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2019-2020年高二數(shù)學下學期期中試題 理（重點、潛能班） 一、選擇題 1、“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 2、下列說法中，正確的是（ ） A．命題“若，則”的逆命題是真命題 B．命題“存在，”的否定是：“任意，” C．命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題 D．命題“若，則”的否命題是“若，則” 3、在空間直角坐標系中，點關(guān)于XOY面對稱的點的坐標是（ ） A． B． C． D． 4、下列命題中，正確的是（ ） A.若，，則 B.若，則 C.若，則 D.若，，則 5、已知向量，，且與互相垂直，則的值是（ ） A．1 B． C． D． 6、拋物線(其中)的頂點的軌跡是（ ）A.圓 B.橢圓 C. 拋物線 D. 雙曲線 7、已知橢圓的離心率為,則實數(shù)等于（　　） A．2 B．2或 C．或6 D．2或8 8、在空間直角坐標系O－xyz中，平面OAB的法向量為＝(2, –2, 1), 已知P(－1, 3, 2)，則P到平面OAB的距離等于 （　　） A．4 B．2 C．3 D．1 9、在極坐標系中，點到圓的圓心的距離為（ ） A.2 B. C. D. 10、設(shè)雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為，如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 11、函數(shù)的最大值是（ ） A.6 B.2 C.5 D.2 12、斜率為2的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F，且交拋物線與A、B兩點，若AB的中點到拋物線準線的距離1，則P的值為（ ）. A.1 B. C. D. 二、填空題 13、不等式的解集為__________________. 14、已知實數(shù)x、y、z滿足x+2y+3z=1，則x2+y2+z2的最小值為 ． 15、設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的對角線BD1上，以D為原點如圖建立空間直角坐標系，記＝λ.則P點的坐標為 ________． 16、已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則 ． 三、解答題 17、在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （1）寫出圓的標準方程和直線的普通方程； （2）設(shè)直線與圓相交于，兩點，求的值． 18、給定兩個命題, ：對任意實數(shù)都有恒成立； ：關(guān)于的方程有實數(shù)根；如果“”為假，且“”為真，求實數(shù)的取值范圍。 19、設(shè)函數(shù)的最小值為． （Ⅰ）求； （Ⅱ）已知兩個正數(shù)m，n滿足，求的最小值． 20、如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB與BB1的中點， （Ⅰ）求證：EF⊥平面A1D1B ； （Ⅱ）求二面角F－DE－C的平面角的余弦值． 21、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，，且． （Ⅰ）求證：平面ABCD； （Ⅱ）棱PD上是否存在一點E，使直線EC與平面BCD所成的角是？若存在，求PE的長；若不存在，請說明理由． 18．對任意實數(shù)都有恒成立或； 關(guān)于的方程有實數(shù)根； 由于“”為假，且“”為真，則與一真一假； （1）如果真，且假，有； （2）如果真，且假，有。 所以實數(shù)的取值范圍為：。 19．（Ⅰ）， 當x∈(－∞，0]時，f(x)單調(diào)遞減， 當x∈[0，＋∞)時，f(x)單調(diào)遞增， 所以當x＝0時，f(x)的最小值a＝1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得， 則，當且僅當時取等號． 所以的最小值為． 20．以D為原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為X、Y、Z軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為2，則E（2，1，0），F(xiàn)（2，2，1）， A1（2，0，2），D1（0，0，2），B（2，2，0）；=（0，1，1）， =（-2，0，0），=（0，2，-2）. 由?=0，?=0 ，可得 EF⊥A1D1， EF⊥A1B，∴EF⊥平面A1D1B （2）平面CDE的法向量為=（0，0，2），設(shè)平面DEF的法向量為 =（x，y，z），由?=0，?=0 ，解得2 x= - y=z， 可取 =（1，-2，2），設(shè)二面角F－DE－C大小為θ， ∴cosθ===， 即二面角F—DE—C的余弦值為 21．（Ⅰ）證明：在正方形中，. 因為，， 所以 平面． 因為 平面， 所以 ． 同理，． 因為 ， 所以 平面． （Ⅱ）存在． 分別以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示. 由題意可得：，，，． 若棱上存在點滿足條件，設(shè)，． 所以． 因為平面的一個法向量為． 所以． 令解得：. 經(jīng)檢驗． 所以棱上存在點，使直線與平面所成的角是，此時的長為． 22．（Ⅰ）由題意知，雙曲線的焦點坐標為，離心率為， 設(shè)橢圓方程：，則 ，， ， 橢圓方程為：. （Ⅱ）解法一：設(shè)， 為弦的中點，， 由題意：，得 ， ， 此時直線方程為：，即， 故所求弦所在的直線方程為. 12分 解法二：由題意可知，直線斜率必存在.設(shè)所求直線方程為：， 由，得，（*） 設(shè)， 為弦的中點，， ，， 故所求弦所在的直線方程為：，即.