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2019-2020 年高中數(shù)學(xué)《回歸分析的初步應(yīng)用》教案 1 說課稿新人教 A 版 選修 1-2 一、教學(xué)目標(biāo) a) 知識(shí)與技能 ＊能根據(jù)散點(diǎn)分布特點(diǎn)，建立不同的回歸模型。 ＊知道有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。 ＊通過散點(diǎn)圖及相關(guān)指數(shù)比較體驗(yàn)不同模型的擬合效果。 b) 過程與方法 ＊通過將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，使學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想。 ＊讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)， 認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用。 ＊通過使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)，利用計(jì)算器求相關(guān)指數(shù)，使學(xué)生體會(huì)使用計(jì)算器處理數(shù)據(jù) 的方法。 c) 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 ＊從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)不足，激發(fā)好奇心、求知欲。 ＊通過尋求有效的數(shù)據(jù)處理方法，開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和轉(zhuǎn)化能力。 ＊通過案例的分析，使學(xué)生了解回歸分析在生活實(shí)際中的應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)“取之生活， 用于生活”的意識(shí)，提高學(xué)習(xí)興趣。 二．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ＊重點(diǎn)：通過探究使學(xué)生體會(huì)有些非線性模型運(yùn)用等量變換、對(duì)數(shù)變換可以轉(zhuǎn)化為線性 回歸模型。 ＊難點(diǎn)：如何啟發(fā)學(xué)生“對(duì)變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q（等量變換、對(duì)數(shù)變換）”，變非線性為 線性，建立線性回歸模型。 三、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 項(xiàng) 目 內(nèi) 容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 1、你能回憶一下建立回歸模型的基本步驟嗎？ 師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生 回憶建立回歸模型的基本 步驟（選變量、畫散點(diǎn)圖、 選模型、估計(jì)參數(shù)、分析 和預(yù)測(cè)）。 生：回憶、敘述建立回歸 模型的基本步驟。 復(fù)習(xí)建立線性回 歸模型的基本步 驟，為建議非線 性模型做準(zhǔn)備。 教 學(xué) 一、 創(chuàng) 設(shè) 情 境 2、背景介紹： 紅鈴蟲喜高溫高濕，適宜各蟲態(tài)發(fā)育的溫 度為 25 一 32C，相對(duì)濕度為 80％一 100％， 低于 20C 和高于 35C 卵不能孵化，相對(duì)濕度 60％ 以下成蟲不產(chǎn)卵。冬季月平均氣溫低于 一 4．8 ℃時(shí)，紅鈴蟲就不能越冬而被凍死。 師：通過“紅鈴蟲”的背 景介紹，指出其發(fā)生受溫 度的影響，為采取有效防 治方法，有必要研究紅鈴 蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的 關(guān)系，揭示課題。 生：閱讀材料，了解紅鈴 蟲，以及其產(chǎn)卵數(shù)和溫度 有關(guān)系。 通過背景材料， 加深學(xué)生對(duì)問題 的理解，并明白 “為什么要學(xué)”。 體會(huì)問題產(chǎn)生于 生活。同時(shí)激發(fā) 學(xué)習(xí)興趣，提高 學(xué)習(xí)的積極性。 過 程 分 析 二、 探 索 新 知 1、例 2.現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù) y 和溫 度 x 之間的 7 組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表： 溫度 xoC 21 23 25 27 29 32 35 產(chǎn)卵數(shù) y/個(gè) 7 11 21 24 66 115 325 (1)試建立 y 與 x 之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫 度為 28oC 時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。 (2)你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋 了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 探究： 方案 1（學(xué)生實(shí)施）： （1）選擇變量，畫散點(diǎn)圖。 （2）通過計(jì)算器求得線性回歸方程: =19.87x- 463.73 （3）進(jìn)行回歸分析和預(yù)測(cè)： R2=r2≈0.864 2=0.7464 預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為 28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為 92 個(gè)。