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2019-2020年高三全國高校招生模擬考試數(shù)學（理）試題 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，只有一個選項符號題目要求） 1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，則A∩（?RB）=（　?。? A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x＜2} 【考點】交、并、補集的混合運算． 【專題】集合． 【分析】分別求出A與B中不等式的解集，確定出A與B，根據(jù)全集R求出B的補集，找出A與B補集的交集即可． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}， ∴A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1，或x＜﹣1}， ∴?RB═{x|﹣1≤x≤1}， ∴A∩（?RB）={x|0＜x≤1}， 故選：C 【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵． 　 2．函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3．山西陽泉某校在暑假組織社會實踐活動，將8名高一年級學生，平均分配甲、乙兩家公司，其中兩名英語成績優(yōu)秀學生不能分給同一個公司；另三名電腦特長學生也不能分給同一個公司，則不同的分配方案有（　?。? A．36種 B．38種 C．108種 D．114種 【考點】計數(shù)原理的應用． 【專題】排列組合． 【分析】分類討論：①甲部門要2個電腦特長學生和一個英語成績優(yōu)秀學生；②甲部門要1個電腦特長學生和1個英語成績優(yōu)秀學生．分別求得這2個方案的方法數(shù)，再利用分類計數(shù)原理，可得結論． 【解答】解：由題意可得，有2種分配方案：①甲部門要2個電腦特長學生，則有3種情況；英語成績優(yōu)秀學生的分配有2種可能；再從剩下的3個人中選一人，有3種方法． 根據(jù)分步計數(shù)原理，共有323=18種分配方案． ②甲部門要1個電腦特長學生，則方法有3種；英語成績優(yōu)秀學生的分配方法有2種；再從剩下的3個人種選2個人，方法有33種，共323=18種分配方案． 由分類計數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18+18=36種， 故選A． 【點評】本題考查計數(shù)原理的運用，根據(jù)題意分步或分類計算每一個事件的方法數(shù)，然后用乘法原理和加法原理計算，是解題的常用方法． 　 4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x的值為2，則輸出的x的值為（　?。? A．3 B．126 C．127 D．128 【考點】程序框圖． 【專題】算法和程序框圖． 【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算x值并輸出，模擬程序的運行過程，即可得到答案． 【解答】解：當輸出的x=2時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=3，不滿足退出循環(huán)的條件， 當x=3時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=7，不滿足退出循環(huán)的條件， 當x=7時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=127，滿足退出循環(huán)的條件， 故輸出的x值為127 故選：C 【點評】本題考查的知識點是程序框圖，在寫程序的運行結果時，模擬程序的運行過程是解答此類問題最常用的辦法． 　 5．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（　?。? A． B． C． D． 【考點】由三視圖求面積、體積． 【專題】計算題；空間位置關系與距離． 【分析】根據(jù)已知中的三視圖可分析出該幾何體的直觀圖，代入棱錐體積公式可得答案． 【解答】解：幾何體如圖所示，則V=， 故選：A． 【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積，正確得出直觀圖是解答的關鍵． 6． 有兩個等差數(shù)列，，其前項和分別為和，若，則 A． B． C． D． 【答案】D 【考點】考查等差數(shù)列的通項公式。 7．已知雙曲線﹣=1的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且雙曲線的漸近線方程為y=x，則該雙曲線的方程為（　?。? A．﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】首先根據(jù)雙曲線的焦點和拋物線的焦點重合，建立a，b，c的關系式，進一步利用雙曲線的漸近線建立關系式，進一步確定a和b的值，最后求出雙曲線的方程． 【解答】解：已知拋物線y2=4x的焦點和雙曲線的焦點重合， 則雙曲線的焦點坐標為（，0）， 即c=， 又因為雙曲線的漸近線方程為y=x， 則有a2+b2=c2=10和=， 解得a=3，b=1． 所以雙曲線的方程為：﹣y2=1． 故選B． 【點評】本題主要考查的知識要點：雙曲線方程的求法，漸近線的應用．屬于基礎題． 　 8．在正方體8個頂點中任選3個頂點連成三角形，則所得的三角形是等腰直角三角形的概率為（　?。? A． B． C． D． 【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 【專題】概率與統(tǒng)計． 【分析】總的事件數(shù)是C83，而從正方體的8個頂點中任取3個頂點可形成的等腰直角三角形的個數(shù)按所選取的三個頂點是只能是來自于該正方體的同一個面．根據(jù)概率公式計算即可． 【解答】解：正方體8個頂點中任選3個頂點連成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各個面上，在每一個面上能組成等腰直角三角形的有四個， 所以共有46=24個， 而在8個點中選3個點的有C83=56， 所以所求概率為= 故選：C 【點評】本題是一個古典概型問題，學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題． 　 9．設定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一個解，則x0可能存在的區(qū)間是（　?。? A．（0，1） B．（e﹣1，1） C．（0，e﹣1） D．（1，e） 【考點】函數(shù)零點的判定定理；導數(shù)的運算． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用． 【分析】由題意知：f（x）﹣lnx為常數(shù)，令f（x）﹣lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1， 所以f（x）=lnx+e，再用零點存在定理驗證， 【解答】解：由題意知：f（x）﹣lnx為常數(shù)，令f（x）﹣lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k． 