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2019-2020年高三數(shù)學上學期第二次月考試題 理(VIII) 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填入答題區(qū)域中。） 1．已知集合 A={1，2，m2}，B ={1，m}．若B ? A，則m =（ ） A．0 　　　　B．2 　　　C．0 或2 　　　D．1 或2 2．“?x∈R，x2 + ax +1≥0成立”是“ |a |≤2”的（ ） A．充分必要條件 　　　　　 B．必要而不充分條件 C．充分而不必要條件 　　　　　D．既不充分也不必要條件 3．在等比數(shù)列中，，，則公比等于（ ） A． -2 B．1或-2 C．1 D．1或2 4．將函數(shù)圖象向左平移個長度單位，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（ ） A． B． C． D． 5．二項式的展開式中，常數(shù)項的值是（ ） A． B． C． D． 6．拋物線y=4ax2（a≠0）的焦點坐標是（　?。? A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0） 7．當n=5時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值是（ ） A．7 B．10 C． 11 D．16 8．上圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體任意兩個頂點間距離的最大值是（ ） A．4 B．5 C． D． 9．從分別寫有A,B,C,D,E的五張卡片中任取兩張，這兩張的字母順序恰好相鄰的概率是（ ） A． B． C． D． 10．設均為實數(shù)，且 則（ ） 11．在中，若，且，則的周長為（ ） A． B． C． D． 12．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，給出下列五個命題： ①；②；③；④數(shù)列中的最大項為；⑤ A．5 B．4 C．3 D．1 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應的位置上．） 13．i 為虛數(shù)單位，計算＝　　　　　. 14．已知平面向量a , b滿足a = (1, ?1), (a + b) ⊥ (a ? b),那么｜b｜＝　　　　　. 15．若變量x，y滿足約束條件則的最大值是__ __． 16．中，角所對的邊分別為，下列命題正確的是________. ①若最小內角為，則； ②若，則； ③存在某鈍角，有； ⑤若，則. ④若，則的最小角小于； 三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．） 17．（本題滿分12 分）數(shù)列滿足，，． （I）設，證明是等差數(shù)列； （II）求的通項公式． 18．（本題滿分12 分）如圖所示，某班一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，其中，頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，據(jù)此解答如下問題． （1）求全班人數(shù)及分數(shù)在[80，100]之間的頻率； （2）現(xiàn)從分數(shù)在[80，100]之間的試卷中任取 3 份分析學生失分情況，設抽取的試卷分數(shù)在[90，100]的份數(shù)為 X ，求 X 的分布列和數(shù)學望期． 19．（本題滿分12 分）如圖，多面體ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的邊長為2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4． (Ⅰ)求證：BC⊥平面BDE； A C D E F B (Ⅱ)試在平面CDE上確定點P，使點P到直線DC、DE的距離相等，且AP與平面BEF所成的角等于30． 20．（本題滿分12 分）已知橢圓：的離心率為，右頂點是拋物線的焦點．直線：與橢圓相交于，兩點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）如果，點關于直線的對稱點在軸上，求的值． 21．（本題滿分12 分）已知是函數(shù)的極值點，自然對數(shù)底數(shù)． （I）求值，并討論的單調性； （II）是否存在，使得當時，不等式對任意正實數(shù)都成立？請說明理由． 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右側的方框涂黑． 22．（本題滿分10 分）選修4-1：幾何證明選講 已知A，B，C，D為圓O上的四點，直線DE為圓O的切線，D為切點，AC∥DE，AC與BD相交于H點． （I）求證：BD平分∠ABC； （II）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的長． 23．（本題滿分10 分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （I）求的參數(shù)方程； （II）若點在曲線上，求的最大值和最小值． 24．（本題滿分10 分）選修4-5：不等式選講 已知關于的不等式． （I）當時，求此不等式的解集； （II）若此不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍． 株洲市二中xx屆高三第二次月考 座位號 數(shù) 學 （理）答 卷 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分） 題次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、 填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13． ； 14． ； 15． ； 16． 。 三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17．(12分) A C D E F B 18．(12分) 19．(12分) 20．(12分) 21．(12分) 選做題（10分） 株洲市二中xx年下學期高三年級第二次月考試卷 數(shù)學（理科）試題 時間：120分鐘 總分：150分 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填入答題區(qū)域中。） 1．已知集合 A={1，2，m2}，B ={1，m}．若B ? A，則m = A．0 　　　　B．2 　　　C．0 或2 　　　D．1 或2 答案：C 2．“?x∈R，x2 + ax +1≥0成立”是“ |a |≤2”的 A．充分必要條件 　　　　　B．必要而不充分條件 C．充分而不必要條件 　　　　　D．既不充分也不必要條件 答案：A 3．在等比數(shù)列中，，，則公比等于 (A) -2 (B) 1或-2 (C) 1 (D)1或2 答案：B 4．將函數(shù)圖象向左平移個長度單位，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是 (A) (B) (D) 答案：C 5．二項式的展開式中，常數(shù)項的值是（ ） A． B． C． D． 答案：A 6．拋物線y=4ax2（a≠0）的焦點坐標是（　?。? 　 