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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題03 導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用分項(xiàng)試題（含解析）理 一、選擇題 1．【xx河南省南陽(yáng)一中三模】關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A. 是的極小值點(diǎn) B. 函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn) C. 存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立 D. 對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則 【答案】C ∴函數(shù)y=f（x）﹣x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確； f（x）＞kx，可得k＜ + ， 令g（x）= + 則g′（x） 令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，則h′（x）=﹣lnx， ∴（0，1）上，函數(shù)單調(diào)遞增，（1，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減， ∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0， ∴g（x）= +在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值， ∴不存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確； 對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2＞x1， （0，2）上，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增， 若f（x1）=f（x2），則x1+x2＞4，正確． 故選：C． 2．【xx河南省洛陽(yáng)市尖子生聯(lián)考】已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，（其中），則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0． 即g（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數(shù)，在（1，e）上為增函數(shù)． ∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3， a==，令μ=， 則a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0， μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0， 對(duì)于μ=，μ′= 則當(dāng)0＜x＜e時(shí)，μ′＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，μ′＜0．而當(dāng)x＞e時(shí)，μ恒大于0． 畫(huà)其簡(jiǎn)圖， 點(diǎn)睛：先分離變量得到a=，令g（x）=．求導(dǎo)后得其極值點(diǎn)，求得函數(shù)極值，則使g（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a的取值范圍由g（x）==，再令μ=，轉(zhuǎn)化為關(guān)于μ的方程后由根與系數(shù)關(guān)系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再結(jié)合著μ=的圖象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1． 3．【xx浙江省溫州市一?！恳阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4．【xx吉林省百校聯(lián)盟九月聯(lián)考】已知當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，則距離最近的整數(shù)為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】由可得： ， 令，則， 令，則， 由可得，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增， 函數(shù)h(x)的最小值為， 則存在滿足h(x)=0， 據(jù)此可得：距離最近的整數(shù)為3. 本題選擇B選項(xiàng). 點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題． (2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 5．【xx遼寧省大連八中模擬】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)， .若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 6．【xx遼寧省遼南協(xié)作校一模】已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由可得，即代入可得，即，故，則切線的斜率，因?yàn)?，所以切線方程為，即，應(yīng)選答案D。 點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的解析表達(dá)式，求解時(shí)充分利用題設(shè)中提供 的函數(shù)解析式方程，巧妙運(yùn)用變量替換得到方程，即，然后代入解得，即，然后再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義從而使得問(wèn)題巧妙獲解。 7．【xx江西省紅色七校聯(lián)考】已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 即當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,同時(shí)也是最大值f()==， 即當(dāng)0時(shí),00得>0，此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不滿足條件。 若a>0， 則由+af(x)>0得f(x)>0或f(x)0時(shí)，不等式由無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不滿足條件。 當(dāng)a<0時(shí),由+af(x)>0得f(x)>?a或f(x)<0， 當(dāng)f(x)<0時(shí)，沒(méi)有整數(shù)解， 則要使當(dāng)f(x)>?a有兩個(gè)整數(shù)解， ∵f(1)=ln2,f(2)= =ln2,f(3)= ， ∴當(dāng)f(x)?ln2時(shí),函數(shù)有兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)1,2,當(dāng)f(x)? 時(shí)，函數(shù)有3個(gè)整數(shù)點(diǎn)1，2，3 ∴要使f(x)>?a有兩個(gè)整數(shù)解， 則??ae時(shí),g′(t)>0， 當(dāng)01. 【答案】(Ⅰ)a≥-7；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析. （Ⅰ）由f(x)=x2++aln x，得f(x)=2x-+, 由已知得2x-+≥0在x∈[2,3]上恒成立，即a≥-2x2 恒成立. 