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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題突破訓(xùn)練 數(shù)列 一、填空題 1、（xx江蘇高考）數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_________。 2、（xx江蘇高考）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則的值是 ▲ 3、（xx江蘇高考）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù) 的值為 。 4、（xx南京、鹽城市高三二模）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則= 5、（南通、揚(yáng)州、連云港xx高三第二次調(diào)研（淮安三模））已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為4，公差為2，前項(xiàng)和為． 若()，則的值為 ▲ ． 6、（蘇錫常鎮(zhèn)四市xx高三教學(xué)情況調(diào)研（二））已知等差數(shù)列滿足：．若將都加上同一個(gè)數(shù)，所得的三個(gè)數(shù)依此成等比數(shù)列，則的值為 ▲ 7、（泰州市xx高三第二次模擬考試）在等比數(shù)列中，已知，則 ▲ 8、（鹽城市xx高三第三次模擬考試）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿足且，則的最小值為 ▲ 9、（xx江蘇南京高三9月調(diào)研）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，則Sn＝ ▲ 10、（xx江蘇南通市直中學(xué)高三9月調(diào)研）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的公比為 ▲ 11、（xx江蘇蘇州高三9月調(diào)研）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)則 ▲ 12、（蘇州市xx高三上期末）已知等差數(shù)列中，，若前5項(xiàng)的和，則其公差為 13、（泰州市xx高三上期末）等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 ▲ 14、（無錫市xx高三上期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足，則滿足的的最大值為 15、（揚(yáng)州市xx高三上期末）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，且，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是＿＿＿＿ 二、解答題 1、（xx江蘇高考）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為的等差數(shù)列， （1）證明：依次構(gòu)成等比數(shù)列； （2）是否存在，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由； （3）是否存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由。 2、（xx江蘇高考）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為.若對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得，則稱{}是“H數(shù)列?！? （1）若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和=（n），證明：{}是“H數(shù)列”； （2）設(shè)數(shù)列{}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)=1.公差d0.若{}是“H數(shù)列”，求d的值； （3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列{}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列” {} 和{}，使得=（n）成立。 3、（xx江蘇高考）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和。記，，其中為實(shí)數(shù)。 （1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）； （2）若是等差數(shù)列，證明：。 4、（xx南京、鹽城市高三二模）給定一個(gè)數(shù)列{an}，在這個(gè)數(shù)列里，任取m(m≥3，m∈N*)項(xiàng)，并且不改變它們?cè)跀?shù)列{an}中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列{an}的一個(gè)m階子數(shù)列． 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ (n∈N*，a為常數(shù))，等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列{an}的一個(gè)3階子數(shù)列． （1）求a的值； （2）等差數(shù)列b1，b2，…，bm是{an}的一個(gè)m (m≥3，m∈N*) 階子數(shù)列，且b1＝ (k為常數(shù)， k∈N*，k≥2)，求證：m≤k＋1； （3）等比數(shù)列c1，c2，…，cm是{an}的一個(gè)m (m≥3，m∈N*) 階子數(shù)列， 求證：c1＋c2＋…＋cm≤2－． 5、（南通、揚(yáng)州、連云港xx高三第二次調(diào)研（淮安三模））設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為()的等比數(shù)列．記． （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2）已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為4，10，19，34． ① 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； ② 是否存在元素均為正整數(shù)的集合，，…，(，)，使得數(shù)列 ，，…，為等差數(shù)列？證明你的結(jié)論． 