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2019-2020年高中數學 電子題庫 第四章2 導數在實際問題中的應用2.1 北師大版選修1-1 (xx南陽測試)某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2 s內完成剎車，其位移(單位：m)關于時間(單位：s)的函數為s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實際意義為(　　) A．汽車剎車后1 s內的位移 B．汽車剎車后1 s內的平均速度 C．汽車剎車后1 s時的瞬時速度 D．汽車剎車后1 s時的位移 解析：選C.由導數的實際意義知，位移關于時間的瞬時變化率為該時刻的瞬時速度． (xx駐馬店質檢)某旅游者爬山的高度h(單位：m)是時間t(單位：h)的函數，關系式是h＝－100t2＋800t，則他在2 h這一時刻的高度變化的速度是(　　) A．500 m/h　　　　　　 B．1000 m/h C．400 m/h D．1200 m/h 解析：選C.∵h′＝－200t＋800， ∴當t＝2 h時，h′(2)＝－2002＋800＝400(m/h)． 物體的運動方程是s(t)＝4t－0.3t2，則從t＝2到t＝4的平均速度是________． 解析：由題意可得，Δt＝4－2＝2，Δs＝(44－0.342)－(42－0.322)＝11.2－6.8＝4.4， ∴平均速度為＝＝2.2. 答案：2.2 若某段導體通過的電量Q(單位：C)與時間t(單位：s)的函數關系為Q＝f(t)＝t2＋t－80，t∈[0，30]，則f′(15)＝________，它的實際意義是____________________． 解析：Q′＝f′(t)＝t＋1，令t＝15，則f′(15)＝ (C/s)，這表示t＝15 s時的電流強度，即單位時間內通過的電量． 答案： C/s　t＝15 s時的電流強度為 C/s [A級　基礎達標] 圓的面積S是半徑r的函數，S＝πr2，那么在r＝3這一時刻面積的變化率是(　　) A．6 B．9 C．9π D．6π 解析：選D.S′＝2πr，∴S′(3)＝6π. (xx寶雞檢測)自由落體的運動公式是s＝gt2(g為重力加速度)，則物體在下落3 s到4 s之間的平均變化率是(取g＝10 m/s2)(　　) A．30 B．32 C．35 D．40 解析：選C.v＝＝＝g＝35. 某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數關系是y＝f(x)，假設f′(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，則這些數據說明第20天與第10天比較(　　) A．公司已經虧損 B．公司的盈利在增加，增加的幅度變大 C．公司在虧損且虧損幅度變小 D．公司的盈利在增加，但增加的幅度變小 解析：選D.導數為正說明盈利是增加的，導數變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的． 人體血液中藥物的質量濃度c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時間t(單位：min)變化，若f′(2)＝0.3，則f′(2)表示________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案：服藥2 min時血液中藥物的質量濃度以每分鐘0.3 mg/mL的速度增加 (xx西安調研)一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為s＝3t2＋t，則速度v＝10時的時刻t＝________． 解析：s′＝6t＋1，則v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，則t＝. 答案： 氡氣是一種由地表自然散發(fā)的無味的放射性氣體．如果最初有500克氡氣，那么t天后，氡氣的剩余量為A(t)＝5000.834t. (1)氡氣的散發(fā)速度是多少？ (2)A′(7)的值是什么(精確到0.1)？它表示什么意義？ 解：(1)A′(t)＝5000.834tln 0.834. (2)A′(7)＝5000.8347ln 0.834≈－25.5，它表示7天時氡氣散發(fā)的瞬時速度． [B級　能力提升] (xx宜春調研)細桿AB的長為20 cm，M為細桿AB上的一點，AM段的質量與A到M的距離的平方成正比，當AM＝2 cm時，AM的質量為8 g，那么當AM＝x cm時，M處的細桿線密度ρ(x)為(　　) A．2x B．3x C．4x D．5x 解析：選C.當AM＝x cm時，設AM的質量為f(x)＝kx2，因為f(2)＝8，所以k＝2，即f(x)＝2x2，故細桿線密度ρ(x)＝f′(x)＝4x，故選C. 某人拉動一個物體前進，他所做的功W是時間t的函數W＝W(t)，則W′(t0)表示(　　) A．t＝t0時做的功 B．t＝t0時的速度 C．t＝t0時的位移 D．t＝t0時的功率 答案：D (xx西安測試)酒杯的形狀為倒立的圓錐(如圖)，杯深8 cm，上口寬6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，當水深為4 cm時，水升高的瞬時變化率為________． 解析：設水深為h時，水面半徑為r， 則＝，∴r＝h， 經過t s后，水的體積為20t， 則20t＝π(h)2h，即h(t)＝ ， ∴h′(t)＝ t－.又h＝4時，r＝，V＝3π， ∴t＝，h′(π)＝. 答案： cm/s 將1 kg鐵從0 ℃加熱到t ℃需要的熱量Q(單位：J)：Q(t)＝0.000297t2＋0.4409t. (1)當t從10變到20時函數值Q關于t的平均變化率是多少？它的實際意義是什么？ (2)求Q′(100)，并解釋它的實際意義． 解：(1)當t從10變到20時，函數值Q關于t的平均變化率為≈0.4498，它表示在鐵塊的溫度從10 ℃增加到20 ℃的過程中，平均每增加1 ℃，需要吸收熱量約為0.4498 J. (2)Q′(t)＝0.000594t＋0.4409，則Q′(100)＝0.5003，它表示在鐵塊的溫度為100 ℃這一時刻每增加1 ℃，需要吸收熱量0.5003 J. 某食品廠生產某種食品的總成本C(單位：元)和總收入R(單位：元)都是日產量x(單位：kg)的函數，分別為C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，試求邊際利潤函數以及當日產量分別為200 kg，250 kg，300 kg時的邊際利潤，并說明其經濟意義． 解：(1)根據定義知，總利潤函數為L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2， 所以邊際利潤函數為L′(x)＝5－0.02x. (2)當日產量分別為200 kg，250 kg，300 kg時，邊際利潤分別為L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)． 其經濟意義是：當日產量為200 kg時，再增加1 kg，則總利潤可增加1元；當日產量為250 kg時，再增加1 kg，則總利潤無增加；當日產量為300 kg時，再增加1 kg，則總利潤反而減少1元． 由此可得到：當企業(yè)的某一產品的生產量超過了邊際利潤的零點時，反而會使企業(yè)“無利可圖”．