設(shè)g (x)=-2x ，則g(x )=- -4x <0，所以g(x)在x∈[2,3]上單調(diào)遞減， g(x)max =g(2)=-7，所以a≥-7. （Ⅱ）證明:|k|＞1等價(jià)于||＞1，等價(jià)于| |＞|x1-x2|, 而| |=| =|x1-x2||2+-| 所以只需要證明|2+-|＞1. 即a＜x1+x2+或a＞3x1+x2+， 而a＞3x1+x2+，顯然不可能對(duì)一切正實(shí)數(shù)x1x2 均成立， 所以只需要證a＜x1+x2+成立. 因?yàn)閤1+x2+＞x1x2+，設(shè)t=,M(t)=t2+ (t＞0) 得M’(t)=2t-當(dāng)t=時(shí)M’(t)=0 在t∈（0， )上，M(t)遞減；在t∈（,+∞)上，M(t)遞增 所以M(t)≥3=＞4≥a，所以a＜x1x2+ 所以||＞1，即當(dāng)a≤4時(shí)，|K|＞1. 20．【xx廣西柳州模擬】已知為實(shí)數(shù)，函數(shù). （1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值； （2）設(shè)，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) ,(2) . 解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?， . ∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴，解得. 經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)， 是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，符合題意， ∴. （2）由，得， 記， ∴， ∴當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞増. ∴， ∴，記， ∴ . ∵，∴， ∴， ∴時(shí)， ， 單調(diào)遞減； 時(shí)， ， 單調(diào)遞增， ∴， ∴. 故實(shí)數(shù)的取值范圍為. 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，極值的求法，用到了變量集中的方法. 21．【xx海南省八校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)，其中. (1)若直線與函數(shù)的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍； (2)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) 或；(2) ． 解析：(1)當(dāng)時(shí)， ， 令時(shí)得； 令得， 遞增； 令得， 遞減， ∴在處取得極小值，且極小值為， ∵， ， ∴由數(shù)形結(jié)合可得或. (2)當(dāng)時(shí)， ， ，令得； 令得， 遞增； 令得， 遞減， ∴在處取得極小值，且極小值為， ∵，∴， ∵當(dāng)即時(shí)， ，∴，即，∴無(wú)解， 當(dāng)即時(shí)， ，∴，即，又，∴，綜上， . 點(diǎn)睛：函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，研究函數(shù)的單調(diào)性找函數(shù)最值，求參；恒成立求參，對(duì)于分段函數(shù)來(lái)講，分段討論最值即可． 22．【xx湖南省永州市一?！恳阎瘮?shù). （1）若在區(qū)間有最大值，求整數(shù)的所有可能取值； （2）求證：當(dāng)時(shí)， . 【答案】（1） ；（2）證明見(jiàn)解析. ，只需證明即可. 試題解析：（1）f′(x)＝（x2＋x－2）ex， 當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)－2＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增， 由題知：a＜－2＜a+5，得：－7＜a＜－2， 則a＝－6、－5、－4、－3， 當(dāng)a＝－6、－5、－4，顯然符合題意， 若a＝－3時(shí)，f(－2)＝5e―2，f(2)＝e2，f(－2)＜f(2)，不符合題意，舍去． 故整數(shù)a的所有可能取值－6，―5，－4． （2）f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7可變?yōu)?－x2＋3x－1)ex＜－3lnx＋x3+7， 令g(x)＝(－x2＋3x－1)ex，h(x)=－3lnx＋x3+7， g′(x)＝(－x2＋x＋2)ex， 0＜x＜2時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)x＞2時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減， g(x)的最大值為g(2)＝e2， h′(x)＝，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x＞1時(shí)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增， h(x)的最小值為h(1)＝8＞e2， g(x)的最大值小于h(x)的最小值， 故恒有g(shù)(x)＜h(x)，即f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7． 23．【xx廣東省珠海六校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且 （I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性； （II）證明： 【答案】：（Ⅰ）因?yàn)椋O(shè)， 依題意知得，所以的取值范圍是 由得，由得， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間， 其中， 且. （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，設(shè)， 所以在遞減，又在處連續(xù)，所以， 即. 24．【xx廣東省珠海九月模擬】函數(shù) (1)討論的單調(diào)性； (2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證： 【答案】(1) 時(shí)， 在上單減，在上單增； 時(shí)， 在上單減，在和上單增; 時(shí)， 在上單增;(2)見(jiàn)解析. 試題解析： 解： 的定義域是, (1)由題設(shè)知， 令，這是開(kāi)口向上，以為對(duì)稱軸的拋物線． 在時(shí)，當(dāng)，即時(shí)， ，即在上恒成立． ②當(dāng)，即時(shí)，由得 令， 則， 1) 當(dāng)即，即時(shí)， 時(shí)， ，即, 時(shí)， ，即 2) 當(dāng)時(shí)，即，即時(shí) 時(shí)， ，即 或時(shí)， ，即 綜上: 時(shí)， 在上單減，在上單增； 時(shí)， 在上單減，在和上單增; 時(shí)， 在上單增． (2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且 則必是，則，則， 且在上單減，在和上單增， 則 、是的二根 ，即， 若證成立，只需證 即證對(duì)恒成立 設(shè) 當(dāng)時(shí)， ， ， 故,故在上單增 故 對(duì)恒成立 25．【xx吉林省長(zhǎng)春一?！恳阎瘮?shù)，． （Ⅰ）若函數(shù)與的圖像在點(diǎn)處有相同的切線，求的值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值； （Ⅲ）證明： ． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析. 試題解析：(Ⅰ)由題意可知，和在處有相同的切線， 即在處且， 解得. （Ⅱ）現(xiàn)證明，設(shè)， 令，即， 因此，即恒成立， 即， 同理可證. 由題意，當(dāng)時(shí)，且， 即， 即時(shí)，成立. 當(dāng)時(shí)，，即不恒成立. 因此整數(shù)的最大值為2. （Ⅲ）由，令， 即，即 由此可知，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， …… 當(dāng)時(shí)，. 綜上： . 即. 26．【xx陜西省西工大附中六模】已知函數(shù). (1) 求的極值； (2) 當(dāng)時(shí)，求證： 【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析. 試題解析： (1)∵， 時(shí)， 遞增； 時(shí)， 遞減， ∴在時(shí)取極小值，極小值為，無(wú)極大值. （2）因?yàn)?，所以只需證明. 設(shè)，則， 所以遞增，又， 所以有且只有一個(gè)根，記為，∴. 在遞減，在遞增，所以 ∵ ， 設(shè)，∵，∴遞增. ，∴，∴，故結(jié)論成立. 27．【xx湖北武漢市調(diào)研】已知函數(shù)（）（…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. （1）求單調(diào)區(qū)間； （2）討論在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【答案】(1) 當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)增間為，無(wú)減區(qū)間； 當(dāng)時(shí)， 單調(diào)減間為，增區(qū)間為 (2) 所以或或時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)且時(shí)， 有三個(gè)零點(diǎn) 試題解析：（1） 當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)增間為，無(wú)減區(qū)間； 當(dāng)時(shí)， 單調(diào)減間為，增區(qū)間為 （2）由得或 先考慮在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)增且， 有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減， 有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增. 而，所以或時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn) 而時(shí)，由得 所以或或時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)且時(shí)， 有三個(gè)零點(diǎn). 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對(duì)求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間. 28．【xx陜西省西工大附中七模】已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值； （2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足， ，求證： ， . 【答案】（1），無(wú)最大值.（2）（3）見(jiàn)解析 試題解析：（1）∵，∴， ∴，令，得，則隨變化如下： 所以，無(wú)最大值. （2）設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，且， ，函數(shù)在上是增加的， ∴， 成立； 當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)， ， 函數(shù)在上是減小的，而，所以，當(dāng)時(shí)， ， 所以不恒成立， 綜上，對(duì)任意都有恒成立時(shí)， . （3）∵，∴， 又，當(dāng)時(shí)， ，∴在上是增加的， 所以，當(dāng)時(shí)，∵，∴， 而，∴成立. ，假設(shè)時(shí)， 成立，那么當(dāng)時(shí)， ， 而，∴成立. 綜合， 得： ， 成立. 29．【xx河北石家莊二中八月模擬】已知函數(shù). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若，若對(duì)任意，存在，使得 成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間時(shí);(2) . ，使得成立， 的圖象與直線有交點(diǎn)， 方程在上有解. 試題解析： （Ⅰ）因?yàn)椋? 所以， 因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?dāng)時(shí)， 或時(shí)， 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間時(shí). （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)， 又， 所以對(duì)任意，存在，使得成立， 存在，使得成立， 存在，使得成立， 因?yàn)?表示點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方， 所以存在，使得成立， 的圖象與直線有交點(diǎn)， 方程在上有解， 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減， 又，所以的值域是， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 30．【xx河北石家莊二中八月模擬】已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值； （Ⅱ）討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù). 【答案】(1) 最小值是,最大值是;(2) 時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根； 時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根. 試題解析： （Ⅰ）因?yàn)椋? 所以， 令得， 的變化如下表： 在上的最小值是， 因?yàn)椋? 所以在上的最大值是. （Ⅱ）， 所以或， 設(shè)，則， 時(shí)， ， 時(shí)， ， 所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， ， 且， （ⅰ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 沒(méi)有實(shí)根，方程有1個(gè)實(shí)根； （ⅱ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 有1個(gè)實(shí)根為零，方程有1個(gè)實(shí)根； （ⅲ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 有2不等于零的實(shí)根，方程有3個(gè)實(shí)根. 綜上可得， 時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根； 時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根.