這個(gè)線 性回歸模型中溫度解釋了 74.64%產(chǎn)卵數(shù)的變化。 困惑：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加， 氣溫為 28 時(shí)，估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)應(yīng)該低于 66 個(gè)，但 是從推算的結(jié)果來看 92 個(gè)比 66 個(gè)卻多了 26 個(gè)，是什么原因造成的呢？ 方案 2： （1）找到變量 t=x 2，將 y=bx2+a 轉(zhuǎn)化成 y=bt+a； （1） （2）利用計(jì)算器計(jì)算出 y 和 t 的線性回歸方 程： y=0.367t-202.54 （2） （3）轉(zhuǎn)換回 y 和 x 的模型： （3） y=0.367x2 -202.54 （4）計(jì)算相關(guān)指數(shù) R2≈0.802 這個(gè)回歸模型中 溫度解釋了 80.2%產(chǎn)卵數(shù)的變化。 預(yù)測(cè)：當(dāng)氣溫為 28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為 85 個(gè)。 困惑：比 66 還多 19 個(gè)，是否還有更適合的模 型呢？ 方案 3： （1）作變換 z=lgy，將轉(zhuǎn)化成 z=c2x+lgc1（線 性模型）。 （ 4） （2）利用計(jì)算器計(jì)算出 z 和 x 的線性回歸方 程： z=0.118x-1.672 （5） （3）轉(zhuǎn)換回 y 和 x 的模型： （4）計(jì)算相關(guān)指數(shù) R2≈0.985 這個(gè)回歸模型中 溫度解釋了 98.5%產(chǎn)卵數(shù)的變化。 預(yù)測(cè)：當(dāng)氣溫為 28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為 4 2 個(gè)。 師：給出數(shù)據(jù)，讓學(xué)生分 析兩個(gè)變量的關(guān)系。 生：類比前面所學(xué)過的建 立線性回歸模型的步驟， 動(dòng)手實(shí)施方案 1。 師：引導(dǎo)學(xué)生分析結(jié)果， 發(fā)現(xiàn)問題。 生：檢查結(jié)果，聯(lián)系實(shí)際 發(fā)現(xiàn)問題。 探究一： 師：引導(dǎo)學(xué)生將所得散點(diǎn) 圖和學(xué)過的函數(shù)圖像比較， 猜想產(chǎn)卵數(shù) y 和溫度 x 的 可以用什么函數(shù)擬合？ 生：通過比較，發(fā)現(xiàn)接近 于指數(shù)關(guān)系，也像二次函 數(shù)關(guān)系。 師：通過計(jì)算機(jī)擬合，直 觀判斷所選模型。鼓勵(lì)學(xué) 生繼續(xù)探索。 生：經(jīng)過討論建立模型： y=bx2+a， 探究二（方案 2）: 師：提出問題“如何求參 數(shù) a、b?”可引導(dǎo)學(xué)生觀察、 比較表達(dá)式 y=bx2+a 和 y=bx+a。 生：通過比較，發(fā)現(xiàn)可利 用 t=x 2，將 y=bx2+a（二次函 數(shù)）轉(zhuǎn)化成 y=bt+a（一次 函數(shù)）。 師：提醒學(xué)生再檢查結(jié)果。 生：產(chǎn)生新的問題。 探究三（方案 3）: （6） 師：提出問題“如果選用 指數(shù)模型，是否也能轉(zhuǎn)換 成線性模型，如何轉(zhuǎn)化？ ” （7） 生：（1）利用對(duì)數(shù)降冪法 （教師可啟發(fā)學(xué)生思考 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)果 進(jìn)行分析，從而 發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)不 足，激發(fā)好奇心、 求知欲。同時(shí)培 養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的 洞悉能力，增強(qiáng) 對(duì)結(jié)果的敏感自 檢能力。 通過聯(lián)想、比較， 運(yùn)用已有知識(shí)尋 找解決問題的方 法。 二次函數(shù)和一次 函數(shù)比較接近， 所以先建立二次 函數(shù)模型。 通過比較，尋找 轉(zhuǎn)化的途徑，突 破難點(diǎn)。 步步推進(jìn)，引發(fā) 另一高潮。 再次體會(huì)“轉(zhuǎn)化” 課堂上選用以 10 “冪指數(shù)中的自變量如何 轉(zhuǎn)化為自變量的一次冪？ ”可引導(dǎo)學(xué)生回憶對(duì)數(shù)的 運(yùn)算性質(zhì)以及指對(duì)數(shù)關(guān)系。 ）。 （2）在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)只有以 10 或 e 為底，才能直接運(yùn) 用計(jì)算器。 為底，讓學(xué)生親 自體會(huì)可以選用 不同的底。 經(jīng)歷動(dòng)手體驗(yàn)， 感受“轉(zhuǎn)化”以 及使用統(tǒng)計(jì)方法 處理數(shù)據(jù)的過程。 能利用計(jì)算器熟 練進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。 二、 探 索 新 知 2、比較例 2 的三個(gè)模型。 師：以上三個(gè)模型，哪個(gè) 能更好的刻畫紅鈴蟲的產(chǎn) 卵數(shù) y 和溫度 x 的關(guān)系？ （可引導(dǎo)學(xué)生從散點(diǎn)圖、 相關(guān)指數(shù)兩種方法進(jìn)行比 較。） 生：進(jìn)行比較后獲得指數(shù) 模型更好。 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不 同模型的比較。 體會(huì)“雖然任意 兩個(gè)變量的觀測(cè) 數(shù)據(jù)都可以用線 性回歸模型來擬 合，但不能保證 這種模型對(duì)數(shù)據(jù) 的擬合效果最好， 為更好的刻畫兩 個(gè)變量之間的關(guān) 系，要根據(jù)觀測(cè) 數(shù)據(jù)的特點(diǎn)來選 擇回歸模型” 三、 練 習(xí) 選修 1-2：P13 3 或選修 2-3： P104 3 生：自主思考，探究解題 思路。 