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1、“二元一次方程組的圖象解法”活動課教案 鐘祥五中 郭 剛 活動內(nèi)容： 人教版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學》七年級下冊第八章“數(shù)學活動”第1課時.（P.120.活動1） 活動目標： ⑴知識技能：認識二元一次方程的圖象表示法，從圖形的角度理解二元一次方程的解，了解二元一次方程組的圖象解法. ⑵數(shù)學思考：學生在活動中體會“從特殊到一般”的認識事物的方法，體驗數(shù)形結(jié)合的研究方法. ⑶解決問題：經(jīng)歷用圖象法解二元一次方程組的過程，培養(yǎng)學生解決問題的能力. ⑷情感態(tài)度：在探究學習的過程中培養(yǎng)學生的合作精神、探究意識. 活動重點： 畫二元一次方程的圖象；用圖象法解二元一次方程組.

2、 活動難點： 畫二元一次方程的圖象. 活動準備： 坐標紙、CAI課件. 活動過程： 一、創(chuàng)設(shè)問題情景 問題：我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有八頭，下有二十足，問雞兔各幾何？”你能用二元一次方程組表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎?如果不用加減或代入法你能找出問題的解嗎？ 二、活動探究 活動（一）：再認二元一次方程 （多媒體顯示方程： x－y＝0 ） 我們知道二元一次方程有無數(shù)個解，你能說出它的一個解嗎？ （學生回答后，教師把答案填入表中，而后寫成有序數(shù)對的形式并回顧前學內(nèi)容.） 這樣一來，二元一次方程的任意一個解就對應(yīng)坐標系里的一個點，而二元一

3、次方程有無數(shù)個解，它們將對應(yīng)無數(shù)個點，那么這無數(shù)個點將組成什么樣的圖形呢？ 下面我們不妨把剛才寫出的幾個解的對應(yīng)點在坐標系中描出，觀察這些點，你有什么發(fā)現(xiàn)？ （發(fā)現(xiàn)這些點在一條直線上） 再寫出幾個解，描出以這些解為坐標的點，你又發(fā)現(xiàn)了什么？（還是在這條直線上）.既然如此，請同學們大膽的猜想一下，你能得到什么結(jié)論？ 以二元一次方程x－y＝0的解為坐標的點都在同一條直線上. （多媒體顯示） 為了進一步驗證，請同學們在這條直線上任取一點，找出它的坐標你又發(fā)現(xiàn)什么？再取幾點試一試.由此同學們又可以得到什么結(jié)論？ 這條直線上任意一點的坐標都是二元一次方程x－y＝0的解. （多媒體顯示） 我

4、們把以二元一次方程x－y＝0的解為坐標的點的全體叫做二元一次方程x－y＝0的圖象. （多媒體顯示） 顯然，二元一次方程x－y＝0的圖象是什么呢？（直線） 是不是所有的二元一次方程的圖象都是直線呢？ 下面我們換一個方程試一試看.（多媒體顯示方程：x＋y＝2 ） 請同學們仿照我們剛才的探究過程，自己探究一下這個方程的圖象是什么？（學生自己探究或小組合作）.請說出你的發(fā)現(xiàn).（學生回答） 由此我們再次猜想：二元一次方程的圖象是什么呢？ 二元一次方程的圖象是直線. （多媒體顯示） 既然我們知道了二元一次方程的圖象是直線，那么我們?nèi)绾慰焖俚禺嫵鏊膱D象呢？請每個小組任意寫出一個二元一次方程并

5、畫出它的圖象.（學生展示畫出的圖象并說明） 教師小結(jié)：這樣看來，只要同學們多觀察、多思考，就一定能發(fā)現(xiàn)有價值的可以推廣的規(guī)律，說不定將來就要學習各位發(fā)現(xiàn)探究出來的知識呢！經(jīng)過剛才的探究，我們可以看出：二元一次方程的圖像是直線，直線上有無數(shù)個點，而二元一次方程有無數(shù)個解，無數(shù)個解與無數(shù)個點，真是“天作之美”! 活動（二）：圖象法解二元一次方程組 下面請同學們把我們剛剛畫出的兩個二元一次方程（x－y＝0和 x＋y＝2 ）的圖象合在一個坐標系里，看看有什么發(fā)現(xiàn)？ 兩個二元一次方程（x－y＝0和 x＋y＝2 ）的圖象交于一點（1，1），它是兩個二元一次方程的公共解（即方程組的解）. 經(jīng)過

6、學生匯報、質(zhì)疑、答辯后由學生自己總結(jié)出： 二元一次方程組的解與方程組中兩個二元一次方程的圖象間的關(guān)系：二元一次方程組的解就是方程組中兩個二元一次方程的圖象的交點坐標. 教師強化：經(jīng)過我們的集體合作，交流，發(fā)現(xiàn)：如果二元一次方程組中的兩個二元一次方程的圖象（即兩條直線）相交，那么交點的坐標就是二元一次方程組的解.（電腦顯示） 方程組有唯一解，兩條直線相交，交點的坐標就是二元一次方程組的解，真是珠聯(lián)璧合！ 三. 思維拓展 活動（三）：用圖象法解下列二元一次方程組，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？ ① ② （分兩大組進行比賽，小組合作探究）得出結(jié)論： ①的圖象是平行的，沒有交點，解方程組，它

7、無解.所以我們得到：圖象沒有交點，圖象代表的二元一次方程沒有公共解，方程組就無解. ②的圖象是重合的，有無數(shù)個公共點，方程組有無數(shù)個點. （電腦顯示） 并引導(dǎo)學生歸納出圖象法解二元一次方程組的三種情形. 四. 問題解決 學生自己解決本課開頭提出的問題，而后多媒體顯示過程. 五、回顧活動全程，提煉研究心得 （師生共同討論，由學生談感想、談收獲并引入笛卡爾的史料） （多媒體展示笛卡爾的照片及相關(guān)史料.） 數(shù)形結(jié)合的鼻祖——笛卡爾 笛卡爾是17世紀法國哲學家、數(shù)學家、物理學家、生理學家. 傳說有一次笛卡爾生病臥床，這是他思考問題的好時機.身體有病，頭腦可不能閑著.笛卡爾反復(fù)琢磨

8、通過一種什么辦法，能夠把點和數(shù)掛起鉤來.突然，他看見屋頂上的一只蜘蛛拉著絲垂了下來.一會兒，蜘蛛又順著絲爬了上去，在屋頂上左右爬行. 笛卡爾看到蜘蛛的“表演”，靈機一動，他想，可以把蜘蛛看做為一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，能不能用一組有序?qū)崝?shù)把蜘蛛的位置確定下來？ 在蜘蛛爬行的啟示下，笛卡爾創(chuàng)建了坐標系.坐標系如同架設(shè)在代數(shù)和幾何之間的一座橋梁.在坐標系下，幾何圖形和方程建立了聯(lián)系，可以把幾何圖形通過坐標系轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程來研究，也可以畫出方程的圖形來研究方程的性質(zhì).笛卡爾還創(chuàng)造了用代數(shù)方法來研究幾何圖形的數(shù)學分支——解析幾何. 結(jié)束語：由此可見，“觀察出智慧，思考出成果”。老師最喜歡笛卡爾的一句名言：“我思故我在”，把它送給大家，與同學們共勉！ 3