A． （0，a） B． （a，0） C． （0，） D． （，0） 答案：C 7．當n=5時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值是 (A) 7 (B)10 (C) 11 (D) 16 答案：C 8．上圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體任意兩個頂點間距離的最大值是 (A) 4 (B) 5 (C) (D) 答案：D 9. 從分別寫有A,B,C,D,E的五張卡片中任取兩張，這兩張的字母順序恰好相鄰的概率是（ ） A． B． C． D． 答案：A 10、設均為實數(shù)，且則 答案：A 11、在中，若，且，則的周長為（ ） A． B． C． D． 答案：D 12、已知是等差數(shù)列的前n項和，且，給出下列五個命題： ①；②；③；④數(shù)列中的最大項為；⑤。 其中正確命題的個數(shù)是（ ） A．5 B．4 C．3 D．1 答案：C 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應的位置上．） 13．i 為虛數(shù)單位，計算＝　　　　　. 答案： 14．已知平面向量a , b滿足a = (1, ?1), (a + b) ⊥ (a ? b),那么｜b｜＝　　　　　. 答案： 15．若變量x，y滿足約束條件則的最大值是____． 16．中，角所對的邊分別為，下列命題正確的是________. ①若最小內角為，則； ②若，則； ③存在某鈍角，有； ④若，則的最小角小于； ⑤若，則. 【答案】①④⑤ 【解析】對①，因為最小內角為，所以，，故正確；對②，構造函數(shù)，求導得，，當時，，即，則，所以，即在上單減，由②得，即，所以，故②不正確；對③，因為，則在鈍角中，不妨設為鈍角，有，故,③不正確；對④，由 ，即，而不共線，則，解得，則是最小的邊，故是最小的角，根據(jù)余弦定理，知，故④正確；對⑤，由得，所以，由②知，，即，又根據(jù)正弦定理知，即，所以，即.故①④⑤正確. 三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．） 17．（本題滿分12 分） 數(shù)列滿足，，． （I）設，證明是等差數(shù)列； （II）求的通項公式． 解：（I）由得 ， ∴是首項為1，公差為2的等差數(shù)列； （II）由（I）得，于是， 當時， 而，∴的通項公式． 18．（本題滿分12 分） 如圖所示，某班一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，其中，頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，據(jù)此解答如下問題． （1）求全班人數(shù)及分數(shù)在[80，100]之間的頻率； （2）現(xiàn)從分數(shù)在[80，100]之間的試卷中任取 3 份分析學生失分情況，設抽取的試卷分數(shù)在[90，100]的份數(shù)為 X ，求 X 的分布列和數(shù)學望期． 19．（本小題共12分） A C D E F B 如圖，多面體ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的邊長為2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4． (Ⅰ)求證：BC⊥平面BDE； (Ⅱ)試在平面CDE上確定點P，使點P到 直線DC、DE的距離相等，且AP與平面BEF所成的角等于30． （Ⅰ）證明：因為平面ABEF平面ABCD，EDAB． 所以ED平面ABCD 又因為BC平面ABCD，所以EDBC． 在直角梯形ABCD中,由已知可得 BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD 2=BC2+BD2 ，所以，BDBC 又因為EDBD=D，所以BC平面BDE． （Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系Dxyz A C D E F B x z y 則 設，則 令是平面BEF的一個法向量， 則 所以，令，得所以 因為AP與平面BEF所成的角等于， 所以AP與所成的角為或 所以 所以 又因為，所以或 當時，（*）式無解 當時，解得： 所以，或. 20．（本小題滿分12分） 已知橢圓：的離心率為，右頂點是拋物線的焦點．直線：與橢圓相交于，兩點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）如果，點關于直線的對稱點在軸上，求的值． 解：（Ⅰ）拋物線， 所以焦點坐標為，即， 所以． 又因為，所以． 所以， 所以橢圓的方程為． （Ⅱ）設，，因為，， 所以，， 所以， 所以． 由，得（判別式）， 得，， 即． 設， 則中點坐標為， 因為，關于直線對稱， 所以的中點在直線上， 所以，解得，即． 由于，關于直線對稱，所以，所在直線與直線垂直， 所以 ，解得． 21．（本小題滿分12分） 已知是函數(shù)的極值點，自然對數(shù)底數(shù)． （I）求值，并討論的單調性； （II）是否存在，使得當時，不等式對任意正實數(shù)都成立？請說明理由． 解：（I），由題意，得， 此時，定義域是， 令， ∵，∴在是減函數(shù)，且， 因此當時，，當時，， ∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)； （II）不等式可以化為， 設，則， 即判斷是否存在，使在是減函數(shù)， …………（8分） ∵， ∵，，， ∴在和上各有一個零點，分別設為和，列表： 極小 極大 ∴在是增函數(shù)，在是減函數(shù)， ∵，∴存在這樣的值，且． …………（12分） 【注意】“當時，不等式對任意正實數(shù)都成立”這句話符合必修1中函數(shù)單調性定義，說明在是減函數(shù)． 請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右側的方框涂黑． （22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 已知A，B，C，D為圓O上的四點，直線DE為圓O的切線，D為切點，AC∥DE，AC與BD相交于H點． （I）求證：BD平分∠ABC； （II）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的長． 證明：（I）， 又切圓于點，， ，而， ，即BD平分∠ABC； （II）由（I）知，又， 又為公共角， ∴與相似，， ∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，∴AH=3． （23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （I）求的參數(shù)方程； （II）若點在曲線上，求的最大值和最小值． 解：（I）的極坐標方程化為， ∴的直角坐標方程是， 即， 的參數(shù)方程是，是參數(shù)； （II）由（是參數(shù)）得到 ∴的最大值是6，最小值是2． （24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知關于的不等式． （I）當時，求此不等式的解集； （II）若此不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍． 解：（I）當時，此不等式為，解得， ∴不等式的解集為； （II）∵， ∴原不等式解集為等價于，∵，∴， ∴實數(shù)的取值范圍為．