6、（蘇錫常鎮(zhèn)四市xx高三教學(xué)情況調(diào)研（二））已知為常數(shù)，且為正整數(shù)，，無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)，．?dāng)?shù)列中任意兩不同項(xiàng)的和構(gòu)成集合 （1）證明無窮數(shù)列為等比數(shù)列，并求的值； （2）如果，求的值； （3）當(dāng)時(shí)，設(shè)集合中元素的個(gè)數(shù)記為 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 7、（泰州市xx高三第二次模擬考試）已知，，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和， 是公差為的等差數(shù)列． （1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若（是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （3）若（為常數(shù)，），，求證：對(duì)任意的，數(shù)列單調(diào)遞減． 8、（鹽城市xx高三第三次模擬考試）設(shè)函數(shù)（其中），且存在無窮數(shù)列，使得函數(shù)在其定義域內(nèi)還可以表示為. （1）求（用表示）； （2）當(dāng)時(shí)，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：； （3）若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式. 9、（xx江蘇南京高三9月調(diào)研）已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為Sn， {bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21， S4＋b4＝30． （1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； （2）記cn＝anbn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和． 10、（xx江蘇南通市直中學(xué)高三9月調(diào)研）已知無窮數(shù)列滿足：，，且對(duì)于任意，都有，． （1）求的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 11、（連云港、徐州、淮安、宿遷四市xx高三上期末）在數(shù)列中，已知，且滿足，，為常數(shù)． (1)證明：，，成等差數(shù)列； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和； (3)當(dāng)時(shí)，數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，，成等比數(shù)列，且，，也成等比數(shù)列？若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由． 12、（南京市、鹽城市xx高三上期末）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）對(duì)于正整數(shù)（），求證：“且”是“這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件； （3）設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有 ，且集合中有且僅有3個(gè)元素，試求的取值范圍. 13、（南通市xx高三上期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則稱是“緊密數(shù)列”. 若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：是“緊密數(shù)列”； 設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求.的取值范圍. 14、（蘇州市xx高三上期末）已知數(shù)列中. （1）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由； （2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足的所有正整數(shù). 15、（泰州市xx高三上期末）數(shù)列，，滿足：，，． （1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）若數(shù)列，都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列； （3）若數(shù)列是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論． 參考答案 一、填空題 1、，所以 。故 2、4　　3、12 　 4、50　　5、7　　6、－1　　7、64　　8、 9、　　10、2－2n－1　　11、　 12、2 　13、 　　14、9 　　 15、 二、解答題 1、（1）證明：設(shè)，因?yàn)椋? 因?yàn)椋?，所? 依次構(gòu)成等比數(shù)列。 因?yàn)?，，所? 依次構(gòu)成等比數(shù)列。 所以依次構(gòu)成等比數(shù)列。 （2）假設(shè)依次構(gòu)成等比數(shù)列，那么應(yīng)該有： ，因?yàn)? ，所以………(a)，考察(a)的解， 故為的極大值，而，所以符合（a）的解。 又，（因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)）。所以 ，解得 ，。 所以，這與（a）矛盾。所以不存在這樣的，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列。 （3）假設(shè)存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列，那么： ，而 …………(a) …….(b) 由于，而，（且各項(xiàng)不等） 所以，所以。 令，，則，同理， 。代入(a),(b)得： ，等式兩邊取對(duì)數(shù)變形得： 由（e）（f）得到新函數(shù): ，求導(dǎo)得到： ，令 ，求二階導(dǎo)數(shù)得： ，令 ，則， 而，故單調(diào)遞減，又，所以除了 外無零點(diǎn)，而這與題目條件不符。 所以：不存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列。 2、（1）證明：∵= ，∴==（n），又==2= ，∴（n）?！