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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題分類匯編 選修4-1和4-4 理 一、選修4—1：幾何證明選講 1、（潮州市xx高三上期末）如圖所示，已知AB是圓O的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD。 ?。↖）求證：直線CE是圓O的切線； ?。↖I）求證：AC2＝AB?AD。 2、（東莞市xx高三上期末）如圖，已知圓O的內(nèi)接四邊形BCED，BC為圓O的直徑，BC＝2，延長(zhǎng)CB、ED交于A點(diǎn)，使得∠DOB＝∠ECA，過A作圓O的切線，切點(diǎn)為P。 （I）求證：BD＝DE； （II）若∠ECA＝45，求AP2的值。 3、（佛山市xx高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一））如圖，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，． （1）求證：； （2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)． 4、（廣州市xx高三1月模擬考試）如圖，于點(diǎn)，以為直徑的圓與交于點(diǎn)． F C D A B E O N （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，, 與相交于點(diǎn)，求的最大值． 5、（惠州市xx高三第三次調(diào)研考試）如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，以為圓心、為半徑的圓弧與以為直徑的半圓交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求的值。 6、（揭陽(yáng)市xx高三上期末）如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接于，過點(diǎn)A作的切線EP 交CB的延長(zhǎng)線于P，已知。 （Ⅰ）若BC是的直徑，求的大??； （Ⅱ）若,求證： 7、（茂名市xx高三第一次高考模擬考試）如圖，A、B是圓O上的兩點(diǎn),且AB的長(zhǎng)度小于圓O的直徑， 直線與AB垂于點(diǎn)D且與圓O相切于點(diǎn)C.若 （1） 求證：為的角平分線; （2）求圓的直徑的長(zhǎng)度。 8、（清遠(yuǎn)市xx高三上期末）如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C. (1)求證：FB＝FC； (2)若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC＝120，BC＝6 cm，求AD的長(zhǎng)． 9、（汕頭市xx高三上期末）已知AD為圓O的直徑，直線ＢＡ與圓Ｏ相切與點(diǎn)A，直線OB與弦AC垂直并相交于點(diǎn)G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12。 （Ⅰ）求證：BADC=GCAD； （Ⅱ）求BM。 10、（汕尾市xx高三上期末）已知：如圖，四邊形ABCD 是圓O 的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC、BD 交于點(diǎn)E，直線AP 是圓O 的切線，切點(diǎn)為A，∠PAB=∠BAC. （1）求證： AB2＝BD?BE； （2）若∠FED=∠CED，求證：點(diǎn)Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｆ四點(diǎn)共圓． 11、（韶關(guān)市xx高三1月調(diào)研）如圖，是圓切線,是切點(diǎn), 割線與圓交于、, 是圓的直徑，交于,，,. （Ⅰ）求線段的長(zhǎng)； （Ⅱ）求證：. 12、（肇慶市xx高三第二次統(tǒng)測(cè)（期末））如圖4，⊙O的半徑為r，MN切⊙O于點(diǎn)A，弦BC交OA于點(diǎn)Q,，BP⊥BC，交MN于點(diǎn)P. （Ⅰ）求證：PQ∥AC； （Ⅱ）若AQ=a，AC=b，求. 13、（珠海市xx高三上期末）如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，以為圓心、為半徑的圓弧與以 為直徑的半圓交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn). （1）求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)； （2）求的值. 選修4—1：幾何證明選講答案： 1、證明：（Ⅰ）連接，因?yàn)?，所以．………?…..2分 又因?yàn)?，所以? 又因?yàn)槠椒?，所以，…………?…..4分 所以，即． 所以是的切線……………………………………………….….6分 （Ⅱ）連接，因?yàn)槭菆A的直徑，所以， 又因?yàn)椋?………8分 所以∽ 所以，即………………………………..10分 2、 3、【解析】(Ⅰ)因?yàn)樗倪呅问菆A內(nèi)接四邊形, 所以,…………1分 又,所以,,…3分 而,所以,又,所以.……………5分 (Ⅱ)依題意,設(shè),由割線定理得,……………7分 即,解得,即的長(zhǎng)為.……………10分 4、 5、解：（Ⅰ）由以D為圓心DA為半徑作圓，而ABCD為正方形， ∴EA為圓D的切線 ………………………………………………（1分） 依據(jù)切割線定理得 ………………………………（2分） 另外圓O以BC為直徑，∴EB是圓O的切線，………………（3分） 同樣依據(jù)切割線定理得……………………………（4分） 故………………………………………（5分） （Ⅱ）連結(jié)，∵BC為圓O直徑， ∴ ………………………………（6分） 由 得 …………………………（8分） 又在中，由射影定理得……………………（10分） 6、.