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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題06 數(shù)列的通項(xiàng)公式（含解析） 【背一背重點(diǎn)知識】 1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意多觀察、多試驗(yàn)，大膽猜想，小心論證. 2.已知求的問題，要特別注意的情況. 3.求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常見的有六種類型： （1）已知數(shù)列的前項(xiàng)，求其通項(xiàng)公式.常用方法：觀察分析法、逐差法、待定系數(shù)法等，根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察規(guī)律，歸納出數(shù)列通項(xiàng)公式是一項(xiàng)重要能力. （2）已知數(shù)列前項(xiàng)和，或前項(xiàng)和與的關(guān)系，求通項(xiàng)可利用. （3）已知遞推式求通項(xiàng)，這類問題要求不高，主要掌握“先猜后證”“化歸法”“累加法”等. （4）型，求問題，其關(guān)鍵是確定待定系數(shù)，使. （5）型，求問題，可用方法. （6）型，求問題，可用方法. 【講一講提高技能】 1. 必備技能：由和遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，可觀察其特點(diǎn)，一般常用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等.對于形如“”型的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式，只要可求和，便可利用累加法；對于形如“”型的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式，只要可求積，便可利用累積或迭代法；對于形如“”型遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，可用迭代或構(gòu)造等比數(shù)列法. 2. 典型例題： 例1若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=______. 分析：此題難度不大，符合求數(shù)列通項(xiàng)公式中的第（2）種類型，要注意檢驗(yàn)時是否也成立，否則就只能用分段函數(shù)來表示. 當(dāng)時，，所以，即；當(dāng)時，，所以，因此數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為的等比數(shù)列，故所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 【解析】 例2在數(shù)列中，若前n項(xiàng)和滿足，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 【答案】 【解析】 試題分析：時，當(dāng)時，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比 【練一練提升能力】 1. 已知等比數(shù)列滿足：公比，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）． （1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)和； （2）設(shè)，證明：． 【答案】（1），（2）詳見解析 【解析】 2. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： 【答案】（1）；（2）詳見解析 【解析】 試題分析：（1）利用，即可求出結(jié)果；（2）因?yàn)椋倮貌坏仁椒趴s，可得，再采用裂項(xiàng)相消即可求出結(jié)果． 等差數(shù)列的性質(zhì) 【背一背重點(diǎn)知識】 1.若、、、，且，為等差數(shù)列，則. 2.在等差數(shù)列中，仍為等數(shù)列，公差為. 3.若為等差數(shù)列，則仍為等數(shù)列，公差為. 4.等差數(shù)列的增減性：時為遞增數(shù)列，且當(dāng)時前項(xiàng)和有最小值；時為遞減數(shù)列，且當(dāng)時前項(xiàng)和有最大值. 5.若等數(shù)列的前項(xiàng)之和可以寫成，則，，當(dāng)時它表示二次函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和是成等差數(shù)列的充要條件. 6.設(shè)分別是等數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和，則有當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)為時，有；當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)為時，有， ，，. 【講一講提高技能】 1.必備技能：等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題。應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系. 2.典型例題： 例1在等差數(shù)列中，，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，則的取值范圍_________. 分析：此題主要考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，難度不大．可由題意確定得到，從而得到公差的不等式組，求出的范圍. 【解析】由題意得：，所以，即 例2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則＝（ ） A．63 B．45 C．43 D．27 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意，得，解得，，則＝＝＝45，故選B． 【練一練提升能力】 1. 已知，，是、的等差中項(xiàng)，正數(shù)是、的等比中項(xiàng)，那么、、、從小到大的順序關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2. 已知，若，則的表達(dá)式為________. 【答案】 【解析】 試題分析： ，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 當(dāng)時， 當(dāng)時 ，，即 數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列 當(dāng)時， 等比數(shù)列的性質(zhì) 【背一背重點(diǎn)知識】 1.通項(xiàng)公式的推廣：. 2.對于任意正整數(shù)，只要滿足，則有. 3.若（項(xiàng)數(shù)相同），是等比數(shù)列，則仍是等比數(shù)列. 4.三個數(shù)成等比數(shù)列且積一定，通常設(shè)這三個數(shù)為比較方便. 5.為等比數(shù)列的前和，則滿足，但不一定成等比數(shù)列. 【講一講提高技能】 1必備技能：等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比．關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握它們，同時也有利于類比思想的推廣．對于等差數(shù)列項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算，若能關(guān)注通項(xiàng)公式的下標(biāo)的大小關(guān)系，可以簡化題目的運(yùn)算． 2典型例題： 例1在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】 例2已知數(shù)列滿足=1，. （Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）證明：. 分析：本題第（Ⅰ）問，證明等比數(shù)列，可利用等比數(shù)列的定義來證明，之后利用等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式；對第（Ⅱ）問，可先由第（Ⅰ）問求出，然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式. 【解析】（Ⅰ）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3，所以，解得. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，所以， 因?yàn)楫?dāng)時，，所以，于是=， 所以. 