啻嬖趍=n+1使得 （2）=1+（n-1）d ，若{}是“H數(shù)列”則對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得 。=1+（m-1）d成立?；?jiǎn)得m= +1+，且d0 又m ， ，d，且為整數(shù)。 （3）證明：假設(shè)成立且設(shè)都為等差數(shù)列，則 n+=+（-1），=++1， ∴= （）同理= （） 取==k 由題==+（-1）++（-1） =（）+（n-1）（）=（n+k-1）） 可得{}為等差數(shù)列。即可構(gòu)造出兩個(gè)等差數(shù)列{} 和{}同時(shí)也是“H數(shù)列”滿足條件。 3、證明：∵是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和 ∴ （1）∵ ∴ ∵成等比數(shù)列 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左邊= 右邊= ∴左邊=右邊∴原式成立 （2）∵是等差數(shù)列∴設(shè)公差為，∴帶入得： ∴對(duì)恒成立 ∴ 由①式得： ∵ ∴ 由③式得： 法二：證：（1）若，則，，． 當(dāng)成等比數(shù)列，， 即：，得：，又，故． 由此：，，． 故：（）． （2）， ． (※) 若是等差數(shù)列，則型． 觀察(※)式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪， 故有：，即，而≠0， 故． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列． 4、解：（1）因?yàn)閍2，a3，a6成等差數(shù)列，所以a2－a3＝a3－a6． 又因?yàn)閍2＝，a3＝， a6＝， 代入得－＝－，解得a＝0． …………… 3分 （2）設(shè)等差數(shù)列b1，b2，…，bm的公差為d． 因?yàn)閎1＝，所以b2≤， 從而d＝b2－b1≤ －＝－． ……………… 6分 所以bm＝b1＋(m－1)d≤－． 又因?yàn)閎m＞0，所以－＞0． 即m－1＜k＋1． 所以m＜k＋2． 又因?yàn)閙，k∈N*，所以m≤k＋1． …………… 9分 （3）設(shè)c1＝ (t∈N*)，等比數(shù)列c1，c2，…，cm的公比為q． 因?yàn)閏2≤，所以q＝≤． 從而cn＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N*）． 所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋ ＝[1－] ＝－． ………… 13分 設(shè)函數(shù)f(x)＝x－，（m≥3，m∈N*）． 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)＝x－為單調(diào)增函數(shù)． 因?yàn)楫?dāng)t∈N*，所以1＜≤2． 所以f()≤2－． 即 c1＋c2＋…＋cm≤2－． ……… 16分 5、解：（1）證明：依題意， ， …… 3分 從而，又， 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． …… 5分 （2）① 法1：由（1）得，等比數(shù)列的前3項(xiàng)為，，， 則， 解得，從而， …… 7分 且 解得，， 所以，． …… 10分 法2：依題意，得 …… 7分 消去，得 消去，得 消去，得， 從而可解得，，，， 所以，． …… 10分 ② 假設(shè)存在滿足題意的集合，不妨設(shè)，，，，且，， ，成等差數(shù)列， 則， 因?yàn)椋裕?① 若，則， 結(jié)合①得，， 化簡(jiǎn)得，， ② 因?yàn)?，，不難知，這與②矛盾， 所以只能， 同理，， 所以，，為數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，從而， 即， 故，只能，這與矛盾， 所以假設(shè)不成立，從而不存在滿足題意的集合． …… 16分 （注：第（2）小問②中，在正確解答①的基礎(chǔ)上，寫出結(jié)論“不存在”，就給1分．） 6、 7、解：（1）因?yàn)?，，所以? 因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，所以，， 則由及得， 當(dāng)時(shí)，，兩式相減得， 當(dāng)時(shí)，，也滿足，故． …………4分 （2）因?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，，兩式相減得， 即，，即， 又，所以， 即， 所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得， 所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差為等差數(shù)列； 又當(dāng)時(shí)，由得， 當(dāng)時(shí)，由得， 故數(shù)列是公差為等差數(shù)列． …………15分 （3）由（2）得當(dāng)時(shí)，，即， 因?yàn)?，所以，即，所以，即? 所以， 當(dāng)時(shí)，，兩式相減得 ， 即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列， 所以當(dāng)時(shí)，， ， 另外由已知條件得，又，，， 所以，因而，令，則， 因?yàn)?，所以，所以?duì)任意的，數(shù)列單調(diào)遞減． ……………16分 8、解:（1）由題意，得， 顯然的系數(shù)為0，所以，從而，.………………………4分 （2）由，考慮的系數(shù)，則有， 得，即， 所以數(shù)列單調(diào)遞增，且， 所以， 當(dāng)時(shí)，.…………………………10分 （3）由（2）， 因數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以對(duì)一切都成立， 若，則，與矛盾， 若數(shù)列是等比數(shù)列，又據(jù)題意是等差數(shù)列，則是常數(shù)列，這與數(shù)列的公差不為零矛盾， 所以，即，由（1）知，，所以.………16分 （其他方法：根據(jù)題意可以用、表示出，，，，由數(shù)列為等差數(shù)列，利用，解方程組也可求得.） 解法2：由（1）可知，，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為 ，，.又由（2）， 所以得，若即時(shí)，，，與條件公差不為零相矛盾，因此則.由,可得 ,整理可得 代入,,或 若,則，與矛盾， 若,則,滿足題意, 所以 9、解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q． 