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2019-2020年高三數學 第10課時 第二章 函數 函數的值域專題復習教案 一．課題：函數的值域 二．教學目標：理解函數值域的意義；掌握常見題型求值域的方法，了解函數值域的一些應用． 三．教學重點：求函數的值域． 四．教學過程： （一）主要知識： 1．函數的值域的定義；2．確定函數的值域的原則；3．求函數的值域的方法． （二）主要方法（范例分析以后由學生歸納）： 求函數的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判別式法，基本不等式法，逆求法（反函數法），換元法，圖像法，利用函數的單調性、奇偶性求函數的值域等． （三）例題分析： 例1．求下列函數的值域： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） 解：（1）（一）公式法（略） （二）（配方法）， ∴的值域為． 改題：求函數，的值域． 解：（利用函數的單調性）函數在上單調增， ∴當時，原函數有最小值為；當時，原函數有最大值為． ∴函數，的值域為． （2）求復合函數的值域：設（），則原函數可化為． 又∵，∴，故， ∴的值域為． （3）（法一）反函數法：的反函數為，其定義域為， ∴原函數的值域為． （法二）分離變量法：， ∵，∴， ∴函數的值域為． （4）換元法（代數換元法）：設，則， ∴原函數可化為，∴， ∴原函數值域為． 說明：總結型值域，變形：或 （5）三角換元法：∵，∴設， 則 ∵，∴，∴， ∴， ∴原函數的值域為． （6）數形結合法：，∴， ∴函數值域為． （7）判別式法：∵恒成立，∴函數的定義域為． 由得： ① ①當即時，①即，∴ ②當即時，∵時方程恒有實根， ∴，∴且， ∴原函數的值域為． （8）， ∵，∴，∴，當且僅當時，即時等號成立．∴，∴原函數的值域為． （9）（法一）方程法：原函數可化為：， ∴（其中）， ∴，∴，∴，∴， ∴原函數的值域為． （法二）數形結合法：可看作求點與圓上的點的連線的斜率的范圍，解略． 例2．若關于的方程有實數根，求實數的取值范圍． 解：原方程可化為， 令，則，，又∵在區(qū)間上是減函數， ∴，即， 故實數的取值范圍為：． 例3．（《高考計劃》考點9，智能訓練16）某化妝品生產企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在xx年度進行一系列的促銷活動．經過市場調查和測算，化妝品的年銷量萬件與年促銷費用萬元之間滿足：與成反比例；如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件． 已知xx年，生產化妝品的固定投入為3萬元，每生產1萬件化妝品需再投入32萬元．當將每件化妝品的售價定為“年平均每件成本的150％”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和，則當年產銷量相等． （1）將xx年的年利潤萬元表示為年促銷費萬元的函數； （2）該企業(yè)xx年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？ （注：利潤＝收入－生產成本－促銷費） 解：（1）由題設知：，且時，，∴，即， ∴年生產成本為萬元，年收入為． ∴年利潤， ∴． （2）由（1）得 ， 當且僅當，即時，有最大值． ∴當促銷費定為萬元時，年該化妝品企業(yè)獲得最大利潤． （四）鞏固練習： 1．函數的值域為． 2．若函數在上的最大值與最小值之差為2，則．