【練一練提升能力】 1. 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為255，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為-126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 2.設(shè)是公比為q的等比數(shù)列. (Ⅰ) 求的前n項(xiàng)和公式; (Ⅱ) 設(shè)q≠1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 【答案】(Ⅰ) 分兩種情況討論. ①當(dāng)時，數(shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列，所以. ②當(dāng)時， 上面兩式錯位相減: . 綜上,得 (Ⅱ) 使用反證法. 設(shè)是公比q≠1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則 ①當(dāng)，使得成立,則不是等比數(shù)列. ②當(dāng)，使得成立,則恒為常數(shù) 當(dāng)時，.這與題目條件q≠1矛盾. 綜上兩種情況,假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列均不成立,所以當(dāng)q≠1時, 數(shù)列不是等比數(shù)列. 【解析】 數(shù)列求和 【背一背重點(diǎn)知識】 非等差、等比數(shù)列求和的常用方法： 1.倒序相加法：如果一個數(shù)列，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前前項(xiàng)和即是用此類法推導(dǎo)的． 2.分組轉(zhuǎn)化求和法：若一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減． 3.錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的． 4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和． 【講一講提高技能】 1必備技能：數(shù)列求和的方法：（1）一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和；（2）解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：①轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯位相減來完成．②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和． 2典型例題： 例1已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為 A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由可知公比 ，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為1，所以 例2若等差數(shù)列滿足，則當(dāng) 時，的前項(xiàng)和最大. 分析：此題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，難度不大．由已知，可得，進(jìn)一步得到，，得出結(jié)論. 【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，又因?yàn)?，所? 所以，所以，，故數(shù)列的前8項(xiàng)最大. 【練一練提升能力】 1.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項(xiàng)和,若是方程的兩個根,則____________. 【答案】63 【解析】 2. 已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令（），求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 （一） 選擇題（12*5=60分） 1.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【解析】 試題分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，，故選A． 2.設(shè)首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.等差數(shù)列中，則的前8項(xiàng)和為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：設(shè)等差數(shù)列的等差中項(xiàng)為，又所以得，所以，所以，故選B． 4.設(shè)是公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列﹛an﹜的前n項(xiàng)和，則下列命題錯誤的是（　?。? A.若d＜0，則數(shù)列﹛Sn﹜有最大項(xiàng) B.若數(shù)列﹛Sn﹜有最大項(xiàng)，則d＜0 C.若數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列，則對任意，均有 D.若對任意，均有，則數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列 【答案】C 【解析】選項(xiàng)C顯然是錯的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…．滿足數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列，但是S n＞0不成立．故選C 5. 在等差數(shù)列中,，則（ ） 【答案】B 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，，所以， 所以，.故選B. 6.設(shè)等差數(shù)列滿足，；則數(shù)列的前項(xiàng)和中使得取的最大值的序號為（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】 7.在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前11項(xiàng)和（ ） A．24 B．48 C．66 D．132 【答案】D 【解析】 試題分析：由已知得，化簡得：，即，所以．故選D． 8.設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】 ，即 ，而是公差為的等差數(shù)列，代入，即 ，不是的倍數(shù)，. ，故選D. 9.定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)： ①； ②； ③； ④. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 （　?。? A① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 【答案】C 【解析】 10.等差數(shù)列{an}中，,則數(shù)列{an}的公差為（　?。? A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知，又.故選B. 11.已知等比數(shù)列中，公比，若，則有（ ） A．最小值-4 B．最大值-4 C．最小值12 D．最大值12 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意，因?yàn)椋裕〞r取等號），所以，最大值為－4．故選B． 12.已知等差數(shù)列中，，公差；是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，公差，所以，則，所以；故選D． （二） 填空題（4*5=20分） 13.數(shù)列中，，，（，），則 ． 【答案】 【解析】 14. 若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 . 【答案】. 【解析】由題意知，所以， 因此， 因此. 15. 設(shè)函數(shù)是公差為的等差數(shù)列，，則________． 【答案】 【解析】 16. 如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，過點(diǎn)作的垂線，垂足為；過點(diǎn)作的垂線，垂足為；過點(diǎn)作的垂線，垂足為；…，以此類推，設(shè)，，，…，，則________. 【答案】 【解析】 試題分析：由題意，，，所以是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，則.