解：（I）EP與⊙O相切于點(diǎn)A，，-----------------------1分 又BC是⊙O的直徑，----------------------------------------------3分 四邊形ABCD內(nèi)接一于⊙O， -------------------------------------------------------------------5分 （II） --------------------------------------------------------------7分 ------------------------------------------------------------------8分 又--------------------------------------------------10分 7、解： (I) 證法1：如圖22-1 由切割線定理得 ……………1分 ……………2分 ……………3分 ……………4分 = ， 為的角平分線 ……………5分 證法2：如圖22-1 由切割線定理得 ……………1分 ……3分 ……4分 為的角平分線 ……………5分 (2）法1：如圖22-2連結(jié)并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn),連結(jié), 設(shè)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)為,則AE為圓O直徑， 直線與圓O相切于點(diǎn)C. ， （等角的余角相等） …………6分 （相等的圓周角所對(duì)的弦相等） …………7分 …………8分 …………9分 圓的直徑為4 …………10分 法2：如圖22-3,連結(jié)和,則 ……………6分 又 ……………7分 ， ……………8分 ，又 四邊形AOCB為菱形 ……………9分 圓的直徑為 ………10分 法3：由證法2得，……………8分 ……………9分 如圖22-4 連結(jié)OB ， 為等邊三角形， 圓的直徑為 ……………10分 8、(1)證明：　因?yàn)锳D平分∠EAC， 所以∠EAD＝∠DAC.………1分 因?yàn)樗倪呅蜛FBC內(nèi)接于圓， 所以∠DAC＝∠FBC. ………2分 因?yàn)椤螮AD＝∠FAB＝∠FCB，………3分 所以∠FBC＝∠FCB，………4分； 所以FB＝FC. ………5分 (2)解：　因?yàn)锳B是圓的直徑，所以∠ACB＝90，………6分 又∠EAC＝120，所以∠ABC＝30，………7分 ∠DAC＝∠EAC＝60，………8分 因?yàn)锽C＝6，所以AC＝BCtan∠ABC＝2，………9分 所以AD＝＝4(cm)．………10分 9、（Ⅰ）證明：因?yàn)椋? 又是圓O的直徑，所以………………………1分 又因?yàn)椋ㄏ仪薪堑扔谕∷鶎?duì)圓周角）………………………2分 所以∽，所以………………………3分 又因?yàn)?，所以……………………?分 所以，即………………………5分 （Ⅱ）解：因?yàn)?，所以? 因?yàn)?，所以……………………?分 由（1）知：∽，所以 所以，即圓的直徑………………………8分 又因?yàn)?，即……………?分 解得．………………………10分 10、 11、解：（Ⅰ）因?yàn)槭菆A直徑 所以, ，………………1分 又,， 所以，…………………… …………………………………2分 又 可知，所以 …………………………………3分 根據(jù)切割線定理得： ，…………………………………………………4分 即 …… …………………………………… …………………………………5分 （Ⅱ）過作于，……………………………………………………………6分 則，……………………………… …………………………………7分 從而有，…………………………………………………………………8分 又由題意知 所以， …………………………………9分 因此，即 …………………………………10分 12、（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)AB. ∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥MN. （1分） 又∵BP⊥BC，∴B、P、A、Q四點(diǎn)共圓， （2分） 所以∠QPA =∠ABC. （3分） 又∵∠CAN =∠ABC，∴∠CAN =∠QPA. （4分） ∴PQ∥AC. （5分） （Ⅱ）過點(diǎn)A作直徑AE，連結(jié)CE，則△ECA為直角三角形.（6分） ∵∠CAN =∠E，∠CAN =∠QPA，∴∠E =∠QPA. （7分） ∴Rt△PAQ∽R(shí)t△ECA，∴=， （9分） 故 =. （10分） 13、解：（1）由以為圓心為半徑作圓，而為正方形，∴為圓的切線 依據(jù)切割線定理得……………………………2分 另外圓以為直徑，∴是圓的切線，同樣依據(jù)切割線定理得……2分 故……………………………………………………5分 所以點(diǎn)為的中點(diǎn) （2）連結(jié)，∵為圓的直徑，∴ 又在中，由射影定理得 所以……………………………………………10分 二、選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1、（潮州市xx高三上期末）在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）。 　以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。 ?。↖）求圓C的極坐標(biāo)方程； ?。↖I）射線OM：與圓C的交點(diǎn)O、P兩點(diǎn)，求P點(diǎn)的極坐標(biāo)。 2、（東莞市xx高三上期末）在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線C與l的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，）和（2，）。 （I）求直線l的普通方程； (II)設(shè)P點(diǎn)為曲線C上的任意一點(diǎn)，求P點(diǎn)到直線l的距離的最大值。 