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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題分類匯編 概率與統(tǒng)計(jì) 理 一、選擇題 1、（潮州市xx屆高三上期末）在區(qū)間［－1,1］上任取兩數(shù)s和t，則關(guān)于x的方程的兩根都是正數(shù)的概率為 　A、　　　　　B、　　　　C、　　　　D、 2、（佛山市xx屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（一））某學(xué)校位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛心活動(dòng)均需該組織位同學(xué)參加．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到．則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息的概率為（ ） A． 　　 　　 B． 　　　　 C． 　　 D． 3、（揭陽市xx屆高三上期末）利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間（0,1）上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)a,則不等式成立的概率是 （A） （B） （C） （D） 4、（茂名市xx屆高三第一次高考模擬考試）xx年高中生技能大賽中三所學(xué)校分別有3名、2名、1名學(xué)生獲獎(jiǎng)，這6名學(xué)生要排成一排合影，則同校學(xué)生排在一起的概率是 （ ） A． B． C． D． 5、（清遠(yuǎn)市xx屆高三上期末）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣數(shù)字一面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是（　?。? 　A、　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　　　D、 6、（珠海市xx屆高三上期末）現(xiàn)有1000件產(chǎn)品,甲產(chǎn)品有10件,乙產(chǎn)品有20件,丙產(chǎn)品有970件,現(xiàn)隨機(jī)不放回抽取3件產(chǎn)品,恰好甲乙丙各一件的概率是( ) A． B． C． D． 7、（湛江市xx年普通高考測試（一））有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： 估計(jì)數(shù)據(jù)落在［31.5，43.5］的概率是 　A、　　　　B、　　　　C、　　　　　D、 選擇題答案： 1、B　　2、C　　3、A　　4、C　　5、C 6、D　　7、B　 二、解答題 1、（潮州市xx屆高三上期末）戶外運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為一種時(shí)尚運(yùn)動(dòng)，某單位為了了解員工喜歡戶外運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)本單位的50名員工進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表： 已知在50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是， （Ⅰ）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； （Ⅱ）是否有99.5%以上的把握認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？并說明你的理由。； （Ⅲ）經(jīng)進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的10名女性員工中，有4人還喜歡瑜伽。若從喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的10位女性員工中任選3人，記表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，下面的臨界值表僅供參考： 2、（東莞市xx屆高三上期末）某品牌汽車4S店，對(duì)該品牌旗下的A型、B型、C型汽車進(jìn)行維修保養(yǎng)，每輛車一年內(nèi)需要維修的人工費(fèi)用為200元，汽車4S店記錄了該品牌三種類型汽車各100輛到店維修的情況，整理得下表： 假設(shè)該店采用分層抽樣的方法從上述維修的100輛該品牌三種類型汽車中隨機(jī)制取10輛進(jìn)行問卷回訪。 （I）從參加問卷回訪的10輛汽車中隨機(jī)制取兩輛，求這兩輛汽車來自同一類型的概率； （II）某公司一次性購買該品牌A，B，C型汽車各一輛，記表示這三輛車的一年維修人工費(fèi)用的總和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。（各型汽車維修的頻率視為其需要維修的概率） （III）經(jīng)調(diào)查，該品牌A型汽車的價(jià)格與每月的銷售量之間有如下關(guān)系： 已知A型汽車的購買量y與價(jià)格x符合如下線性回歸方程：，若A型汽車價(jià)格降到19萬元，請(qǐng)你預(yù)測月銷售量大約是多少？ 3、（佛山市xx屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（一）） 9 7 7 8 10 2 5 7 8 9 11 3 4 未來制造業(yè)對(duì)零件的精度要求越來越高．D打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來實(shí)現(xiàn)的，常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造，已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件．該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛，可以預(yù)計(jì)在未來會(huì)有發(fā)展空間．某制造企業(yè)向高校D打印實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)租用一臺(tái)D打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件．