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2019-2020年高三數學上學期第二次月考試題 理(II) 一、選擇題 1．如果，那么（?。? A．－2 B．2 C．－ D． 2．設數列是以3為首項，1為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，則（?。? A．1033 B．1057 C．1043 D．1058 3．將函數的圖象向左平移2個單位長度后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（?。? A． B． C． D． 4．某研究機構對兒童記憶能力和識圖能力進行統(tǒng)計分析，得到如下數據： 記憶能力 4 6 8 10 識圖能力 3 5 6 8 由表中數據，求得線性回歸方程為，若某兒童的記憶能力為12時，則他的識圖能力為（?。? A、10.3 B、11.5 C、9.5 D、7.1 5．已知數列為等差數列，且，則的值為（　?。? A、　　B、　　C、　　　D、 6．已知函數 的部分圖像如圖所示. 則函數的解析式為（?。? A、 B、 C、 　　 D、 7．如果的展開式中各項系數之和為128，則展開式中第4項的系數是（　?。? A、954　　B、－954　　C、2835　　D、－2835 8．任意確定四個日期，其中有一個是星期天的概率為（　?。? A、　B、　　　C、　　D、 9．在圓內，過點P（1,1）的最長的弦為，最短的弦為，則四邊形的面積為．（　?。? A、 B、　　　　C、　　　　D、 10．橢圓的左焦點為，若關于直線的對稱點是橢圓上的點，則橢圓的離心率為（ 　 ） A． B． C． D． 11．設拋物線的焦點為,準線為，為拋物線上一點，且為垂足，如果直線的斜率為，則｜PF｜＋｜OF｜等于（ 　 ） A． B． C． D．10 12．若數列的通項公式，記，則f(n)= A、　B、　 C、　　D、 第II卷（非選擇題90分） 二、填空題 13、已知,是虛數單位,則____ 14．曲線在點處的切線方程是 15．已知數列滿足，若，則　　　　　 16．已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線與圓有公共點A（1,2），且圓在點的切線與雙曲線的漸近線平行，則雙曲線的離心率為　　　　　 三、解答題 17. 已知數列{an}的前n項和，數列{bn}滿足b1=1，b3+b7=18，且（n≥2）. （1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）若，求數列{cn}的前n項和Tn. 18．（12分）一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設袋子中的每一個球被摸到可能性是相等的。 （Ⅰ）從袋子中任意摸出3個球，求摸出的球均為白球的概率； （Ⅱ）一次從袋子中任意摸出3個球，若其中紅球的個數多于白球的個數，則稱“摸球成功”（每次操作完成后將球放回），某人連續(xù)摸了3次，記“摸球成功”的次數為，求的分布列和數學期望。 19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，, 點是的中點，，且交于點． （Ⅰ）求證:平面； （Ⅱ）求證：平面⊥平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 20．(12分)設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點M(1,1)，離心率e＝，O為坐標原點． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l是圓O：x2＋y2＝1的任意一條切線，且直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求證：為定值． 21．（本小題滿分12分）已知函數f（x）=x2e-2ax （a＞0）， （1）已知函數f（x）的曲線在x＝1處的切線方程為，求實數的值； （2）求函數在［1，2］上的最大值． 22．（本小題滿分10分） 在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數），過點且斜率為的直線與曲線相交于不同的兩點． （Ⅰ）求的取值范圍； （Ⅱ）設，是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由． xx屆高三級第一學期第二次月考 理科數學答案和評分標準 一、CCACC　　BDCCB　DC??；二、13、1＋i　　14、　15、-1 　16、 三、解答題 17．解析：（1）由題意知①，當n≥2時，②，①-②得，即，又，∴，故數列{an}是以1為首項，為公比的等比數列，所以，由（n≥2）知，數列{bn}是等差數列，設其公差為d，則，故，綜上，數列{an}和{bn}的通項公式分別為. （2）∵，∴③ ④ ③-④得，即， ∴ 18、（Ⅰ）設從袋子中任意摸出3個球, 摸出的球均為白球的概率是 4分 （Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率． 8分 隨機變量服從二項分布,分布列如下 0 1 2 3 ． 12分． 19．方法一：（Ⅰ）證明：連結交于，連結． 是正方形，∴ 是的中點． 是的中點，∴是△的中位線．∴． 2分 又平面，平面， ∴平面． 4分 （Ⅱ）證明：由條件有∴ 平面，且平面∴ 又∵ 是的中點，∴ ∴平面 平面∴ 6分 由已知 ∴平面 又平面 ∴平面平面 8分 （Ⅲ）取中點，則．作于，連結． ∵底面，∴底面．∴為在平面內的射影．∵,∴． ∴為二面角的平面角． 10分 設，在中，，∴． ∴ 二面角的余弦的大小為． 12分 方法二：（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，由,可設， 則． ， ， ,即有 6分 又且． 平面． 又平面 ∴平面⊥平面． 8分 （Ⅲ） 底面，∴是平面的一個法向量，． 設平面的法向量為, , 則即, ∴ 令,則． 10分, 由作圖可知二面角為銳二面角∴二面角的余弦值為． 12分 20、【解】　(1)因為e＝＝，∴a2＝3b2，∴橢圓C的方程為＋＝1. 又∵橢圓C過點M(1,1)，代入方程解得a2＝4，b2＝，∴橢圓C的方程為＋＝1　　4分 (2) ①當圓O的切線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋m， 則圓心O到直線l的距離d＝＝1，∴1＋k2＝m2將直線l的方程和橢圓C的方程聯立，得到關于x的方程為(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－4＝0　　6分 設直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則 7分　∴＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2　　9分 ＝(1＋k2)＋km＋m2＝＝0， ②當圓的切線l的斜率不存在時，驗證得＝0.綜合上述可得，為定值0.　12分 21、解：（1）f（x）=x2e-2ax（a＞0），∴=2xe-2ax+x2（-2a）e-ax=2e-ax（-ax2+x）．1∴= 解得：a=2 2分又由點在切線上 解得： 4分 （2）令>0，即2e-2ax（-ax2+x）>0，得01時，f（x）在（1，2）上是減函數，∴f（x）max=f（1）= 8分 ②當1≤≤2，即0．5≤a≤1時f（x）在上是增函數，在上是減函數， ∴f（x）max=f=a-2e-2 10分③當>2時，即0時，f（x）的最大值為 12分 22．解：（Ⅰ）曲線的方程可寫成過且斜率為的直線方程為　 1分 代入曲線的方程得整理得 ①3分 直線與圓交于兩個不同的點等價于　4分 解得，即的取值范圍為　　5分　 （Ⅱ）設，則由方程①， ② 　　7分 又 ③而所以與共線等價于　　8分 將②③代入上式，解得由（Ⅰ）知，故沒有符合題意的常數　　10分