3、（佛山市xx高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一））已知直線的方程為，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系． （1）求直線與圓的交點(diǎn)的極坐標(biāo)； （2）若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離的最大值． 4、（廣州市xx高三1月模擬考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線：（為參數(shù)）與曲線： (為參數(shù)，)． （Ⅰ）若曲線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，求的值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)的距離． 5、（惠州市xx高三第三次調(diào)研考試）已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程為．（其中坐標(biāo)系滿足極坐標(biāo)原點(diǎn)與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系軸正半軸重合，單位長(zhǎng)度相同。） （Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)是直線與軸的交點(diǎn)，是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。 6、（揭陽(yáng)市xx高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是 （Ⅰ）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求的值。 7、（茂名市xx高三第一次高考模擬考試）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的方程為x+y-8=0，曲線C的參數(shù)方程為 . （1） 已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)， 以x軸正半軸為極軸，若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，請(qǐng)判斷點(diǎn)P與曲線C的位置關(guān)系； （2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值與最大值。 8、（清遠(yuǎn)市xx高三上期末）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)，） 是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足, （1）求曲線的普通方程. （2）以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是，直線與曲線相交于、.求的面積。 9、（汕頭市xx高三上期末）已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）寫出直線與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，求的最小值. 10、（汕尾市xx高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系XOY 中，以原點(diǎn)O 為極點(diǎn)，X 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 已知曲線C1 的極坐標(biāo)方程為=1， 曲線C2 參數(shù)方程為是參數(shù)）. （1）求曲線C1 和C2 的直角坐標(biāo)系方程； （2）若曲線C1 和C2 交于兩點(diǎn)A、B，求|AB|的值. 11、（韶關(guān)市xx高三1月調(diào)研）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系. 已知曲線： （為參數(shù)）， ：（為參數(shù)）. （Ⅰ）化，的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線； （Ⅱ）若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)到直線 距離的最小值. 12、（肇慶市xx高三第二次統(tǒng)測(cè)（期末））在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）. （Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程； （Ⅱ）若直線與圓C恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 13、（珠海市xx高三上期末）在直角坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)，其傾斜角為，圓的參數(shù)方程為. 再以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并使得它與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位. （1）求圓的極坐標(biāo)方程； （2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)、，求的值. 選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程參考答案 1、解：(Ⅰ)圓C的參數(shù)方程化為普通方程是． 即……………………………………………………….…2分 又，． 于是，又不滿足要求． 所以圓C的極坐標(biāo)方程是……………………………….……5分 (Ⅱ)因?yàn)樯渚€的普通方程為．……………………6分 聯(lián)立方程組消去并整理得． 