jù)矩形、菱形及正方形的性質(zhì)進行逐一判斷即可． 【解答】解：①錯誤，例如等腰梯形； ②錯誤，例如對角線互相垂直的等腰梯形； ③正確，符合正方形的判定定理； ④正確，符合菱形的性質(zhì)． 故選D． 【點評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理． 　 12．如圖，正方形ABCD中，AB=3，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．下列結(jié)論： ①點G是BC的中點；②FG=FC；③∠GAE=45． 其中正確的是（　?。? A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考點】翻折變換（折疊問題）；正方形的性質(zhì)． 【分析】①如圖1，根據(jù)正方形邊長求DE的長，由折疊得：AD=AF=3，DE=EF=1，根據(jù)HL證明Rt△ABG≌Rt△AFG，BG=FG，設(shè)BG=x，在直角△EGC中利用勾股定理列方程求出x的值，比較BG和CG的大??； ②如圖2，作輔助線，根據(jù)平行線分線段成比例定理列式求FH和GH的長，根據(jù)勾股定理求FC，發(fā)現(xiàn)FG≠FC； ③如圖1，根據(jù)正方形的內(nèi)角為90，及∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，得∠GAE=45． 【解答】解：①如圖1，∵四邊形ABCD是正方形， ∴CD=AB=3， ∵CD=3DE， ∴DE=1， ∴CE=2， 由折疊得：DE=EF=1，AD=AF=3， ∴AB=AF， ∵∠B=∠AFG=90，AG=AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG=FG， 設(shè)BG=x，則CG=3﹣x，F(xiàn)G=x， 由勾股定理得：EG2=CG2+EC2， （x+1）2=22+（3﹣x）2， 解得：x=， ∴BG=， ∴CG=3﹣=， ∴點G是BC的中點； 所以①正確； ②如圖2，過F作FH⊥BC于H， ∵FH∥DC， ∴， ∴=， ∴FH=，GH=， ∴CH=﹣=， ∴FC==， 由①得FG=BG=， ∴FG≠FC， 所以②不正確； ③如圖1，∵∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG， ∴∠BAG+∠DAE=∠FAG+∠FAE， ∵∠DAB=90， ∴∠EAG=∠DAB=45， 所以③正確； 故結(jié)論正確的是：①③， 故選B． 【點評】本題考查了正方形和折疊的性質(zhì)，明確折疊前后的對應(yīng)角相等，正方形的四邊相等且四個角都是直角；利用勾股定理列方程求邊的長度，恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線，構(gòu)建平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式求邊長；從而比較邊的大小關(guān)系． 　 二、填空題： 13．等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是　矩形、正方形?。? 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；軸對稱圖形的概念： 如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形進行分析即可． 【解答】解：等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； 平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形； 矩形是軸對稱圖形又是中心對稱圖形； 正方形是軸對稱圖形又是中心對稱圖形； 故答案為：矩形、正方形． 【點評】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 　 14．如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，試添加一個條件：　AD=DC　，使得平行四邊形ABCD為菱形． 【考點】平行四邊形的判定；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】開放型． 【分析】根據(jù)菱形的定義得出答案即可． 【解答】解：∵鄰邊相等的平行四邊形是菱形， ∴平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，試添加一個條件：可以為：AD=DC； 故答案為：AD=DC． 【點評】此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的定義得出是解題關(guān)鍵． 　 15．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則△AEF的周長=　9　cm． 【考點】三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)． 【分析】先求出矩形的對角線AC，根據(jù)中位線定理可得出EF，繼而可得出△AEF的周長． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC==10cm， ∵點E、F分別是AO、AD的中點， ∴EF是△AOD的中位線，EF=OD=BD=AC=cm，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=cm， ∴△AEF的周長=AE+AF+EF=9cm． 故答案為：9． 【點評】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理及矩形的性質(zhì)，解答本題需要我們熟練掌握三角形中位線的判定與性質(zhì)． 　 16．如圖在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60，∠BAE=20，則∠CEF的大小為　20?。? 【考點】菱形的性質(zhì)． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】首先證明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，證明△AEF是等邊三角形，得∠AEF=60，最后求出∠CEF的度數(shù)． 【解答】解：連接AC， 在菱形ABCD中，AB=CB， ∵∠B=60， ∴∠BAC=60，△ABC是等邊三角形， ∵∠EAF=60， ∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC， 即：∠BAE=∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF， 又∠EAF=∠D=60，則△AEF是等邊三角形， ∴∠AFE=60， 又∠AEC=∠B+∠BAE=80， 則∠CEF=80﹣60=20． 故答案為：20． 【點評】此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和定理，有一定的難度，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，然后熟練掌握菱形的性質(zhì)． 　 三、解答題：（共52分） 17．如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F(xiàn)，G，連接ED，DG．請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】結(jié)論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可． 【解答】解：四邊形EBGD是菱形． 理由：∵EG垂直平分BD， ∴EB=ED，GB=GD， ∴∠EBD=∠EDB， ∵∠EBD=∠DBC， ∴∠EDF=∠GBF， 在△EFD和△GFB中， ， ∴△EFD≌△GFB， ∴ED=BG， ∴BE=ED=DG=GB， ∴四邊形EBGD是菱形． 【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是求出△EFD≌△GFB． 　 18．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF． （1）證明：四邊形AECF是矩形； （2）若AB=8，求菱形的面積． 【考點】矩形的判定；勾股定理；菱形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE⊥BC，∠AEC=90，再根據(jù)菱形的對邊平行且相等以及中點的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得證； （2）根據(jù)勾股定理求出AE的長度，然后利用菱形的面積等于底乘以高計算即可得解． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵AB=AC， ∴△ABC是等邊三角形， ∵E是BC的中點， ∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一）， ∴∠1=90， ∵E、F分別是BC、AD的中點， ∴AF=AD，EC=BC， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD=BC， ∴AF∥EC且AF=EC， ∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）， 又∵∠1=90， ∴四邊形AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）； （2）解：在Rt△ABE中，AE==4， 所以，S菱形ABCD=84=32． 【點評】本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明得到四邊形AECF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵，也是突破口． 　 