由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1， 所以f（x）=lnx+e， f′（x）=，x＞0． ∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e， 令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞） 可判斷：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增， g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0， ∴x0∈（1，e），g（x0）=0， ∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一個解，則x0可能存在的區(qū)間是（1，e） 故選：D． 【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點的判斷，構造思想，屬于中檔題． 　 10．如圖，已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=4，P是雙曲線右支上一點，直線PF2交y軸于點A，△AF1P的內(nèi)切圓切邊PF1于點Q，若|PQ|=1，則雙曲線的漸近線方程為（　?。? A．y=x B．y=3x C．y=x D．y=x 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】設內(nèi)切圓與AP切于點M，與AF1切于點N，|PF1|=m，|QF1|=n，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①運用對稱性和切線的性質(zhì)可得m﹣1=n，②，可得a=1，再由c=2，可得b，結合漸近線方程即可得到． 【解答】解：設內(nèi)切圓與AP切于點M，與AF1切于點N， |PF1|=m，|QF1|=n， 由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，① 由切線的性質(zhì)可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1， |MF2|=|NF1|=n， 即有m﹣1=n，② 由①②解得a=1， 由|F1F2|=4，則c=2， b==， 由雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x， 即有漸近線方程為y=x． 故選D． 【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查切線的性質(zhì)，運用對稱性和雙曲線的定義是解題的關鍵． 　 二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分） 11． 下列命題中，真命題的序號為. （1）在中，若，則； （2）已知，則在上的投影為； （3）已知，，則“”為假命題； （4）要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向左平移個單位． 【答案】（1）（3） 12．直線l：（t為參數(shù)）與圓C：（θ為參數(shù)）相交所得的弦長的取值范圍是　[4，16]　． 【考點】參數(shù)方程化成普通方程． 【專題】直線與圓；坐標系和參數(shù)方程． 【分析】把直線與圓的參數(shù)方程化為普通方程，畫出圖形，結合圖形，求出直線被圓截得的弦長的最大值與最小值即可． 【解答】解：直線l：（t為參數(shù)）， 化為普通方程是=， 即y=tanα?x+1； 圓C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)）， 化為普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64； 畫出圖形，如圖所示； ∵直線過定點（0，1）， ∴直線被圓截得的弦長的最大值是2r=16， 最小值是2=2=2=4 ∴弦長的取值范圍是[4，16]． 故答案為：[4，16]． 【點評】本題考查了直線與圓的參數(shù)方程的應用問題，解題時先把參數(shù)方程化為普通方程，再畫出圖形，數(shù)形結合，容易解答本題． 　 13．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，則S9的取值范圍是　（﹣3，21）　． 【考點】等差數(shù)列的前n項和． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式及其“待定系數(shù)法”即可得出． 【解答】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列， ∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d， 由待定系數(shù)法可得，解得x=3，y=6． ∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18， ∴兩式相加即得﹣3＜S9＜21． ∴S9的取值范圍是（﹣3，21）． 故答案為：（﹣3，21）． 【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式及其“待定系數(shù)法”等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題． 　 14．若正數(shù)m、n滿足mn﹣m﹣n=3，則點（m，0）到直線x﹣y+n=0的距離最小值是　?。? 【考點】點到直線的距離公式． 【專題】直線與圓． 【分析】把已知的等式變形，得到（m﹣1）（n﹣1）≥4，寫出點到直線的距離，然后利用基本不等式得答案． 【解答】解：點（m，0）到直線x﹣y+n=0的距離為d=， ∵mn﹣m﹣n=3， ∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0）， ∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2， ∴m+n≥6， 則d=≥3． 故答案為：． 【點評】本題考查了的到直線的距離公式，考查了利用基本不等式求最值，是基礎題． 　 15．如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題： ①平面MENF⊥平面BDD′B′； ②當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最?。? ③四邊形MENF周長l=f（x），x∈0，1]是單調(diào)函數(shù)； ④四棱錐C′﹣MENF的體積v=h（x）為常函數(shù)； 以上命題中真命題的序號為　①②④?。? 【考點】命題的真假判斷與應用；棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定． 【專題】空間位置關系與距離． 【分析】①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③判斷周長的變化情況．④求出四棱錐的體積，進行判斷． 【解答】解：①連結BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正確． ②連結MN，因為EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x=時，此時MN長度最小，對應四邊形MENF的面積最?。