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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理(IV) 一、選擇題（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1. 若集合，則集合（ ） A. B. C. D. 2.“或是假命題”是“非為真命題”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3．函數(shù)的定義域是（ ） A． B． C． D． 4．下列有關(guān)命題的說法錯誤的是（ ） A．命題“若 ， 則”的逆否命題為：“若 則” B．“ ”是“”的充分不必要條件 C．若為假命題，則、均為假命題 D．對于命題使得，則均有 5．已知是不同的直線，是不同的平面，以下命題正確的是（ ） ① 若∥，，則∥； ② 若，∥，則； ③ 若∥，則∥； ④ 若，∥，∥，則； A．②③ B．③④ C．②④ D．③ 6．某程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)， 則可以輸出的函數(shù)是（ ） A． B． C． D． 7. 命題：“若（a , b∈R），則a=b=0”的逆否命題是 （ ） A．若a≠b≠0（a , b∈R），則≠0 B.若a=b≠0（a , b∈R），則≠0 C．若a≠0且b≠0（a,b∈R），則≠0 D.若a≠0或b≠0（a,b∈R），則≠0 8. 已知函數(shù)，則下列判斷中正確的是( ) A．奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B．偶函數(shù)，在R上為增函數(shù) C．奇函數(shù)，在R上為減函數(shù) D．偶函數(shù)，在R上為減函數(shù) 9.若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域?yàn)椋?,m］，值域?yàn)椋?,-4］，則m的取值范圍是( ) A.(0, B.［,4］ C.［,3］ D.［,+∞ 10. 若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 11. ．為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象(　　) A．向左平移3個單位長度 B．向右平移3個單位長度 C．向左平移1個單位長度 D．向右平移1個單位長度 12.對于函數(shù)f(x)定義域中任意的，(≠)，有如下結(jié)論： ①f(＋)＝f()f() ②f()＝f()＋f() ③ ④ 當(dāng)f(x)＝lgx時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答． 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分） 13．函數(shù)的最小正周期為 ． 14．若，且，則的最小值等于 ． 15．四棱錐的三視圖如圖所示,四棱錐的 五個頂點(diǎn)都在一個球面上，、分別是棱、的中點(diǎn)， 直線被球面所截得的線段長為，則該球表面積 為 ． 16．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且對于恒有 ，已知當(dāng)時(shí)，則 （1）的周期是2； （2）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增； （3）的最大值是1，最小值是0； （4）當(dāng)時(shí)， 其中正確的命題的序號是 ． 三、解答題(本題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟．) 17．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角對邊分別為，且 （1）求角的大小； （2）若，求的值． 5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 3 4 18．(本小題滿分12分) 為選拔選手參加“中國漢字聽寫大會”，某中學(xué)舉行了一次“漢字聽寫大賽”活動.為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為）進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數(shù)據(jù)）． （1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的、的值； （2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取4名學(xué)生參加“中國漢字聽寫大會”，設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的4名學(xué)生中得分在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望． P A B C D E 19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）若是的中點(diǎn)，且二面角的余弦值為 ，求直線與平面所成角的正弦值． 20．（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn) 在橢圓上，且與軸垂直。 （1）求橢圓的方程； （2）過作直線與橢圓交于另外一點(diǎn)，求面積的最大值。 ． 21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)． （Ⅰ）若，求函數(shù)的極值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若是正實(shí)數(shù)且存在，使得成立，求的取值范圍． 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑。 22．(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講 如圖所示,已知圓外有一點(diǎn),作圓的切線,為切點(diǎn),過的中點(diǎn),作割線,交圓于、兩點(diǎn),連接并延長,交圓于點(diǎn),連接交圓于點(diǎn),若. （1）求證:△∽△; （2）求證:四邊形是平行四邊形. 23．