解得或，所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為……………………8分 所以P點(diǎn)的極坐標(biāo)為…………………………….……………10分 解法2：把代入得 所以P點(diǎn)的極坐標(biāo)為 ………………..……………10分 2、 3、【解析】(Ⅰ)直線:,圓:,……………………1分 聯(lián)立方程組,解得或,……………………3分 對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)分別為,.………………………………………………5分 (Ⅱ)[方法1]設(shè),則, 當(dāng)時(shí),取得最大值.……………………………………10分 [方法2]圓心到直線的距離為,圓的半徑為, 所以到直線的距離的最大值為.……………………………………10分 4、 5、解：（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程可化為 ………………（2分） 直線的方程為展開得 …………（4分） 直線的直角坐標(biāo)方程為 ………………………………………（5分） （Ⅱ）令，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）………………………（6分） 又曲線為圓，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則………（8分） 所以，的最大值為．…………………（10分） 6、解：（I）直線的普通方程為，------------------------------------2分 曲線C的直角坐標(biāo)系方程為-------------------------------------------4分 （II）⊙C的圓心（0，0）到直線的距離 ------------------------------------------------------------6分 ∴ --------------------------------------------------------8分 ∵ 故．-----------------------------------------------10分 7、解：（1）設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為，則 得 ： P（4，4）。 ……2分 ……4分 點(diǎn)P在曲線C外。 ……5分 (2）法1：因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ， ……6分 從而點(diǎn)Q到直線的距離為 ……7分 ……8分 當(dāng)時(shí)，Q到直線的距離的最小值為 ……9分 當(dāng)時(shí)，Q到直線的距離的最大值為 ……10分 法2：直線的平行線n方程可設(shè)為：x+y+t=0 ……6分 聯(lián)立得 ，即 ……7分 ……8分 曲線C的兩切線方程為 與 Q到直線的距離的最大值為 ……9分 Q到直線的距離的最小值為 ……10分 8、解：（1） 將(2)平方與(1)相除化簡(jiǎn)得曲線的普通方程.，……………1分 設(shè),由，得，……………………3分 ∵是上的動(dòng)點(diǎn)， ∴ ……………………4分 ∴，即的普通方程為……………………5分 (2)解法一：在極坐標(biāo)系中，直線與極軸相交于，…6分 曲線的極坐標(biāo)方程是,……7分 由，得，或……………………8分 設(shè)，， ∴………10分 解法二：直線的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0………6分 且與x軸交于D（2,0） ………7分； 聯(lián)立，消元得，………8分；； 設(shè)、 ，則………9分 △ABO的面積………9分，計(jì)算得S△ABO=3 ………10分 9、解 ：（I）直線的方程為：.……………………………2分 曲線的方程為：………………………………………4分 （II）∵ ∴將代入，得：， 即橢圓的方程為. ………………………………6分 設(shè)橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），……………………………8分 ………………………………9分 ∴的最小值為. ……………………………………10分 10、 11、解：（Ⅰ），…………………………………………………1分 …………………………… ………………………………………2分 為圓心是，半徑是的圓. ………………………………………3分 為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是，短半軸長(zhǎng)是的橢圓. …………………………………………………………4分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，………………………………………………………5分 設(shè) 則， ………………………………………6分 為直線，……………………………………7分 到的距離 ……………………8分 ………………………………………9分 從而當(dāng)時(shí)，取得最小值 ………………………………10分 12、解：（Ⅰ）由得，， ∴直線的普通方程為. （2分） 由得，， （3分） ∴， （4分） ∴圓C的平面直角坐標(biāo)方程為. （5分） （Ⅱ）∵直線與圓C恒有公共點(diǎn)，∴， （7分） 解得或， （9分） ∴的取值范圍是． （10分） 13、解：（1）消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程式為………………………………2分 由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得化簡(jiǎn)得……………4分 （2）直線的參數(shù)方程……………………………………………6分 即代入圓方程得： 設(shè)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，則，………………………8分 于是=.………………………………………10分