寓谡_． ③因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈[0，]時，EM的長度由大變?。攛∈[，1]時，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯誤． ④連結C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C′EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面CEF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確． 故答案為：①②④． 【點評】本題考查空間立體幾何中的面面垂直關系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進行的有機的結合，綜合性較強，設計巧妙，對學生的解題能力要求較高． 三、解答題（共6小題，滿分75分） 16． 設函數(shù) （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）的三邊所對的內(nèi)角分別為,若，且，求面積的最大值. 【答案】（1） ， （2）， 整理得： 由基本不等式可得： 則 　 17．某校舉辦學生綜合素質(zhì)大賽，對該校學生進行綜合素質(zhì)測試，學校對測試成績（10分制）大于或等于7.5的學生頒發(fā)榮譽證書，現(xiàn)從A和B兩班中各隨機抽5名學生進行抽查，其成績記錄如下： A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污損，數(shù)據(jù)x，y看不清，統(tǒng)計人員只記得x＜y，且A和B兩班被抽查的5名學生成績的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）若從B班被抽查的5名學生中任抽取2名學生，求被抽取2學生成績都頒發(fā)了榮譽證書的概率； （Ⅱ）從被抽查的10名任取3名，X表示抽取的學生中獲得榮譽證書的人數(shù)，求X的期望． 【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列． 【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計． 【分析】（Ⅰ）分別求出A和B的平均數(shù)和方差，由，得x+y=17，由，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，由x＜y，得x=8，y=9，記“2名學生都頒發(fā)了榮譽證書”為事件C，則事件C包含個基本事件，共有個基本事件，由此能求出2名學生頒發(fā)了榮譽證書的概率． （Ⅱ）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的期望． 【解答】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8， =（6+x+8.5+8.5+y）， ∵，∴x+y=17，① ∵， =， ∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，② 由①②解得或， ∵x＜y，∴x=8，y=9， 記“2名學生都頒發(fā)了榮譽證書”為事件C，則事件C包含個基本事件， 共有個基本事件， ∴P（C）=， 即2名學生頒發(fā)了榮譽證書的概率為． （Ⅱ）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3， P（X=0）==， P（X=1）==， P（X=2）==， P（X=3）==， EX==． 【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的方差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意平均值和方差的計算和應用． 　 18．如圖，橢圓C1：的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長．C2與y軸的交點為M，過點M的兩條互相垂直的直線l1，l2分別交拋物線于A、B兩點，交橢圓于D、E兩點， （Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）記△MAB，△MDE的面積分別為S1、S2，若，求直線AB的方程． 【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題． 【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】（Ⅰ）橢圓C1：的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長，建立方程，求出幾何量，即可求C1、C2的方程； （Ⅱ）設直線MA、MB的方程與y=x2﹣1聯(lián)立，求得A，B的坐標，進而可表示S1，直線MA、MB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得D，E的坐標，進而可表示S2，利用，即可求直線AB的方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C1：的離心率為， ∴a2=2b2， 令x2﹣b=0可得x=， ∵x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長， ∴2=2b， ∴b=1， ∴C1、C2的方程分別為，y=x2﹣1； … （Ⅱ）設直線MA的斜率為k1，直線MA的方程為y=k1x﹣1與y=x2﹣1聯(lián)立得x2﹣k1x=0 ∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12﹣1） 同理可得B（k2，k22﹣1）… ∴S1=|MA||MB|=?|k1||k2|… y=k1x﹣1與橢圓方程聯(lián)立，可得D（）， 同理可得E（） … ∴S2=|MD||ME|=?? … ∴ 若則解得或 ∴直線AB的方程為或… 【點評】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，聯(lián)立方程，確定點的坐標是關鍵． 　 19．如圖，四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120，點E在BD上，且CE=DE． （Ⅰ）求證：AB⊥CE； （Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值． 【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系． 【專題】空間位置關系與距離；空間角． 