19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，點G在邊BC的延長線上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于點O． （1）求證：OE=OF； （2）若點O為CD的中點，求證：四邊形DECF是矩形． 【考點】矩形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）由于CE平分∠BCD，那么∠DCE=∠BCE，而EF∥BC，于是∠OEC=∠BCE，等量代換∠OEC=∠DCE，那么OE=OC，同理OC=OF，等量代換有OE=OF； （2）由于O是CD中點，故OD=OC，而OE=OF，那么易證四邊形DECF是平行四邊形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分線，∠BCD+∠DCG=180那么易得∠ECF=90，從而可證四邊形DECF是矩形． 【解答】證明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD， ∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF，（1分） ∵EF∥BC， ∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，（1分） ∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，（1分） ∴OE=OC，OF=OC， ∴OE=OF；（2分） （2）∵點O為CD的中點， ∴OD=OC， 又OE=OF， ∴四邊形DECF是平行四邊形，（2分） ∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD， ∴，（2分） ∴，（2分） 即∠ECF=90， ∴四邊形DECF是矩形．（1分） 【點評】本題利用了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對等邊、等量代換、平行四邊形的判定、矩形的判定． 　 20．點M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC上，已知△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半，求∠MAN的度數(shù)． 【考點】正方形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】先利用△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半可得到MN=DM+BN，△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到△ABE，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠ADM，∠MAE=90，接著證明△AMN≌△AEN得到∠MAN=∠EAN，從而得到∠MAN=∠MAE=45． 【解答】解：∵△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半， ∴MN+CM+CN=CD+CB， ∴MN=DM+BN， ∵AD=AB，∠DAB=90， ∴△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到△ABE，如圖， ∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠ADM，∠MAE=90， ∵∠ABC=90， ∴點E在CB的延長線上， ∴EN=BE+NB=DM+BN=MN， 在△AMN和△AEN中 ， ∴△AMN≌△AEN， ∴∠MAN=∠EAN， ∴∠MAN=∠MAE=45． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△AEN與△AMN全等． 　 21．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E． （1）求證：BE=CD； （2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE； （2）先證明△ABE是等邊三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS證明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面積=△ECF的面積，因此平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AE?BF，即可得出結(jié)果． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD， ∴∠B+∠C=180，∠AEB=∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分線， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE，∴BE=CD； （2）解：∵AB=BE，∠BEA=60， ∴△ABE是等邊三角形， ∴AE=AB=4， ∵BF⊥AE， ∴AF=EF=2， ∴BF===2， ∵AD∥BC， ∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴△ADF的面積=△ECF的面積， ∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AE?BF=42=4． 【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題（2）的關(guān)鍵． 　 22．已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點． （1）求證：BM=CM； （2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （3）當(dāng)AD：AB=　2：1　時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）． 【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；正方形的判定． 【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠D=90，AB=DC，由SAS證明△ABM≌△DCM，得出對應(yīng)邊相等即可； （2）證明EN是△BCM的中位線，得出EN=CM=FM，EN∥FM，證出四邊形MENF是平行四邊形，同理：NF是△BCM的中位線，得出NF=BM，證出EN=NF，即可得出結(jié)論； （3）證明△ABM是等腰直角三角形，得出∠AMB=45，同理∠DMC=45，得出∠EMF=90，即可得出結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90，AB=DC， ∵M是AD的中點， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM中，， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM=CM； （2）解：四邊形MENF是菱形；理由如下： ∵E、N、F分別是線段BM、BC、CM的中點， ∴EN是△BCM的中位線， ∴EN=CM=FM，EN∥FM， ∴四邊形MENF是平行四邊形， 同理：NF是△BCM的中位線， ∴NF=BM， ∵BM=CM， ∴EN=NF， ∴四邊形MENF是菱形； （3）解：當(dāng)AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形；理由如下： ∵AD：AB=2：1，M是AD的中點， ∴AB=AM， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB=45， 同理：∠DMC=45， ∴∠EMF=180﹣45﹣45=90， 由（2）得：四邊形MENF是菱形， ∴四邊形MENF是正方形； 故答案為：2：1． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵． 　 23．如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60，且AB＞6． （1）求∠EPF的大小； （2）若AP=8，求AE+AF的值． 【考點】菱形的性質(zhì)． 【分析】（1）作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，由菱形的性質(zhì)得出AC平分∠BAD，由角平分線的性質(zhì)得出PG=PH，由HL證明Rt△PGE≌Rt△PHF，得出∠HPF=∠GPE，GE=HF，求出∠GPH=120，即可得出∠EPF=120； （2）由菱形的性質(zhì)得出∠PAG=30，由含30角的直角三角形的性質(zhì)得出PG=AP=4，由勾股定理求出AG=PG=4，求出AE+AF=2AG=8即可． 【解答】解：（1）作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，如圖所示： 則∠PGE=∠PHF=90， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， ∴PG=PH， 在Rt△PGE和Rt△PHF中，， ∴Rt△PGE≌Rt△PHF（HL）， ∴∠HPF=∠GPE，GE=HF， ∵∠BAD=60， ∴∠GPH=120， ∴∠EPF=120； （2）∵∠BAD=60，AC平分∠BAD， ∴∠PAG=30， ∴PG=AP=4， ∴AG=PG=4， ∴AE+AF=AG+GE+AH﹣HF=2AG=8． 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．