該團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)室打印出了一批這樣的零件，從中隨機(jī)抽取件零件，度量其內(nèi)徑的莖葉圖如圖（單位：） （1）計(jì)算平均值與標(biāo)準(zhǔn)差； （2）假設(shè)這臺(tái)D打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑 服從正態(tài)分布，該團(tuán)隊(duì)到工廠安裝調(diào)試后， 試打了個(gè)零件，度量其內(nèi)徑分別為（單位：）：、、、、，試問此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試？為什么？ 參考數(shù)據(jù)：， ，，，． 4、（廣州市xx屆高三1月模擬考試）計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立． （Ⅰ）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率； （Ⅱ）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系； 年入流量 發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 1 2 3 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤為5000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？ 5、（惠州市xx屆高三第三次調(diào)研考試）某商場一號(hào)電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4層停靠。已知該電梯在1層載有4位乘客，假設(shè)每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的。 （Ⅰ）求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率； （Ⅱ）用表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。 6、（揭陽市xx屆高三上期末）某商場銷售某種品牌的空調(diào)器，每周周初購進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器，商場每銷售一臺(tái)空調(diào)器可獲利500元，若供大于求，則每臺(tái)多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每臺(tái)空調(diào)器僅獲利潤200元。 （Ⅰ）若該商場周初購進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器，求當(dāng)周的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)周需求量n（單位：臺(tái)，）的函數(shù)解析式； （Ⅱ）該商場記錄了去年夏天（共10周）空調(diào)器需求量n（單位：臺(tái)），整理得下表： 周需求量n 18 19 20 21 22 頻數(shù) 1 2 3 3 1 以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器，X表示當(dāng)周的利潤（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。 7、（茂名市xx屆高三第一次高考模擬考試）我國新發(fā)布的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》指出：空氣質(zhì)量指數(shù)在為優(yōu)秀，人類可正?；顒?dòng)。某市環(huán)保局對(duì)該市xx年進(jìn)行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為， ，，，由此得到樣本的空氣質(zhì) 量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖. （1） 求的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度 的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值； （2） 如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為 “特優(yōu)等級(jí)”，則從這一年的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 天的數(shù)值，其中達(dá)到“特優(yōu)等級(jí)”的天數(shù)為. 求的分布列和數(shù)學(xué)期望。 8、（清遠(yuǎn)市xx屆高三上期末）某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x（元） 0.25 0.5 1 2 4 銷量y（件） 16 12 5 2 1 (1) 根據(jù)上面的數(shù)據(jù)判斷，與哪一個(gè)適宜作為產(chǎn)品銷量y關(guān)于單價(jià)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由） (2) 根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)) 參考公式： 9、（汕頭市xx屆高三上期末）一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是.（Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，（i）求白球的個(gè)數(shù)；（ii）從袋中任意摸出3個(gè)球,記得到白球的個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于.并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少. 10、（汕尾市xx屆高三上期末）為了解某市高三學(xué)生身高情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了測量，經(jīng)分析，全市高三 學(xué)生身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（160，），已知P(X<150）=0.2，P(X≥ 180)=0.03. (1) 現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一位學(xué)生，求該學(xué)生身高在區(qū)間[170,180)的概率； (2) 現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位學(xué)生，記抽到的三位學(xué)生身高在區(qū)間 [150,170)的人數(shù)為 ，求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望E. 11、（韶關(guān)市xx屆高三1月調(diào)研）某廠生產(chǎn)一種零件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于為優(yōu)質(zhì)品，小于大于等于為正品，小于為次品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這種零件件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 測試指標(biāo) 零件數(shù) 若以上述測試中各組的頻率作為相應(yīng)的概率. （Ⅰ）試估計(jì)這種零件的平均質(zhì)量指標(biāo)； （Ⅱ）生產(chǎn)一件零件，若是優(yōu)質(zhì)品可盈利元，若是正品盈利元，若是次品則虧損元；若從大量的零件中隨機(jī)抽取件，其利潤之和記為（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 12、（肇慶市xx屆高三第二次統(tǒng)測（期末））某制藥廠對(duì)A、B兩種型號(hào)的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，從檢測的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取10 次，記錄如下表（ 數(shù)值越大表示產(chǎn)品質(zhì)量越好）： A B （Ⅰ）畫出A、B兩種產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖；若要從A、 B中選一種型號(hào)產(chǎn)品投入生產(chǎn)， 從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度考慮，你認(rèn)為生產(chǎn)哪種型號(hào)產(chǎn)品合適？簡單說明理由； （Ⅱ）若將頻率視為概率，對(duì)產(chǎn)品A今后的三次檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，記這三次數(shù)據(jù)中不低于8.5 的次數(shù)為，求的分布列及期望． 13、（珠海市xx屆高三上期末）xx年7月9日21時(shí)15分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢?cái)產(chǎn)損失，適逢暑假，小張調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成，，，，五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）： （1）臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如右下表格，在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？ （2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率?，F(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差. （圖1） 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元 合計(jì) 捐款超過 500元 60 捐款不超 過500元 10 合計(jì) 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元 合計(jì) 捐款超過 500元 30 捐款不超 過500元 6 合計(jì) （圖2） （圖2） 附：臨界值表 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 隨機(jī)量變 解答題參考答案 1、解：(Ⅰ)∵在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率的概率是． ∴喜歡戶外活動(dòng)的男女員工共30，其中女員工10，男員工20人， 不喜歡戶外活動(dòng)的男女員工共20，其中男員工5，女員工15人．………..2分 列聯(lián)表補(bǔ)充如下 喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 不喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 合計(jì) 男性 20 5 25 女性 10 15 25 合計(jì) 30 20 50 ………………………3分 （Ⅱ）∵ ∴有的把握認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；. …………………….…5分 （Ⅲ）所有可能取值為，1，2，3．………………….…………………………6分 ； ； ； ．……….…………10分 ∴的分布列為 0 1 2 3 ∴的數(shù)學(xué)期望．…..…12分 2、 3、【解析】(Ⅰ) …………3分 ……5分 所以 ……6分 (Ⅱ)結(jié)論:需要進(jìn)一步調(diào)試. ……………………8分 [方法1]理由如下:如果機(jī)器正常工作,則服從正態(tài)分布,……………………9分 零件內(nèi)徑在之外的概率只有,……………………………………11分 而,根據(jù)原則,知機(jī)器異常,需要進(jìn)一步調(diào)試. …………………………12分 [方法2]理由如下:如果機(jī)器正常工作,則服從正態(tài)分布, ……9分 正常情況下個(gè)零件中恰有一件內(nèi)徑在外的概率為: , ……11分 為小概率事件,而,小概率事件發(fā)生,說明機(jī)器異常,需要進(jìn)一步調(diào)試. ……12分 [方法3]理由如下:如果機(jī)器正常工作,則服從正態(tài)分布, ……9分 正常情況下件零件中恰有件內(nèi)徑在外的概率為: ,…11分 此為小概率事件,而,,小概率事件發(fā)生,說明機(jī)器異常,需要進(jìn)一步調(diào)試. 若有下面兩種理由之一可得2分 試驗(yàn)結(jié)果件中有件在之外,概率為,遠(yuǎn)大于正常概率. 試驗(yàn)結(jié)果件中有件在之外,概率為,遠(yuǎn)大于正常概率. 4、 5、解：（Ⅰ） 設(shè)4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為, 由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是， ……………… (2分) 則．