【分析】（Ⅰ）由已知得∠CDB=30，∠DCE=30，∠BCE=90，從而EC⊥BC，由平面ABC⊥平面BCD，得EC⊥平面ABC，由此能證明EC⊥AB． （Ⅱ）取BC的中點O，BE中點F，連結OA，OF，以O為原點，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角A﹣CD﹣B的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）證明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120， ∴∠CDB=30， ∵EC=DE，∴∠DCE=30，∠BCE=90， ∴EC⊥BC， 又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC與平面BCD的交線為BC， ∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB． （Ⅱ）解：取BC的中點O，BE中點F，連結OA，OF， ∵AC=AB，∴AO⊥BC， ∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC， ∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中點，F(xiàn)是BE中點，∴OF⊥BC， 以O為原點，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系， 設DE=2，則A（0，0，1），B（0，，0）， C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0）， ∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0）， 設平面ACD的法向量為=（x，y，z）， 則，取x=1，得=（1，，﹣3）， 又平面BCD的法向量=（0，0，1）， ∴cos＜＞==﹣， ∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值為． 【點評】本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用．本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求． 　 20．已知數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=an+（n∈N*）．證明：對一切n∈N*，有 （Ⅰ）＜； （Ⅱ）0＜an＜1． 【考點】數(shù)列遞推式． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】（Ⅰ）由已知得an＞0，an+1=an+＞0（n∈N*），an+1﹣an=＞0，由此能證明對一切n∈N*，＜． （Ⅱ）由已知得，當n≥2時， =＞，由此能證明對一切n∈N*，0＜an＜1． 【解答】證明：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=an+（n∈N*）， ∴an＞0，an+1=an+＞0（n∈N*），an+1﹣an=＞0， ∴， ∴對一切n∈N*，＜． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，對一切k∈N*，＜， ∴， ∴當n≥2時， = ＞3﹣[1+] =3﹣[1+] =3﹣（1+1﹣） =， ∴an＜1，又， ∴對一切n∈N*，0＜an＜1． 【點評】本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要注意裂項求和法和放縮法的合理運用，注意不等式性質(zhì)的靈活運用． 　 21．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若f（x）的最小值為0． （i）求實數(shù)a的值； （ii）已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=f（an）+2，記[x]表示不大于x的最大整數(shù)，求證：n＞1時[an]=2． 【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；數(shù)列遞推式． 【專題】分類討論；導數(shù)的綜合應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】（Ⅰ）利用導數(shù)，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）（i）利用（Ⅰ）的結論即可求得a的值； （ii）利用歸納推理，猜想當n≥3，n∈N時，2＜an＜，利用數(shù)學歸納法證明，即可得出結論． 【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且f′（x）=﹣=． 當a≤0時，f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增； 當a＞0時，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a． 所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）． 綜上述：a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）； a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞）． （Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲攁≤0時，f（x）無最小值，不合題意； 當a＞0時，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0， 令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），則g′（x）=﹣1+=， 由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1． 所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）． 故[g（x）]max=g（1）=0，即當且僅當x=1時，g（x）=0． 因此，a=1． （ⅱ）因為f（x）=lnx﹣1+，所以an+1=f（an）+2=1++lnan． 由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因為＜ln2＜1，所以2＜a3＜． 猜想當n≥3，n∈N時，2＜an＜． 下面用數(shù)學歸納法進行證明． ①當n=3時，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立． ②假設當n=k（k≥3，k∈N）時，不等式2＜ak＜成立． 則當n=k+1時，ak+1=1++lnak， 由（Ⅰ）知函數(shù)h（x）=f（x）+2=1++lnx在區(qū)間（2，）單調(diào)遞增， 所以h（2）＜h（ak）＜h（），又因為h（2）=1++ln2＞2， h（）=1++ln＜1++1＜． 故2＜ak+1＜成立，即當n=k+1時，不等式成立． 根據(jù)①②可知，當n≥3，n∈N時，不等式2＜an＜成立． 綜上可得，n＞1時[an]=2． 【點評】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的應用等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識等， 考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無限思想等，屬難題．