師：針對(duì)學(xué)生的解答強(qiáng)化 或給予肯定。 使學(xué)生掌握解決 這類問題的方法。 四、 小 結(jié) （1） （2） （3） （1）如何發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量的關(guān)系？ （4） （5） （2）當(dāng)選用非線性回歸模型時(shí)，如何建立模 型？ （3）如何比較不同模型的擬合效果？ 師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生 回顧例 2 的思路。 生：獨(dú)立思考，總結(jié)從例 2 中獲得的啟發(fā):可以從散 點(diǎn)圖直觀發(fā)現(xiàn)關(guān)系；選用 非線性回歸模型時(shí)，往往 要用“等量變換、對(duì)數(shù)變 換”等方法，轉(zhuǎn)化成線性 回歸模型；可以利用相關(guān) 指數(shù)比較模型。 讓學(xué)生整理建立 非線性回歸模型 的思路。 五、 作 業(yè) 1、某種書每?jī)?cè)的成本費(fèi) y（元）與印刷冊(cè)數(shù) x（千冊(cè)）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下： x 1 2 3 4 5 生：自己收集資料，自主 完成作業(yè)。 使學(xué)生“學(xué)以致 用”利用已有知 識(shí)解決實(shí)際問題， y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 x 6 7 8 9 10 y 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)求成本費(fèi) y（元）與印刷冊(cè)數(shù) x（千冊(cè)）的 回歸方程。 2、通過互聯(lián)網(wǎng)收集 1993 年至 xx 年每年中國(guó) 人口總數(shù)的數(shù)據(jù)，建立人口與年份的關(guān)系，預(yù) 測(cè) xx 和 xx 年的人口總數(shù)，并計(jì)算與實(shí)際數(shù)據(jù) 的誤差。 增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 興趣 四、教學(xué)設(shè)計(jì)說明： 高中新課程中增加了有關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)初步的內(nèi)容，先后出現(xiàn)在必修 3 和選修 1-2（文科）、 選修 2-3（理科）?！稊?shù)學(xué) 3》中的“統(tǒng)計(jì)”一章，給出了運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法解決問題的思路。 “線性回歸分析”是其介紹的一種分析整理數(shù)據(jù)的方法。在這一章中，學(xué)習(xí)了如何畫散點(diǎn) 圖、利用最小二乘法的思想利用計(jì)算器求回歸直線方程、利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)等內(nèi) 容。然而在大量的實(shí)際問題中，兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系，他們可能呈指數(shù)關(guān)系 或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系，本課時(shí)就是在學(xué)習(xí)了如何建立線性回歸模型的基礎(chǔ)上，探索如 何建立非線性關(guān)系的回歸模型。 這個(gè)內(nèi)容在人教 A 版教材中只安排了一道關(guān)于“紅鈴蟲”的例題，但是它卻代表了一 種“回歸分析”的類型。如何利用這道例題使學(xué)生掌握這類問題的解決方法呢？為此，我 設(shè)計(jì)了“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作探究”的教學(xué)方法。首先展示“紅鈴蟲”的背景資料來激發(fā)學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣；鼓勵(lì)學(xué)生用已有知識(shí)解決問題，引導(dǎo)學(xué)生檢查結(jié)果從而發(fā)現(xiàn)新問題；通過分 組合作來對(duì)不同方案進(jìn)行探索；使學(xué)生在合作探索的過程中體會(huì)“選擇模型——將非線性 轉(zhuǎn)化成線性……”方法，體會(huì)“化未知為已知、用已知探索未知”思想，同時(shí)認(rèn)識(shí)不同模 型的效果。培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比聯(lián)想，以及分析問題的能力。在教學(xué)過程中讓學(xué)生自主探 索、動(dòng)手實(shí)踐，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。 在“選模型”這個(gè)環(huán)節(jié)中，我引導(dǎo)將散點(diǎn)分布和已學(xué)函數(shù)圖像進(jìn)行比較，從而發(fā)現(xiàn)二 次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)模型。在“轉(zhuǎn)化”這個(gè)環(huán)節(jié)中，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察所選模型，聯(lián)系已學(xué) 知識(shí)選擇“等量變換和對(duì)數(shù)變換”，從而找到轉(zhuǎn)化的途徑。在運(yùn)算過程中，如求“相關(guān)指 數(shù)”我引導(dǎo)學(xué)生使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)，利用計(jì)算器求其相關(guān)系數(shù)即為相關(guān)指數(shù)，使學(xué)生體會(huì) 使用計(jì)算器處理數(shù)據(jù)的方法和技能。