……………………………………（4分） （Ⅱ） 的可能取值為0,1,2,3,4, ……………………………………（5分） 由題意可得每個(gè)人在第4層下電梯的概率均為，且每個(gè)人下電梯互不影響， 所以 ………………………………………………………（6分） 0 1 2 3 4 …………………………（10分） ． ………………………………………………………（11分） 所以所求的期望值為． ……………………………………………（12分） 6、解：（I）當(dāng)時(shí)，--------------2分 當(dāng)時(shí)，--------------------------4分 所以----------------------------------------5分 （II）由（1）得---------------------------------------6分 -------------------------------------7分 -----------------------9分 的分布列為 ------12分 7、解： (1)由題意，得 ………2分 解得 ………3分 50個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為 ………5分 可估計(jì)xx年這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值約為24.6 …………6分 (2）利用樣本估計(jì)總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)為“特優(yōu)等級(jí)”，且指數(shù)達(dá)到“特優(yōu)等級(jí)”的概率為0.2，則 。的可能取值為0，1，2， …………………7分 的分布列為： 0 1 2 …………………10分 .(或者)。 …………………12分 8、解：（1）更適宜作為產(chǎn)品銷量y關(guān)于單價(jià)x的回歸方程?！?…2分 （2）令t＝，則y＝， …3分 原數(shù)據(jù)變?yōu)椋?得到每行正確數(shù)據(jù)各得1分） t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 ty 64 24 5 1 0.25 t2 16 4 1 0.25 0.0625 …… …6分 ∴＝1.55，＝7.2. …… …7分 c≈4.13 …… …8分（即c計(jì)算正確的4分） d＝－c≈0.8.　 …… …10分 ∴y＝0.8＋4.13 t. ∴y與x的回歸方程是y＝0.8＋. …… …12分 9、解：（Ⅰ）（i）記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件A， 設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為，則，………………………2分 得到．故白球有5個(gè)．………………………3分 （ii）隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，分布列是………………………4分 0 1 2 3 ………………………6分 注解：（每算對(duì)2各給1分） 的數(shù)學(xué)期望 ．………………………8分 （Ⅱ）證明：設(shè)袋中有個(gè)球，其中個(gè)黑球，由題意得， 所以，，故．………9分 記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，則 ．………11分 所以白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于，紅球的個(gè)數(shù)少于． 故袋中紅球個(gè)數(shù)最少．………12分 10、 11、解：（1）平均質(zhì)量指標(biāo)為 ……………3分 （2）由表可得任取一件零件為優(yōu)質(zhì)品的概率為，任取一件零件為正品的概率為，任取一件零件為次品的概率為，……………………………6分 從大量的零件中隨機(jī)抽取件，其利潤之和記為，則的可能取值為. ，， ，， ，. …………………………………………………………………………………………………10分 故的分布列為 ……………………………………………………………………………………………11分 的數(shù)學(xué)期望值為 …………………………………………………………………………………………………12分 12、解：（Ⅰ）A、B兩種產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖 （2分） ∵ （3分） （4分） ∵，，∴從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度考慮，生產(chǎn)A型號(hào)產(chǎn)品合適. （6分） （Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3. （7分） 產(chǎn)品A不低于8.5 的頻率為，若將頻率視為概率，則~. （8分） 所以，k=0，1，2，3. （9分） 所以的分布列為： 0 1 2 3 （10分） 所以. （12分） 13、解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元的有70人，經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的有30人，則表格數(shù)據(jù)如下 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元 合計(jì) 捐款超過 500元 60 20 80 捐款不超 過500元 10 10 20 合計(jì) 70 30 100 …………………………2分 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元 合計(jì) 捐款超過 500元 30 捐款不超 過500元 6 合計(jì) （圖2） 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元 合計(jì) 捐款超過 500元 30 捐款不超 過500元 6 合計(jì) （圖2） 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元 合計(jì) 捐款超過 500元 30 捐款不超 過500元 6 合計(jì) （圖2） 因?yàn)椋? 所以有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)． ……………………………………………………………………………………4分 （2）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率. 由題意知的取值可能有，………………………………………………5分 ， ，……………………………………6分 ， ……………………………………7分 ，……………………………………8分 ，……………………………………9分 從而的分布列為 ………………………10 ，……………………………………………11分 ………………………………12分