(本小題滿分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)． （1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角的值． 24．(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講 設(shè)=. （1）求的解集; （2）若不等式對任意不為零的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 數(shù)學(xué)（理科）答案 一、選擇題（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1--5.CDACD 6--10DDACD 11--12DB 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分） 13．【解析】因?yàn)?，所以，所以函?shù)的最小正周期為．【考點(diǎn)定位】函數(shù)的周期，二倍角的余弦公式．【名師點(diǎn)睛】本題先用二倍角的余弦公式把函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)求周期．二倍角的余弦公式可正用、逆用以及變形運(yùn)用． 14【答案】【解析】約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如上圖所示，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取得最小值3． 15.【答案】【解析】該幾何體的直觀圖如下圖所示，側(cè)棱底面，且底面為邊長為的正方形，且，所以為該幾何體外接球的直徑，即，的中點(diǎn)球心，取的中點(diǎn)，則為圓心到直線的距離，，所以，解之得，所以，所以外接球的表面積為 16【答案】（1）（2）（4）【解析】由恒有，得的周期是2；（1）正確因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，因此在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增；（2）正確的最大值是，最小值是；（3）錯誤當(dāng)時(shí)，（4）正確 17、試題解析：（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫? 2 3 4 2 3 4 2 3 4 因?yàn)樗裕?）因?yàn)橛烧叶ɡ碇儆捎嘞叶ɡ淼芒谟散佗诘媒猓海?）由題意可知，樣本容量，，.（2）由題意可知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有5人，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有2人，共7人.抽取的4名學(xué)生中得分在的人數(shù)的可能取值為2，3， 4，則 ，，. 2 3 4 所以的分布列為所以 2 3 4 P A B C D E x y z 19、解：（1）證明：平面ABCD，平面ABCD，，，，，又，平面， ∵平面EAC，平面平面（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C（0，0，0），（1，1，0），（1，－1，0）設(shè)（0，0，）（），則（，，），，，，取=（1，－1，0）則，為面的法向量設(shè)為面的法向量，則，即，取，，，則，依題意，，則 于是設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為 （或設(shè)CA為x軸，CB為y軸，CP為z軸，請酌情給分） 20．（1）（2）【解析】試題分析：（1）本題考察的是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定即可。本題根據(jù)題目條件，，，∴，，從而確定橢圓的方程是。（2）本題考察的直線與橢圓的位置關(guān)系，需要分直線的斜率不存在或斜率存在兩種情況討論，根據(jù)弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，表示出面積的表達(dá)式，從而求出面積的最大值。試題解析：（1）有已知：，，∴，故橢圓方程為 （2）當(dāng)斜率不存在時(shí)： 當(dāng)AB斜率存在時(shí)：設(shè)其方程為： 由，得 由已知： 即： 到直線的距離： ∴ ∵，∴，∴，∴此時(shí) 綜上所求：當(dāng)斜率不存在或斜率為零時(shí)，面積取最大值為 21.試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，．由，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為；（Ⅱ），其定義域?yàn)椋郑?dāng)時(shí)可得，在上，在上，所以的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)可得，在上，所以在是遞增函數(shù)。 …… 7分 （Ⅲ）若在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得．即在上的最小值小于零． ……8分①當(dāng)，即時(shí)，由（II）可知在上單調(diào)遞減．故在上的最小值為，由，可得．因?yàn)椋裕虎诋?dāng)，即時(shí)，由（II）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 在上最小值為．因?yàn)?，所以? ，即不滿足題意，舍去．綜上所述: 12分 22. 證明:(1)∵是圓的切線, 是圓的割線, 是的中點(diǎn),∴, ∴,又∵, ∴△∽△,∴, 即.∵, ∴, ∴,∴△∽△. …5分 (2)∵,∴,即,∴, ∵△∽△,∴,∵是圓的切線,∴,∴,即,∴, ∴四邊形PMCD是平行四邊形. 10分 23.解：（1）由得，于是有，化簡可得 3分 （2）將代入圓的方程得，化簡得. 設(shè)、兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為、,則, ……7分 ,,,或.…10分 24.解： (1)由得： 或或………3分解得 所以的解集為 ………5分 （2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.…8分 由不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，可得 解得：或. 故實(shí)數(shù)的取值范圍是 ……10分