由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．……………………………… 3分 由條件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程組解得 所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*． ……………………………… 7分 （2）由題意知，cn＝(n＋1)2n． 記Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn． 則Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝22＋322＋423＋…＋n2n－1 ＋(n＋1)2n， 2 Tn＝ 222＋323＋…＋(n－1)2n－1＋n2n＋ (n＋1)2n＋1， 所以－Tn＝22＋(22＋23＋…＋2n )－(n＋1)2n＋1， …………………………… 11分 即Tn＝n2n＋1，n∈N*． ……………………………… 14分 10、解：（1）由條件，， 令，得． …………………………………………………………2分 又，且， 易求得． ……………………………4分 再令，得，求得． …………………………………………6分 （2）∵ (1) ∴ (2) 由(1)-(2)得， ……………………………………………8分 ∴ ∴ ∴，∴數(shù)列為常數(shù)數(shù)列． ………………………12分 ∴ ∴ ∴數(shù)列為等差數(shù)列． ……………………………………………………………14分 又公差， ∴．……………………………………………16分 11、（1）因?yàn)椋裕? 同理，，， ……………………2分 又因?yàn)椋?，………………………………………………?分 所以，故，，成等差數(shù)列．………………………………4分 （2） 由，得，…………………………5分 令，則，， 所以是以0為首項(xiàng)公差為的等差數(shù)列，故，…6分 即，所以， 所以． ………………………………………………………8分 ， 當(dāng)， ……………………………………………………………9分 當(dāng)．………………10分 所以數(shù)列的前項(xiàng)和 （3）由（2）知，用累加法可求得， 當(dāng)時(shí)也適合，所以　……………………12分 假設(shè)存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列， 則，即，　………14分 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以， 化簡(jiǎn)得，聯(lián)立 ，得．這與題設(shè)矛盾． 故不存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列．…16分 12、解：（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，， 又，，，； ………… 4分 （2）（?。┍匾裕涸O(shè)這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列， ①若，則，，， . ………… 6分 ②若，則，，左邊為偶數(shù)，等式不成立， ③若，同理也不成立， 綜合①②③，得，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：設(shè)，， 則這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列， 所以充分性也成立. 綜合（?。áⅲ?，原命題成立. …………10分 （3）因?yàn)椋? 即，（*） 當(dāng)時(shí)，，（**） 則（**）式兩邊同乘以2，得，（***） （*）－（***），得，即， 又當(dāng)時(shí)，，即，適合，.………14分 ，， 時(shí)，，即； 時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減， 又，，，，. ……………16分 13、 14、解：（1）設(shè)， 因?yàn)? ． …………………………………2分 若數(shù)列是等比數(shù)列，則必須有（常數(shù)）， 即，即， …………………5分 此時(shí)， 所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列………………………………………6分 （注：利用前幾項(xiàng)，求出的值，并證明不扣分） （2）由（1）得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 故，即，…………………8分 由，得，……10分 所以， ，………………………………………………………………12分 顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， 又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，； ， 同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，． 綜上，滿足的所有正整數(shù)為1和2．…………………………………………… 16分 15、證明：（１）設(shè)數(shù)列的公差為， ∵， ∴， ∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．　　　　　　　　　　 ………………４分 （２）當(dāng)時(shí)，， ∵，∴，∴， ∴， ∵數(shù)列，都是等差數(shù)列，∴為常數(shù)， ∴數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列．　　　　　　　　 　 ………………１０分 （３）數(shù)列成等差數(shù)列．　　 解法１　設(shè)數(shù)列的公差為， ∵， ∴，∴，…，， ∴，　　　　 設(shè)，∴， 兩式相減得：， 即，∴， ∴， ∴，　　　　　　　　 ………………１２分 令，得， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴數(shù)列（）是公差為的等差數(shù)列，　　　　 ………………１４分 ∵，令，，即， ∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．　　　　　　　　　 ………………１６分 解法2 　∵，， 令，，即， ………………１２分 ∴，， ∴， ∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴， ∴，　　 ………………１４分 ∵，∴， ∴數(shù)列是等差數(shù)列．　　　　　　　　　　 ………………１６分